专题08 分式方程的实际应用-2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题08 分式方程的实际应用

【典型例题】

1．某糕点加工店受资金和原料保质期等因素影响，在购买主要原料面包粉和蛋糕粉时需分次购买．下表是该店最近三次购进原料的数量和总金额，其中前两次是按原价购买，第三次享受了优惠．

（1）求第三次购买时，该店比按原价购买节省的总金额；

（2）该店第四次购买原料时发现价格较第二次又有调整，每袋面包粉售价降了元，每袋蛋糕粉售价降了元，这时用576元能够购买到面包粉的袋数是蛋糕粉袋数的．求这两种原料现在的售价．

【答案】（1）第三次购买时，该店比按原价购买节省的总金额为228元；（2）现在面包粉每袋的售价是96元，蛋糕粉每袋的售价是72元

【分析】

(1) 设面包粉售价为元/袋，蛋糕粉售价为元/袋，列出二元一次方程组，求得面包粉和蛋糕粉的单价，再计算出第三次原价购买的总金额即可；

(2)根据题意列出分式方程，求解即可．

【详解】

解：(1)设面包粉售价为元/袋，蛋糕粉售价为元/袋，

根据题意，得，

解，得．

（元）．

答：第三次购买时，该店比按原价购买节省的总金额为228元．

（2）根据题意，得．

解，得．

经检验：是原方程的根．

此时，，．

答：现在面包粉每袋的售价是96元，蛋糕粉每袋的售价是72元．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用和分式方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找到等量关系，列出方程．

【专题训练】

一、选择题

1．广汽新能源汽车公司已经在长沙建成投产，随着市场对新能源汽车的需求越来越大，为了满足市场需求，该厂更新了生产线，加快了生产速度，现在平均每月比更新技术前多生产300台新能源汽车，现在生产5000台新能源汽车所需时间与更新生产线前生产4000台新能源汽车所需时间相同．设更新技术前每月生产台新能源汽车，依题意得（　　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设更新技术前每月生产台新能源汽车，更新技术后每月生产台新能源汽车，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产5000台新能源汽车所需时间与更新技术前生产4000台新能源汽车所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：更新技术前每月生产台新能源汽车，更新技术后每月生产台新能源汽车，
依题意，得：．
故选：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

2．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）

A．＝ B．

C．＝﹣40 D．＝

【答案】D

【分析】

设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，

依题意得：．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用，准确计算是解题的关键．

3．师徒两人做工艺品，已知徒弟每天比师傅少做6个，徒弟做40个所用的时间与师傅做60个所用的时间相同．如果设徒弟每天做x个，那么可列方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题目中数量关系徒弟做40个所用的时间与师傅做60个所用的时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．

【详解】

解：由题意可得，
，
故选：A．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．

4．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念．地计划将亩荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的倍，进而比原计划提前天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山亩，可列方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设原来平均每天绿化荒山x亩，则实际平均每天绿化荒山1.5x亩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前2天完成绿化任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【详解】

解：设原来平均每天绿化荒山亩，则实际平均每天绿化荒山为亩，

依题意得：．

故答案为：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

二、填空题

5．我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买株椽，根据题意可列方程为____________．

【答案】

【分析】

根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：依题意，得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

6．、两地相距千米，一艘轮船从地顺流行至地，又立即从地逆流返回地，共用小时，已知水流速度为千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程为__________．

【答案】

【分析】

设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则一艘轮船从A地顺流航行至B地，已知水流速度为4千米/时，所花时间为；从B地逆流返回A地，水流速度为4千米/时，所花时间为根据题意列方程即可．

【详解】

解：设该轮船在静水中的速度为x千米时，根据题意列方程得：

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，关键是正确列出分式方程，找出题干中等量关系式即可．

7．前年“五•一”期间，一批大二同学包租一辆客车去蜀南花海游览，客车的租金为500元，出发时，又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了5元车费，若设原来参加游览的同学一共有人，为求，可列方程为__________．

【答案】

【分析】

设原来参加游览的同学一共有人，则实际有（x+5）人，计算两种人数下的人均费用，根据每个同学比原来少分摊了5元车费为等量关系列出方程

【详解】

设原来参加游览的同学一共有人，则实际有（x+5）人，

根据题意，得 ，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用题，正确理解题意，选择适当的等量关系是解题的关键．

8．近年来，我市大力发展城市快速交通，张老师开车从家到学校有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线A的平均速度．设A路线的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为_____．

【答案】

【分析】

若设路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+50%）x千米/小时，根据路线B的全程比路线A少用6分钟可列出方程．

【详解】

解：由题意可得走路线B时的平均速度为（1+50%）x千米/小时，

∴，

故答案为：

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

三、解答题

9．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．

【答案】0.3万元

【分析】

设甲种电脑价格为x万元，则乙为x+0.2万元，再根据“12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同”，列出方程，求解即可．

【详解】

解：设每台甲种电脑的价格为x万元，

由题意，得，

解得，

经检验是原分式方程的解，且符合题意，

答：每台甲种电脑的价格为0.3万元．

【点睛】

本题主要考查了分式方程解决实际问题知识，找到等量关系列方程是解决问题的关键．

10．为响应“地球熄灯一小时”的号召，某饭店在当天晚上推出烛光晚餐活动．计划用2000元购进一定数量的蜡烛，因为是批量购买，每支蜡烛的价格比原价低20%，结果用相同的费用比原计划多购进25支，则每支蜡烛的原价为多少？

【答案】每支蜡烛的原价为20元．

【分析】

设每支蜡烛的原价为x元，根据等量关系是总费用除以每支蜡烛的原价+25=总费用除以每支蜡烛的价格比原价低20%的价格，列方程求解即可．

【详解】

解：设每支蜡烛的原价为x元，

根据题意得：，

整理得，

解得x=20元，

经检验x=20元符合题意，

答每支蜡烛的原价为20元．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题步骤和方法，抓住等量关系是列方程是解题关键．

11．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书．已知七、八年级同学捐书总数相等都是900本，八年级捐书人数比七年级多30人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.2倍．求八年级人均捐书的数量．

【答案】八年级人均捐书5本

【分析】

设八年级人均捐书x本，则七年级人均捐书1.2x本，根据捐书人数=捐书总量÷人均捐书数量，结合八年级捐书人数比七年级多30人，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【详解】

解：设八年级人均捐书x本．

根据题意，得，解得：x=5

经检验，x=5是原方程的解，且符合题意．

答：八年级人均捐书5本．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

12．某商店准备购进A，B两种商品， A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．

（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

【答案】（1）A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价是30元；（2）该商店有5种进货方案．

【分析】

（1）设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价是（x−20）元，由题意得关于x的分式方程，求解并检验，然后作答即可；

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40−a）件，由题意得关于a的不等式组，解得a的取值范围，再取整数解，则方案数可得．

【详解】

解：（1）设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价是（x−20）元，

由题意得：，

解得：x＝50，

经检验，x＝50是原方程的解且符合实际意义．

50−20＝30（元），

答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价是30元；

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40−a）件，

由题意得：

，

解得：≤a≤18，

∵a取整数，

∴a可为14，15，16，17，18，

答：该商店有5种进货方案．

【点睛】

本题考查了分式方程和一元一次不等式组在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．

13．某超市用4000元购进某种牛奶，面市后供不应求，超市又用1万元购进第二批这种牛奶， 所购数量是第一批的2倍，但单价贵了2元．

（1）第一批牛奶进货单价为多少元？

（2）超市销售两批牛奶售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则售价至少为多少元？

【答案】（1）8元；（2）12元

【分析】

（1）设第一批牛奶进货单价为x元，根据题意列出分式方程，解方程即可得到解答；
（2）由（1）可以得到两批牛奶的数量，然后设售价为a元，根据题意可以得到关于a的不等式，解不等式可以得到解答．

【详解】

（1）设第一批牛奶进货单价为x元，则第二批牛奶进货单价为（x＋2）元，由等量关系式“第二批数量＝第一批数量×2”，
可列方程为：，
解得x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，
∴第一批牛奶进货单价为8元．

（2）由（1）可得第一批牛奶的数量为4000÷8＝500瓶，第二批牛奶的数量为500×2＝1000瓶．

设售价为a元，依不等关系式“第一批利润＋第二批利润≥4000”可列不等式式为：

 500（a－8）＋1000（a－10）≥4000，

解得a≥12，

∴售价至少为12元．

【点睛】

本题考查分式方程与不等式的综合运用，熟练掌握分式方程的列法及求解、一元一次不等式的列法及求解是解题关键．

14．某制药厂生产一种创新型中药，该药对于治疗流感及新冠肺炎都有较好的疗效．该制药厂第一车间原来每天能生产该药品960箱，受疫情影响，曾经停工停产，在复工复产初期，该生产车间仍有6名工人没有报到．已到厂的工人积极生产，原来每天工作8小时，现在每天加班2小时，在每人每小时平均完成的工作量不变的情况下，该车间现在每天能生产该药品840箱．

（1）该制药厂第一车间原来有工人多少人？

（2）就这样加班生产已过10天，该制药车间接到加急任务：将复工后的21000箱药品供应武汉市，制药厂决定从其他制药车间抽调6名技术工人以填补未到岗工人的空缺，并且每天仍然加班生产2小时，那么该车间至少还需要生产多少天才能完成任务？

【答案】（1）该制药厂第一车间原来有工人20人；（2）至少还需要生产10.5天才能完成任务

【分析】

（1）设该制药厂第一车间原来有工人人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；

（2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面10天完成的工作量＋后面y天完成的工作量≥21000列出关于y的不等式，求解即可．

【详解】

解：（1）设该制药厂第一车间原来有工人人，根据题意，得

，

解得．

经检验，是原分式方程的解且符合题意．

答：该制药厂第一车间原来有工人20人．

（2）设还需要生产天才能完成任务．

当时，（箱），

即每人每小时生产该药物6箱．

由题意得，，

解得．

答：至少还需要生产10.5天才能完成任务．

【点睛】

本题考查分式方程及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．

15．一个电器超市购进A，B两种型号的电风扇后进行销售，若一台A种型号的电风扇进价比一台B种型号的电风扇进价多30元，用2000元购进A种型号电风扇的数量是用3400元购进B种型号电风扇的数量的一半．

（1）求每台A种型号电风扇和B种型号的电风扇进价分别是多少？

（2）该超市A种型号电风扇每台售价260元，B种型号电风扇每件售价190元，超市根据市场需求，决定再采购这两种型号的电风扇共30台，若本次购进的两种电风扇全部售出后，总获利不少于1400元，求该超市本次购进A种型号的电风扇至少是多少台？

【答案】（1）每台A种型号电风扇的进价为200元，则B种型号的电风扇进价是170元；（2）20台

【分析】

（1）合理引进未知数，列分式方程求解即可；

（2）把问题转化为不等式问题求解即可．

【详解】

解：（1）设每台A种型号电风扇的进价为x元，则B种型号的电风扇进价是元，根据题意可得：

解得：，

经检验得：是原方程的根，

则，

答：每台A种型号电风扇的进价为200元，则B种型号的电风扇进价是170元；

（2）设购进A种型号的电风扇a台，则设购进B种型号的电风扇台，根据题意可得：

解得：，

答：该超市本次购进A种型号的电风扇至少是20台．

【点睛】

本题考查了分式方程，不等式的整数解，熟练掌握分式应用题的求解法，不等式的整数解求解方法是解题的关键．

16．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．

①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？

②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？

【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；（2）①不够用，需追加预算2万元；②甲工程队至少需要施工40天

【分析】

（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；

（2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断；

②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论．

【详解】

解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．

根据题意，得：，

解得 x＝60．

经检验，x＝60是原方程的根．

∴1.5x＝60×1.5＝90．

答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；

（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，

，

解得：y＝36，

36×（2.5+2）＝162（万元），

∵162＞160，

∴不够，

需追加162﹣160＝2（万元），

答：不够用，需追加预算2万元；

②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，

根据题意得：，

由得：2b＝180﹣3a，

把2b＝180﹣3a代入得：2.5a+180﹣3a≤160，

a≥40，

∴甲工程队至少需要施工40天．

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键．

17．温州市开展“明眸皓齿”工程以后，某商店准备购进A，B两种护眼灯，已知每台护眼灯的进价A种比B种多40元，用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同．

（1）A，B两种护眼灯每台进价各是多少元？

（2）该商店计划用不超过14550元的资金购进A，B两种护眼灯共80台，A，B两种护眼灯的每台售价分别为300元和200元．

①若这两种护眼灯全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？

②若该商店捐赠8台护眼灯给温州市社会福利院，且剩余的护眼灯全部售出，现要使得80台护眼灯的利润率等于20%，则该商店应购进A，B两种护眼灯各多少台？（利润率＝×100%）

【答案】（1）A种护眼灯每台进价为200元，B种护眼灯每台进价为160元；（2）①A种护眼灯买43台，B种护眼灯买37台时，能获得最大利润为5780元；②A种护眼灯购进30台，B种护眼灯购进50台

【分析】

（1）设每台B种护眼灯进价为x元，则A种护眼灯进价为（x＋40）元，由“用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同”列出分式方程并求解，即可得到答案；

（2）①设A种护眼灯买m台，B种护眼灯买（80﹣m）台，利润为W元，根据题意列一元一次不等式，可求出m的取值范围，并求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可；

②设购进n台A种护眼灯，有a台A种护眼灯捐赠给福利院，则购进（80﹣n）台B种护眼灯，（8﹣a）台B种护眼灯捐赠给福利院，再根据题意列方程并求解，即可得到答案．

【详解】

（1）设B种护眼灯每台进价为x元，则A种护眼灯每台进价为（x＋40）元，

由题意，得：，

解得：x＝160，

经检验，x＝160是原方程的解，

∴A种护眼灯每台进价为200元，B种护眼灯每台进价为160元；

（2）①设A种护眼灯买m台，B种护眼灯买（80﹣m）台，利润为W元，

根据题意得：200m＋160（80﹣m）≤14550，

∴，且m为整数，

W＝（300﹣200）m＋（200﹣160）（80﹣m）＝60m＋3200，

W为关于m的一次函数，k＝60＞0，

∴W随m的增大而增大，

∴当m＝43时，W有最大值5780，

∴A种护眼灯买43台，B种护眼灯买37台时，能获得最大利润为5780元；

②设购进n台A种护眼灯，有a台A种护眼灯捐赠给福利院，则购进（80﹣n）台B种护眼灯，（8﹣a）台B种护眼灯捐赠给福利院，

由利润率等于20%可得：300（n﹣a）＋200（72﹣n＋a）＝1.2[200n＋160（80﹣n）]；

化简得：n＝，

∵n，a均为整数，且0≤a≤8，

∴a＝6，n＝30．

∴A种护眼灯购进30台，B种护眼灯购进50台．

【点睛】

本题考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数的知识，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式、一次函数的性质，从而完成求解．