专题1.4整式的加减精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车【人教版】

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【目标导航】
【知识梳理】
1.同类项：
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
2.合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
3.去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
4.整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
【典例剖析】
【考点1】合并同类项
【例1】（2019秋•费县期中）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2B．4a2+a＝5a2
C．﹣a3﹣a3＝﹣2a3D．2a2﹣a＝a
【变式1.1】（2019秋•沂南县期中）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2B．a5﹣a2＝a3
C．3a+3b＝3abD．2a2b﹣a2b＝a2b
【变式1.2】（2019秋•钟楼区期中）下列计算正确的是（ ）
A．﹣5m2n+5nm2＝0B．3+2ab＝5ab
C．5xy﹣y＝5xD．x3﹣x＝x2
【变式1.3】（2019秋•无棣县期末）下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6 B．5a﹣4a＝1
C．3a2+2a3＝5a5 D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b
【变式1.4】（2020春•岱岳区期中）若12x2a+by3与53x6ya-b的和是单项式，则a+b＝（ ）
A．﹣3B．0C．3D．6
【变式1.5】（2019秋•兴安盟期末）若-27xa-1y2与-35x2yb+1能合并成一项，则ba的值是（ ）
A．﹣1B．5C．1D．﹣5
【变式1.6】（2019秋•大丰区期末）合并同类项：
（1）5m+2n﹣m﹣3n
（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2
【考点2】去括号
【例2】（2019秋•邹城市期中）下列各式正确的是（ ）
A．a﹣（﹣b）﹣（+c）＝a+b+cB．a+（﹣b）﹣（+c）＝a+b﹣c
C．a+（﹣b）+（﹣c）＝a+b﹣cD．a﹣（+b）﹣（﹣c）＝a﹣b+c
【变式2.1】（2019秋•临沭县期中）下列去括号正确的是（ ）
A．﹣3（b﹣1）＝﹣3b+1B．﹣2（a﹣2）＝﹣2a﹣4
C．﹣3（b﹣1）＝3b﹣3D．﹣2（a﹣2）＝4﹣2a
【变式2.2】（2019秋•天桥区期末）下列去括号正确的是（ ）
A．﹣3（b﹣1）＝﹣3b+1B．﹣3（a﹣2）＝﹣3a﹣6
C．﹣3（b﹣1）＝3﹣3bD．﹣3（a﹣2）＝3a﹣6
【变式2.3】（2019秋•太仓市期中）下列变形中，正确的是（ ）
A．a+b+c﹣d＝a+（b+c+d）B．a﹣（b﹣c+d）＝a﹣b+c+d
C．a﹣b﹣c﹣d＝a﹣b﹣（c﹣d）D．a+b﹣（﹣c﹣d）＝a+b+c+d
【变式2.4】（2019秋•建邺区期中）下列各题去括号正确的是（ ）
A．（a﹣b）﹣（c+d）＝a﹣b﹣c+dB．a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b﹣c
C．（a﹣b）﹣（c+d）＝a﹣b﹣c﹣dD．a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b﹣2c
【变式2.5】（2019秋•徐州期末）下列去括号的过程
（1）a+（b﹣c）＝a+b﹣c；（2）a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c；（3）a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c；（4）a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c．
其中，运算结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点3】整式的加减
【例3】（2019秋•邹城市期中）一个多项式与a2﹣2a+1的和是3a﹣2，则这个多项式为（ ）
A．a2﹣5a+3B．﹣a2+5a﹣3C．a2﹣5a﹣13D．﹣a2+a﹣1
【变式3.1】（2019秋•崇川区校级期中）下列式子正确的（ ）
A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y﹣z
B．﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d）＝﹣a+b+c+d
C．x﹣2（z+y）＝x﹣2y﹣2
D．﹣（x﹣y+z）＝﹣x﹣y﹣z
【变式3.2】（2019秋•钟楼区期中）若代数式（x3﹣4xy+1）﹣2（x3﹣mxy+1）化简后不含xy项，则m等于（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【变式3.3】（2019秋•临沭县期中）多项式8x2﹣3x+5与多项式3x3﹣4mx2﹣5x+7相减后，不含二次项，则m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．0D．1
【变式3.4】（2019秋•东阿县期末）设M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．无法确定
【变式3.5】（2019秋•翠屏区期末）化简：
（1）﹣3a2﹣2a+2+6a2+1+5a；
（2）x+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2）．
【变式3.6】（2020春•香坊区校级期中）计算：
（1）（-34+23-112）×24；
（2）5×（﹣3）2+（﹣2）3÷4；
（3）5ab2﹣3ab2+13ab2；
（4）（7m2n﹣5mn）﹣（4m2n﹣5mn）．
【考点4】整式的化简求值
【例4】（2019秋•阳信县期末）已知a﹣b＝3，c+d＝2，则（a+c）﹣（b﹣d）的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【变式4.1】（2019秋•望花区期末）整式x2﹣3x的值是4，则3x2﹣9x+8的值是（ ）
A．20B．4C．16D．﹣4
【变式4.2】（2019秋•邹城市期中）若m2﹣m＝1，则（4m2﹣3m）﹣2（m2-12m）值是 ．
【变式4.3】（2019秋•平邑县期中）如果m和n互为相反数，则化简（3m﹣n）﹣（m﹣3n）的结果是
【变式4.4】（2019秋•曹县期末）已知x=-32，那么4（x2﹣x+1）﹣3（2x2﹣x+1）的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【变式4.5】（2019秋•兰陵县期中）化简求值：
（1）3a2b﹣[2ab2﹣2（﹣a2b+4ab2）]﹣5ab2，其中a＝﹣2，b=12；
（2）x2﹣3（2x2﹣4y）+2（x2﹣y），其中x＝﹣2，y=15．
【变式4.6】（2019秋•平邑县期中）化简求值：
（1）﹣（3a2﹣4ab）+[a2﹣2（2a2+2ab）]，其中a＝﹣1．
（2）x2﹣3（2x2﹣4y）+2（x2﹣y），其中x＝﹣2，y=15．
【考点5】整体思想在整式加减中的应用
【例5】（2017秋•临沂期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为 ．
【变式5.1】若x﹣y看成一个整体，则化简（x﹣y）2﹣3（x﹣y）﹣4（x﹣y）2+5（x﹣y）的结果是 ．
【变式5.2】（2019秋•长春期中）化简求值
（1）4a﹣2b+3b﹣a+2，其中a＝3，b＝5
（2）3（a+b）+5（a+b）﹣2（a+b），其中a+b＝2．（提示：将a+b当成整体进行化简．）
【变式5.3】（2017秋•天河区期末）解答下列问题：（提示：为简化问题，往往把一个式子看成一个数或一个整体解决问题）
（1）若代数式 2x+3y 的值为﹣5，求代数式 4x+6y+3 的值；
（2）已知 A＝3x2﹣5x+1，B＝﹣2x+3x2﹣5，求当x=13时，A﹣B 的值．
【变式5.4】把（x﹣y）看作一个整体，将-12（x﹣y）2+12（x﹣y）﹣（x﹣y）2+（x﹣y）化简，并求当x＝2，y＝4时该代数式的值．
【变式5.5】整体代换再求值：
（1）已知a2﹣ab＝6，ab﹣b2＝2，求a2﹣2ab+b2，a2﹣b2的值；
（2）已知2x﹣y＝5，求（y﹣2x）2﹣3y+6x﹣60的值．
【考点6】代数式求值问题
【例6】（2019秋•西湖区期末）已知a﹣3b＝6，
（1）用b的代数式表示a．
（2）求代数式5﹣3a+9b的值．
（3）a，b均为自然数，且均小于13，求满足条件的a，b的值．
【变式6.1】（2019秋•青羊区校级期中）某电影院某日某场电影的票价是：成人票50元，学生票20元，若满50人成人票为45元，学生票为18元，某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x人．
（1）如果学生人数为40人，该班买票应付 元．
（2）如果学生人数为46人，该班买票应付 元．
（3）用含x的代数式表示该班买票应付 元？
【变式6.2】（2020春•新泰市期末）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形．
（1）请你用含有a、b的式子表示阴影部分的面积；
（2）当a＝7米，b＝2米时，求阴影部分的面积．
【变式6.3】（2019秋•西湖区期末）已知a﹣3b＝6，
（1）用b的代数式表示a．
（2）求代数式5﹣3a+9b的值．
【变式6.4】（2020春•南岗区校级期中）如图所示，是两种长方形铝合金窗框，已知窗框的长都是y米，宽都是x米，已知一用户需A型的窗框2个，B型的窗框3个．
（1）用含x、y的式子表示共需铝合金的长度（窗框本身宽度忽略不计）；
（2）若1米铝合金的平均费用为100元，求当x＝1.5，y＝2.5时，（1）中铝合金的总费用为多少元？
【变式6.5】（2019秋•永城市期末）如图，在宽为30米，长为48米的长方形地面上，修筑宽度为x米的两条互相垂直的小路，余下的部分作为草地，现给两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是每平米a元．
（1）买地砖需要多少元？（用含a，x的式子表示）
（2）当a＝50，x＝3时，计算地砖的费用．
【变式6.6】（2019秋•桐梓县期末）某窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其中上部是半径为xcm的半圆形，下部是宽为ycm的长方形．
（1）用含x，y的式子表示窗户的面积S；
（2）当x＝40，y＝120时，求窗户的面积S．
【考点7】整式加减中的无关性问题
【例7】（2019秋•长白县期中）如果关于字母x的二次多项式﹣3x2+mx+nx2﹣x+3的值与x无关，求m，n的值．
【变式7.1】（2019秋•沙坪坝区校级期中）已知：A＝4x2﹣mx+1，B＝x2﹣3x﹣4．
（1）若m＝3时，求A﹣B；
（2）若A﹣4B的值与x的值无关，求m的值．
【变式7.2】（2019秋•江阴市校级期中）已知A＝﹣xy+x+1，B＝4x+3y，
（1）当x＝﹣2，y＝0.6时，求A+2B的值；
（2）若代数式2A﹣B的结果与字母y的取值无关，求x的值．
【变式7.3】（2019秋•海陵区校级期中）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy
（1）求A﹣3B的值．
（2）当x+y=56，xy＝﹣1，求A﹣3B的值．
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
【变式7.4】（2019秋•蚌埠期末）已知多项式（2x2﹣ax﹣y+1）﹣（bx2+x﹣7y﹣3）．
（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2﹣3ab+2b2）的值．
【变式7.5】（2019秋•栾城区期末）已知代数式A＝x2+3xy+x﹣12，B＝2x2﹣xy+4y﹣1
（1）当x＝y＝﹣2时，求2A﹣B的值；
（2）若2A﹣B的值与y的取值无关，求x的值．
【考点8】整式的应用——面积问题
【例8】（2020春•新泰市期末）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形．
（1）请你用含有a、b的式子表示阴影部分的面积；
（2）当a＝7米，b＝2米时，求阴影部分的面积．
【变式8.1】（2019秋•大连期末）某村种植了小麦、水稻、玉米三种农作物，小麦种植面积是a亩，水稻种植面积是小麦种植面积的4倍，玉米种植面积比小麦种植面积的2倍少3亩．
问：（1）水稻种植面积；（含a的式子表示）
（2）水稻种植面积和玉米种植面积哪一个大？为什么．
【变式8.2】（2019秋•杏花岭区校级期末）如图是用两个正方形（边长如图所示）和一个直角三角形拼成的五边形，求阴影部分的面积．（用含a的代数式表示）
【变式8.3】（2019秋•市南区期末）如图是一个长为a，宽为b的长方形，两个阴影图形的一组对边都在长方形的边上，其中一个是宽为1的长方形，另一个是一边长为1的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示长方形中空白部分的面积；
（2）当a＝4，b＝3时，求长方形中空白部分的面积．
【变式8.4】（2019秋•潍坊期末）已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地，若长方形的长为a米，宽为b米．
（1）请用代数式表示阴影部分的面积；
（2）若长方形广场的长为200米，宽为150米，正方形的边长为10米，求阴影部分的面积．
【变式8.5】（2019秋•郓城县期末）一个花坛的形状如图所示，它的两端是半径相等的半圆，求：
（1）花坛的周长l；
（2）花坛的面积S；
（3）若a＝8m，r＝5m，求此时花坛的周长及面积（π取3.14）．
【考点9】整式的应用——销售问题
【例9】（2019秋•东方期末）商店出售甲、乙两种书包，甲种书包每个38元，乙种书包每个26元，现已售出甲种书包a个，乙种书包b个．
（1）用代数式表示销售这两种书包的总金额；
（2）当a＝2，b＝10时，求销售总金额．
【变式9.1】（2019秋•仁怀市期末）某水果商店以每箱200元价格从市场上购进一批苹果共8箱，若以每箱苹果净重30kg为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，称重后记录如下：+1.5，﹣3.5，+2，+2.5，﹣1.5，﹣4，﹣2，+1
（1）这8箱苹果一共重多少千克，购买这批苹果一共花了多少元？
（2）若把苹果的销售单价定为每千克x元，那么销售完这批苹果（损耗忽略不计）获得的总销售金额为
元，获得利润为 元（用含字母x的式子表示）；
（3）在（2）条件下，若水果商店计划共获利32.75%，请你通过列方程并求出x的值．
【变式9.2】（2019秋•苍南县期末）为拓宽销售渠道，某水果商店计划将146个柚子和400个橙子装入大、小两种礼箱进行出售，其中每件小礼箱装2个柚子和4个橙子；每件大礼箱装3个柚子和9个橙子．要求每件礼箱都装满，柚子恰好全部装完，橙子有剩余，设小礼箱的数量为x件．
（1）大礼箱的数量为 件（用含x的代数式表示）．
（2）若橙子剩余12个，则需要大、小两种礼箱共多少件？
（3）由于橙子有剩余，则小礼箱至少需要 件．
【变式9.3】（2019秋•东明县期中）小丽暑假期间参加社会实践活动，从某批发市场以批发价每个m元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n元到市场出售（结果用含m，n的式子表示）
（1）求售出100个手机充电宝的总售价为多少元？
（2）由于开学临近，小丽在成功售出60个充电宝后，决定将剩余充电宝按售价8折出售，并很快全部售完．（注：售价的8折即按原售价的80%出售）
①她的总销售额是多少元？
②假如不采取降价销售，且也全部售完，她将比实际销售多盈利多少元？
【变式9.4】（2019秋•德州期中）食品厂销售一种蔬菜，如果不加工直接出售，每千克可卖y元；如果经过加工，质量将减少20%，每千克价格则增加40%．
（1）x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱？
（2）如果这种蔬菜1000千克，不加工直接出售每千克可卖1.50元，问加工后原 1000千克这种蔬菜可卖多少钱？比加工前多卖多少钱？
【变式9.5】（2019秋•兰陵县期中）某服装厂加工了一批西服，成本为每套200元，原定每套以280元的价格销售，这样每天可销售200套，若每套在原价的基础上降低10元销售，则每天可多售出100套．据此回答下列问题：
（1）若按原价销售，则每天可获利 元．（销售利润＝单件利润×销售数量）
（2）若每套降低10元销售，则每天可卖出 套西服，共获利 元．
（3）若每套西服售价降低10x元，则每套西服的售价为 元，每天可以销售西服 套，共可获利 元．（用含x的代数式表示）
【考点10】整式的应用——方案比较问题
【例10】（2019秋•德惠市期中）某商店出售一种商品原价为a元，有如下两种销售方案：
方案一：先提价10%，再降价10%；
方案二：先提价20%，再降价20%；
请你想一想用这两种方案销售的价格是否一样？哪种方案更优惠？
【分析】先提价10%为11am%，再降价10%后价钱为0.99a．先提价20%为120a%，再降价20%后价钱为0.96a，可知，两种方法结果不一样．
【解答】解：方案一：a（1+10%）（1﹣10%）＝0.99a．
方案二：a（1+20%）（1﹣20%）＝0.96a．
∵0.99a＞0.96a，
∴两种方案的销售价格不一样，第二种方案更优惠．
【点评】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是能够表示出降价或涨价后的量，难度不大．
【例10.1】（2019秋•定州市期中）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，球拍每个定价30元，乒乓球每盒定价6元商场在开展促销活动中，向客户提供两种优惠方案：
①买一个球拍送一盒乒乓球；
②球拍和乒乓球都按定价的九折付款．
现某客户要到该商场购买球拍20个，乒乓球x盒（x＞20）
（1）若该客户按方案①购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）；
若该客户按方案②购买需付款多少元（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
【变式10.2】（2019秋•槐荫区期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价500元，领带每条定价100元，“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．现某客户要到商场购买西服20套，领带x条（x＞20）．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
（1）若客户按方案一购买，需付款 元；
若客户按方案二购买，需付款 元；
（2）若x＝30，请通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算此方案需要付款多少元？
【变式10.3】（2019秋•西岗区期末）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价2000元，茶碗每只定价200元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能是写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能说明理由．
【变式10.4】（2019秋•舞钢市期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【变式10.5】（2019秋•会昌县期中）开学期间，为了打扫卫生，班主任派卫生委员小敏去市场购买一些扫帚和抹布，选定一家店后，老板告诉小敏，扫帚每把15元，抹布每块3元，现为了搞促销，有两种优惠方案
方案一：买一把扫帚送一块抹布
方案二：扫帚和抹布都按定价的90%付款
小敏需要购买扫帚5把，抹布x块（x＞5）
（1）若小敏按方案一购买，需付款多少元（用含x的式子表示
（2）若小敏技方案二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）
（3）当x＝10时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算
【变式10.6】（2019秋•邹城市期中）甲、乙两家商场都以m（m＞1000）元的价格购进了10台电器，每台销售定价都为n元．但在实际销售中，各自推出了优惠方案，甲商场规定：凡超过1000元的电器，超出的金额按90%收取；乙商场规定：凡超过500元的电器，超出的金额按95%收取．一段时间后，两家商场各自销售完了这10台电器，并且都有了盈利．
（1）如果销售完这10台电器，两家商场的盈利各多少元（结果用含m，n的式子表示）？
（2）如果销售完这10台电器，两家商场的盈利相差多少元（结果用含m，n的式子表示）？
（3）如果n＝1700，那么某顾客想购买该种电器，应选择哪一家商场购买比较合算？说明理由．