专题03 三角形与平移及多边形的内外角-2021-2022学年七年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年七年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题03 三角形与平移及多边形的内外角
【典型例题】
1．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABE=15º，∠BAD=55º，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．

【答案】（1）70°；（2）3
【分析】
（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=，根据三角形面积公式求得CD=BD=3．
【详解】
解：（1）如图，∠BED是△ABE的一个外角，
∵∠ABE=15°，∠BAD=55°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
=15°+55°
=70°；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ABC，
又∵S△ABC=30，
∴S△ABD=×30=15，
又∵BE为△ABD的中线，
∴S△BDE=S△ABD，
∴S△BDE=×15=，
∵EF⊥BC，且EF=5
∴S△BDE =•BD•EF，
∴•BD×5=，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【点睛】
本题涉及到三角形外角的性质、及三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，涉及面较广，但难度适中．


【专题训练】
一、 选择题
1．下列是四个汽车标志图案，其中可看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平移的概念观察即可
【详解】
解：由“基本图案”经过旋转得到
由“基本图案”经过平移得到
由“基本图案”经过翻折得到
不能由 “基本图案”经过平移得到
故选：B
【点睛】
本题考查平移的概念，考查观察能力
2．一个多边形内角和是外角和的2倍，它是( )
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】B
【解析】
【分析】
多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【详解】
设这个多边形是n边形，根据题意得：
（n﹣2）×180°＝2×360°
解得：n＝6．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．2，2，5
【答案】A
【分析】
根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】
解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+2＞4，能够组成三角形； 符合题意
B中，2+3＝5，不能组成三角形；不符合题意
C中，2+2＝4，不能组成三角形；不符合题意
D中，2+2＜5，不能组成三角形．不符合题意
故选：A．
【点睛】
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
4．如图，将直角梯形ABCD平移得到EFGH，若HG＝10，MC＝2，MG＝4，则图中阴影部分面积为（　　）

A．36 B．24 C．28 D．54
【答案】A
【分析】
根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形的面积减去梯形的面积，恰好等于梯形的面积减去梯形的面积．
【详解】
解：阴影部分的面积等于梯形的面积减去梯形的面积，
等于梯形的面积减去梯形的面积，
阴影部分的面积等于梯形的面积，
，，，
．
故选：．
【点睛】
主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意：平移前后图形的形状和大小不变．本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形的面积减去梯形的面积，恰好等于梯形的面积减去梯形的面积．
5．如图，，分别与，交于点，．若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形的外角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．如图，△EFG 的三个顶点 E，G 和 F 分别在平行线 AB，CD 上，FH 平分∠EFG，交线段 EG 于 点 H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为（ ）

A．105° B．75° C．90° D．95°
【答案】B
【分析】
首先根据∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可．
【详解】
解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，
∴∠FEH=180°-36°-57°=87°；
∵AB∥CD，
∴∠EFG=∠AEF=36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=∠EFG=×36°=18°，
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．
7．如图，ABC中∠BAC＝90°，将周长为12的ABC沿BC方向平移2个单位得到DEF，连接AD，则下列结论：①ACDF，AC＝DF；②DE⊥AC；③四边形 ABFD的周长是16；④，其中正确的个数有（　　 ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据平移的性质逐一判定即可．
【详解】
解：∵将ABC沿BC向右平移2个单位得到DEF，
∴ACDF，AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF，AD＝BE＝CF＝2，∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴ED⊥DF，四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝12+2+2＝16．
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC﹣S△OEC＝S△DEF﹣S△OEC，
∴S四边形ABEO＝S四边形CFDO，
即结论正确的有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．
二、填空题
8．若一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为________．
【答案】七
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°，列式求解即可．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n-2）•180°=900°，
解得n=7．
故答案为：七．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
9．如图，将沿着射线的方向平移，得到，若，则平移的距离为______．

【答案】6
【分析】
根据平移的性质，结合图形与已知条件可直接求得结果．
【详解】
解：根据图形可得：线段CF的长度即为平移的距离，
∵EF＝13，EC＝7，
∴CF＝EF−EC＝13−7＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，结合图形准确判断平移的方向和距离．
10．如图，．若，则的度数为________．

【答案】
【分析】
根据平角的定义得出，由三角形外角的性质得出，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
解：如图，

∵，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则______．

【答案】75°
【分析】
如图，设AB与EF的交点为G，先根据平行的性质，得到∠AGE=∠F=45°，再根据外角定理得到∠1=30°+45°=75°．
【详解】
如图，设AB与EF的交点为G．

∵AB//BF
∴∠AGE=∠F=45°（两直线平行，同位角相等）
∴∠1=30°+45°=75°（三角形外角定理）
故答案为：75°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角定理，掌握相关的性质是解题的关键．
12．如图，将直角三角形沿着方向平移得到三角形，若，，，图中阴影部分的面积为，则三角形沿着方向平移的距离为__________．

【答案】
【分析】
根据题意，计算得；再根据阴影部分的面积，通过求解一元一次方程得，从而得，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得
∵
∴三角形为直角三角形
∴，
根据题意得：阴影部分的面积，且阴影部分的面积为
∴
∴
∴，即三角形沿着方向平移的距离为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平移、一元一次方程、三角形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握平移、一元一次方程的性质，从而完成求解．
13．一副直角三角板按如图所示放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上，点D在AC上，AB与DF相交于点O．若DE∥CF，则∠BOF等于__．

【答案】15°．
【分析】
根据平行线的性质，求出∠OFB，利用三角形外角的性质，求得∠BOF
【详解】
∵∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，
∴∠EDF＝30°，∠ABC＝45°，

∵DE∥CF，
∴∠OFB＝∠EDF＝30°，
∴∠BOF＝∠ABC﹣∠OFB＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的外角性质是解题的关键．
14．如图，是的中线，是的中点，连接，，于点．若，，则的面积为____．

【答案】18
【分析】
根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分进行求解即可；
【详解】
解：于点，，，
，
是的中线，
，
，
点是的中点，
，
故答案为18．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线性质，准确计算是解题的关键．
三、解答题
15．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．
【分析】
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．如图，在三角形ABC中，AC=4 cm，BC=3 cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE=8 cm，BD=2 cm．
求：(1)△ABC沿AB方向平移的距离；
(2)四边形AEFC的周长．

【答案】（1）△ABC沿AB方向平移的距离是3 cm；（2）四边形AEFC的周长是18cm
【分析】
（1）根据平移的性质可得AD=BE，由AE=8 cm，BD=2 cm可求出AD的长，即为平移的距离；
（2）根据平移的性质可求出CF和EF的长，进一步即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC沿AB方向平移至△DEF，
∴AD=BE．
∵AE=8 cm，BD=2 cm，
∴AD=BE==3cm；
即△ABC沿AB方向平移的距离是3 cm．
（2）由平移的性质可得：CF=AD=3cm，EF=BC=3cm，
∵AE=8cm，AC=4cm，
∴四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18(cm) ．
∴四边形AEFC的周长是18cm．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键．
17．如图，将三角形ABC向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1，
（1）作出平移后的三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．

【答案】（1）图见解析，点A1、B1、C1的坐标分别为（1，1），（-2，-6），（6，-1）；（2）．
【分析】
（1）利用点平移的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到三角形A1B1C1；继而得到点A1、B1、C1的坐标；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△ABC的面积．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

点A1、B1、C1的坐标分别为（1，1），（-2，-6），（6，-1）；
（2）三角形ABC的面积．
【点睛】
本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
18．已知：如图，在ABC中，点D在BC边上，EFAD分别交AB，CB于点E，F，DG平分∠ADC，∠1＋∠2＝180°，
（1）求证：ABDG；
（2）若∠B＝35°，∠DAC＝75°，求∠DGC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠DGC＝110°．
【分析】
（1）由平行线的性质和∠1+∠2＝180°，可推出DGAB；
（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．
【详解】
（1）证明：∵EFAD，
∴∠1+∠BAD＝180°．
∵∠1+∠2＝180°．
∴∠2＝∠BAD．
∴ABDG；
（2）解：∵ABDG，∠B＝35°，
∴∠GDC＝∠B＝35°，
∵DG平分∠ADC，
∴∠2＝∠GDC＝35°，
又∵∠DAC＝75°，
∴∠DGC＝∠DAC+∠2＝110°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．
19．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，已知△ABC的面积为40.
（1）直接写出△ACD、△ABE的面积.
（2）若BD=5，求点E到BC边的距离为多少?

【答案】（1）S△ACD=20，S△ABE=10；（2）点E到BC边的距离为4.
【分析】
（1）根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得答案；（2）作EF⊥BC于F，根据S△ABE=S△DBE=S△ABD=10，利用三角形面积公式求出EF的长即可.
【详解】
（1）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ACD=S△ABD=S△ABC，S△ABE=S△DBE=S△ABD，
∵△ABC的面积为40，
∴S△ACD=×40=20，S△ABE=×20=10.
（2）∵S△ABE=S△DBE=S△ABD=10，
∴BD·EF=10，即×5×EF=10，
解得：EF=4，
∴点E到BC边的距离为4.

【点睛】
本题考查了三角形中线的性质及三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题关键.
20．已知：在ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是ABC的高．
（1）如图1，当∠BAC＝50°时，求∠DBC的度数．
（2）如图2，当∠BAC＞90°时，请你判断∠DBC与∠BAC的关系，并证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的条件下，作BE平分∠DBA交CD于点E，CF平分∠ACB，连接EF，若∠FEB＝90°﹣∠BEC，求∠F度数．

【答案】（1）25°；（2）2∠DBC＝∠BAC，见解析；（3）22.5°
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形外角性质解答即可．
（3）根据三角形内角和和三角形外角性质解答即可．
【详解】
（1）∵∠ABC＝∠ACB，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°-50°）=65°，
∵BD是△ABC的高，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DBC＝65°﹣40°＝25°；
（2）2∠DBC＝∠BAC，理由如下：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠DAB＝2∠ABC＝180°﹣∠BAC，
∵BD是△ABC的高，
∴∠DBA＝90°﹣∠DAB＝90°﹣2∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝90°﹣2∠ABC+∠ABC＝90°﹣∠ABC，
∴∠DBC＝90°-（180°-∠BAC）＝；
即2∠DBC＝∠BAC；
（3）设∠DBC＝α，则∠BAC＝2α，
∵BE平分∠DBA，设∠DBE＝∠EBA＝β，
在△ABD中，∠BAC＝∠DBA+90°＝2β+90°＝2α，
则β＝α﹣45°＝∠EBA，
在△BDC中，∠BCD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣α，
∴∠FCE＝∠FCB＝（90°﹣α）＝45°﹣，
在△EFC中，∵∠FEB＝90°﹣∠BEC，则∠FEC＝90°+∠BEC，
在△ABE中，∠BAC＝∠BEC+∠EBA＝∠BEC+α﹣45°＝2α，
则∠BEC＝45°+α，
则∠FEC＝90°+∠BEC＝90°+（45°+α）＝112.5°+α，
而∠FCE＝45°﹣α，
则∠F＝180°﹣（∠FEC+∠FCE）＝180°﹣（112.5°+α+45°﹣α）＝22.5°．
【点睛】
本题为三角形综合题．主要考查的是三角形内角和；三角形外角性质，理清思路，确定三角形的外角是解题的关键．
21．在△ABC中，∠C>∠B．如图①，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．

（1）如图①，∠B=30°，∠C=40°，则∠DAE= ．
（2）如图①，∠B=40°，∠C=80°，则∠DAE= ．
（3）由（1）（2）能猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系是什么？并说明理由．
（4）如图②，AE平分∠BAC，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D，这时∠EFD与∠B、∠C有何数量关系？请说明理由．
（5）如图③，AE平分∠BAC，F为AE延长线上的一点，FD⊥BC于点D，请你写出这时∠EFD与∠B、∠C之间的数量关系(只写结论，不必说明理由)．
【答案】（1）5°；（2）20°；（3）∠EFD=(∠C-∠B)；（4）∠EFD=(∠C-∠B)；（5）∠EFD=(∠C-∠B)
【分析】
（1）根据三角形内角和求出的度数，再根据角平分线的性质求出，再运用三角形内角和和角的和差去求即可．
（2）和（1）的方法一样．
（3）根据角平分线的性质得到，再由三角形内角和得到，最后通过角的和差关系求出答案．
（4）根据角平分线的性质和三角形内角和得到，运用三角形外角的性质得出，再根据三角形内角和求出结果．
（5）根据（4）可以得出，再根据三角形内角和求出结果即可．
【详解】
解：（1），，
，
AE平分，
，
，
，
，
．
故答案应为：．
（2），，
，
AE平分，
，
又，
，
，
，
故答案应为：．
（3），理由如下：
AE平分，
，
，
，
，
，
，
．
（4），理由如下：
，
，
，
AE平分，
，
，
，
（5），理由如下：
由（4）可知：，
，
，
，
．
【点睛】
主要考查三角形内角和，三角形外角的性质，角平分线的性质，角的和差关系，运用这些知识去解决问题．