2022云南省高三下学期3月第一次高中毕业生复习统一检测（一模）数学试题含答案

2022年云南省第一次高中毕业生复习统一检测

理科数学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设为虚数单位，则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 的二项展开式中第4项的系数为（    ）

A. -80 B. -40 C. 40 D. 80

5. 已知双曲线：的右焦点为，圆的半径为2，双曲线的一条渐近线与圆相交于、两点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

6. 某中学为提高学生的健康水平，增设了每天40分钟的体育锻炼课程，学生可以在跳绳、羽毛球、乒乓球、篮球、排球等课程中选择一门.为了解该校学生参与乒乓球运动的情况，在全校班级中随机抽取了7个班（将其编号为1，2，…，7），下表是这7个班参与乒乓球运动的人数统计表：

若从这7个班中随机选取2个进行调查研究，则选出的2个班中至少有1个班参与乒乓球运动的人数超过12人的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 若，则（    ）

A.   B.

C.   D.

8. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A. 向左平移个单位  B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位  D. 向右平移个单位

9. 下列图形是某几何体的三视图（正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图与侧视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是面积等于的圆.若该几何体的侧面展开图是个半圆，则这个几何体的体积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上.经过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点.若，线段的中点的纵坐标为-5，则抛物线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若实数，满足约束条件，则的最大值等于__________.

14. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.

15. 在三棱锥中，平面，，三棱锥的顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则三棱锥的体积为__________.

16. 若曲线在点处的切线与直线平行，则__________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

下表是某高校2017年至2021年的毕业生中，从事大学生村官工作的人数：

经过相关系数的计算和绘制散点图分析，我们发现与的线性相关程度很高.

请建立关于的回归方程，并据此回归方程预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数.

附：，.

18.（12分）

已知数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

19.（12分）

如图，在直三棱柱中，，是的中点，是线段上的点，，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

20.（12分）

已知函数，是自然对数的底数，，.

（1）求的单调区间；

（2）记：有两个零点；：.求证：是的充要条件.

要求：先证充分性，再证必要性.

21.（12分）

在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.

（1）直接写出曲线的极坐标方程；

（2）若与交于、两点，与交于、两点，求的取值范围.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，.

（1）求证：，；

（2）已知为常数，有实数解.若，，且，求的最小值.

2022年云南省第一次高中毕业生复习统一检测

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1-5：CACBB 6-10：DCDAB 11-12：BD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 16      14. 20      15.       16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. 解：依据题意得：

，

，

，

，

，.

∴所求回归方程为.

当时，.

所以预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数大约为11人.

18. 解：（1）∵，

∴.

∴.

∵数列的前项和为，

∴.

∴.

∴.

当时，由和得，

解方程得.

∴.

∴数列的通项公式为.

（2）由（1）知：.

∴.

∴.

∴

.

19.（1）证明：由已知得、、两两互相垂直，分别以射线，，为轴正半轴，轴正半轴，轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由得，，，

，，，.

∵，

∴，即.

又∵平面，平面，，，

∴平面.

（2）解：由（1）知：是平面的一个法向量，

，.

设平面的一个法向量为，则，

取，得，.

∴是平面的一个法向量.

设平面与平面所成二面角的平面角大小为，则，且

，∴.

∴平面与平面所成二面角的正弦值为.

20.（1）解：∵，

∴的定义域为，.

∵当时，，

∴在上是增函数；

∵当时，，

∴在上是减函数.

∴的单调递增区间为；单调递减区间为.

（2）证明：充分性.

由（1）知，当时，取得最大值，

即的最大值为.

由有两个零点，得，解得.

∴.

下面证必要性.

∵，∴.∴.

∵，，，∴.

∴.

∴，使；

又∵，∴，使.

∵在上单调递增，在上单调递减，

∴，且，易得.

∴当时，有两个零点.

21. 解：（1）∵，，∴.

又∵动点与、两点的距离之和为18，

∴动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为18的椭圆.

设，则.

设，由得.

∴即.

∴动点的轨迹方程为.

（2）存在，使的纵坐标为0，且的取值范围为.

由已知得，，，直线的方程为.

由得.

∴.

由已知得，解得.

∴.

∴.

解，得.

∴.

由的中点为，得.

∴，，.

∵，

，

∴.

∴，即平分.

∴直线与直线关于直线对称.

∴点在直线上，即点在轴上.

∴，的纵坐标为0.

22. 解：（1）曲线的极坐标方程为.

（2）当时，

将代入得，即.

将代入得，

即.

∴.

∵，

∴.

∴，.

∴的取值范围为.

23.（1）证明：∵，且，

∴的最小值为3.

∵，且，

∴的最大值为3.

∴，，即.

（2）解：由（1）知：，的最小值为3，的最大值为3.

根据已知设是的一个解，则.

∴，.

∵，，，，

∴

.

当，时，.

∴的最小值为.