2.2 分式方程及其应用-中考数学一轮复习 知识点+练习

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第二章 方程（组）与不等式（组）
2.2分式方程及其应用
一、课标解读
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
2. 能解可化为一元一次方程的分式方程.
3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
二、知识点回顾
知识点1. 分式方程及解法
1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
(1)基本思路：分式方程整式方程得解
(2)解分式方程的一般步骤
方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程（去分母时，不要漏乘常数项）
求解：求出整式方程的解
检验：把整式方程的解代入最简公分母，若结果不为零，则是原分式方程的解；若结果为零，则不是分式方程的解．
3.分式方程的增根
分式方程的增根是在去分母时产生的，它有两个特点:
(1)增根是去分母后所得整式方程的解;
(2)增根是使原方程中各分式的最简公分母为③0的未知数的值.
知识点2. 分式方程的应用
1.列分式方程解应用题的步骤与列一次方程(组)解应用题不一样的是:要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的解，又要检验是否符合题意.
2．常见类型及关系式：
(1)行程问题：－＝时间差；
(2)工程问题：－＝时间差，－＝时间差；
(3)购买(盈利)问题．
数量=总价单价或单价=总价数量
三、热点训练
热点1：解分式方程
一练基础
1．（2021·全国·九年级专题练习）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
方程两边同时乘以，利用等式的性质即可求解．
【详解】
解：方程两边同时乘以可得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校一模）分式方程的解是______．
【答案】
【分析】
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】
解：，
方程两边同乘，得，
去括号，得
移项得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
3．（2021·江苏滨海·一模）若分式的值等于1，则x=_____．
【答案】0
【分析】
根据分式的值等于1列方程求解即可．
【详解】
解：由题意得，=1，
去分母，得
2=x+2，
∴x=0，
检验：当x=0时，x+2≠0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
4．（2021·江苏鼓楼·二模）某同学解方程﹣2＝，过程如下：
第一步：整理，得﹣2＝，
第二步：…．
（1）请你说明第一步变化过程的依据是：　 　；
（2）请把以上解方程的过程补充完整．
【答案】（1）分式的基本性质；（2）见解析
【分析】
（1）根据分式的基本性质将原方程进行变形；
（2）先将分式方程变为整式方程，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后注意分式方程结果要检验．
【详解】
（1）由题意可得：第一步变化过程的依据是：分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）方程两边同乘（x﹣3）得：x﹣2﹣2（x﹣3）＝10﹣3x，
去括号，得：x﹣2﹣2x+6＝10﹣3x，
移项，得：x﹣2x+3x＝10﹣6+2，
合并同类项，得：2x＝6，
系数化1，得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】
本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤和计算法则准确计算是解题关键．
5．（2021·福建·福州三牧中学九年级开学考试）解方程：．
【答案】x＝3
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：方程的两边同乘x−1，得：，
解这个方程，得：x＝3，
检验，把x＝3代入x−1＝3－1＝2≠0，
∴原方程的解是x＝3．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
二练巩固
6．（2021·广西柳江·二模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是______________．
【答案】
【分析】
已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
【详解】
解：根据题中的新定义化简得：
，
去分母得：
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．（2021·广东佛山·九年级期中）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中白球的个数约为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】
先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
【详解】
解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有x个白球，则，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，
所以，口袋里有白球约20个，
故选：C．
【点睛】
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．
8．（2021·山东安丘·二模）定义运算a⊗b＝a2－2ab+1，下面给出了关于这种运算的几个结论其中正确的（______）
A．2⊗5＝－15； B．不等式组的解集为x＜－；
C．方程2x⊗1＝0是一元一次方程； D．方程⊗x＝+x的解是x＝－1．
【答案】AD
【分析】
根据定义的运算规则a⊗b＝a2－2ab+1，对各选项逐一进行计算判断，即可得到答案．
【详解】
解：A．2⊗5=22-2×2×5+1=-15，故A正确；
B．不等式组等价于，解得该不等式组无解，故B错误；
C．2x⊗1=（2x）2-2×2x×1+1=4x2-4x+1＝0是一元二次方程，故C错误；
D．⊗x＝=+x则x=-1，故D正确；
故答案为：AD．
【点睛】
本题考查了不等式组的解集、实数的运算、一元二次方程的定义等，其中利用a⊗b＝a2－2ab+1是解题关键，本题对计算要求较高，要求学生具备观察仔细、计算细心等品质．
9．（2021·广东·九年级专题练习）按如图所示的程序，若输入一个数字x，经过一次运算后，可得对应的y值．若输入的x值为﹣5，则输出的y值为_____；若依次输入5个连续的自然数，输出的y的平均数的倒数是50，则所输入的最小的自然数是_____．

【答案】 5
【分析】
①将x=-5代入计算可得答案；②根据平均数的概念可得：++++=，即，进一步计算即可求得答案．
【详解】
解：①当x=-5时，；
②根据平均数的概念可得：++++=，
即，
∴
解得x＝5或x＝-10（舍去），
故答案为：；5．
【点睛】
本题主要考察了流程图与有理数计算、分式方程求解，解题的关键在于读懂流程图的含义，并将x代入式子进行求解．
10．（2020·湖南资兴·一模）观察下列等式：
，，
将以上三个等式两边分别相加得：=++==
猜想并得出：=
根据以上推理，求出分式方程的解是______．
【答案】x=5
【分析】
根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．
【详解】
解：根据题意，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三练拔高
11．（2021·四川邛崃·二模）关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是______．
【答案】且
【分析】
按照解分式方程的步骤求出方程的解，再根据解为非负即得关于a的不等式，解不等式即可得出a的取值范围，但一定要考虑此时的解可能会是分式方程的增根的情况．
【详解】
方程两边都乘x-1，得：2x-a-3(x-1)=-1
解得：x=4-a
由题意，4-a≥0
∴a≤4
但当4-a=1，即a=3时，x=1是方程的增根，所以a≠3
所以a的取值范围为且
故答案为：且
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，分式方程的增根等知识，易忽略分式方程的增根情况．
12．（2021·重庆八中二模）若数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
不等式组变形后，根据有且仅有四个整数解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足条件a的值．
【详解】
解：解不等式组，
解得：，
∵不等式组有且仅有4个整数解，
∴﹣1＜≤0，
∴﹣8＜a≤﹣3．
解分式方程＝1，得y＝，
∵y＝≠2为整数，
∴a≠﹣6，
∴所有满足条件的只有﹣4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
13．（2021·上海·九年级专题练习）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，故__________；按照这个规定，方程的解为__________．
【答案】5 或
【分析】
按照规定符号可求得5；根据与的大小关系化简所求方程，求出解即可．
【详解】
5；
故答案为：5；
当，即时，方程化简得：，
去分母得：，
整理得：，即
解得：，
经检验：是分式方程的解；
当，即时，方程化简得：，
去分母得：，
整理得：，
解得：(不合题意，舍去)或，
经检验：是分式方程的解；
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键．
14．（2021·重庆市广益中学校九年级阶段练习）若数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的方程的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【分析】
解不等式组求得其解集，根据不等式组只有3个整数解得出a的取值范围，解分式方程得出，由方程的解为整数且分式有意义得出a的取值范围，综合两者所求最终确定a的值，据此可得答案．
【详解】
解：，
解得：，
∵该不等式组只有3个整数解，
∴0≤，
∴4≤a＜1，
，
去分母，方程两边同时乘以2y，得，
ay=3y+2y，
＞0，
∴a＞4，
∵y≠2，
∴a≠3，
综上，整数a=2，1，0，
则符合条件的所有整数a的和为：12=3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，属于基础题，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
15．（2021·云南陆良·一模）若整数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，那么所有满足条件的的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【分析】
解不等式组中的两个不等式，根据不等式组无解得出a的范围；解分式方程知，由分式方程有整数解可知=±1、-3，求得a的值后求积即可得．
【详解】
解：解不等式得x≥5，
解不等式，得：，
∵不等式组无解，
∴，
解方程得，
∵分式方程有整数解，
∴=±1、-3，
解得：a=3或5或-1，
又a＜5，所以a只能为-1或3
∴所有满足条件的a值的积为=-3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组和分式方程的能力，解题的关键是熟练掌握解不等式（组）和分式方程的基本技能，并求得符合条件的a的值．
16．（2021·重庆大渡口·二模）如果关于的分式方程有非负整数解，关于 的不等式组有且只有三个整数解，则所有符合条件的整数 的个数为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件的值，求出之和即可．
【详解】
解：去分母得：，
解得：，
由解为非负整数解，得到，且，即且，
不等式组整理得：，
由不等式组只有3个整数解，得到，，0，即，
解得：，
则符合题意，，0，
故选：．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2021·全国·九年级专题练习）（1）解下列方程．
①根为______；
②根为______；
③根为______；
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程和它的根；
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根．
【答案】（1）①；②；③；（2），；（3）．
【分析】
（1）首先去分母，即可化成一元二次方程，解方程求得的值，然后进行检验，即可求得方程的解；
（2）根据（1）中的三个方程的规律特点以及解的关系即可求解；
（3）根据（2）的结果，把所求的方程化成 的形式，把当作一个整体即可求解．
【详解】
解：（1）①去分母，得：，即，，
则，，
解得：，，
经检验：，都是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
②去分母，得：，即，，
则，，
解得：，，
经检验：，是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
③去分母，得：，即，，
则，，
经检验，是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
（2）根据（1）中的规律可以写出第个方程为，
去分母，得，即：，
则：，解是，；
经检验：，是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
（3），
即，
设，则原方程变为：，
利用（2）中的结论可知：，
即：或，
解得：，
经检验：是方程的解，
所以原分式方程的解是．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，注意方程的式子的特点，以及对应的方程的解之间的关系是解决本题的关键．
热点2：分式方程的增根和无解问题
练拔高
1．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程＝1时产生增根，那么常数m的值为（ ）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
【答案】D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，
∵方程有增根，
∴x＝2，
将x＝2代入x﹣5﹣m＝x﹣2，得：m＝﹣3，
故选D．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，解分式方程，理解增根的概念是解题的关键．
2．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【分析】
直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】
解：，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
当时，方程无解，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．
3．（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　　）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】
先去分母，然后把分母为0的x值代入整式方程，可求m的值，则有增根，整式方程不成立，则没有增根即可．
【详解】
解：，
方程两边都乘以去分母得：
，
关于的分式方程有增根，
当x=1时，，
解得，
当m=3时有增根x=1，
当x=-1时，不成立，
只有一个增根x=1．
故选择：A．
【点睛】
本题考查可化为一元二次方程的分式方程的增根问题，掌握利用增根解决问题的方法是解题关键．
4．（2021·山东福山·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．−3 B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】
去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可求得．
【详解】
解：，
去分母，得：．
∵分式方程有增根，
∴增根为x=2，
将x=2代入整式方程，得：，
得：．
解得
故选A．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键．
5．（2021·广东天河·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
【答案】C
【分析】
解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．
【详解】
解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程无实数根，
∴方程无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键．
6．（2021·全国·九年级专题练习）下列结论正确的是（　　）
A．是分式方程 B．方程＝1无解
C．方程的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根
【答案】B
【分析】
根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断．
【详解】
解：A．原方程中分母不含未知数，不是分式方程，
所以A选项不符合题意；
B．解方程，得x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是原方程的增根，
所以原方程无解，
所以B选项符合题意；
C．解方程，得x＝0，
经检验x＝0是原方程的增根，
所以原方程无解，
所以C选项不符合题意；
D．解分式方程时，不一定会出现增根，
只有使分式方程分母的值为0的根是增根，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知识．
7．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x的方程无解，则m的值是___．
【答案】或1
【分析】
分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨论.
【详解】
解：①当方程有增根时
方程两边都乘，得，
∴最简公分母，
解得，
当时，
故m的值是1，
②当方程没有增根时
方程两边都乘，得，
解得，
当分母为0时，此时方程也无解，
∴此时，
解得，
∴综上所述，当或1时，方程无解.
故答案为：或1.
【点睛】
本题考查了分式方程的的无解问题．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值④当方程吴增根时一定要考虑求得的方程的解分母为0的情况．
8．（2020·四川巴中·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则_________．
【答案】或
【分析】
先确定最简公分母，令最简公分母为0求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可得解．
【详解】
解：分式方程最简公分母为，
由分式方程有增根，得到或，即或，
分式方程去分母得：，
把代入方程得：，
解得：．
把代入方程得：，
解得：．
故填：或．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．（2020·四川成都·二模）将5个完全相同的乒乓球，依次标上数字：0，1，2，3，4，并放入不透明的口袋中，现把它们摇匀，随机从中任意抽出1个，记乒乓球上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为_____．
【答案】
【分析】
由分式方程，得m=x（x-3）-（x+2）（x-3），x=-2或3时，分式方程无解，x=-2时，m=10；x=3时，m=0，所以在0，1，2，3，4取一个数字m使分式方程无解的概率为．
【详解】
解：由分式方程，得
m＝x（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）
x＝﹣2或3时，分式方程无解，
x＝﹣2时，m＝10，
x＝3时，m＝0，
所以在0，1，2，3，4，取一个数字m使分式方程无解的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了概率公式，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
10．（2019·江西广丰·中考模拟）已知关于x的分式方程+=.
(1)已知m=4，求方程的解；
(2)若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】（1）；（2）m的值可能为-1、1.5或﹣6.
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝4代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由原分式方程无解，则或，即可求出m的值．
【详解】
解：（1）方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
解得
经检验，是原方程的解
（2）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
∵原分式方程有无解，
∴或，
当时，；
当时，
解得：或，
当时，；
当时，；
所以m的值可能为-1、1.5或﹣6
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
热点3：分式方程的实际应用
一练基础
1．（2019·河北香河·中考模拟）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发前每名同学分担的车费为：，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系．
【详解】
解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
2．（2021·福建省厦门第六中学三模）某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，则方程 所表达的等量关系是（ ）
A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等
B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km
C．提速后列车行驶(s＋50)km的时间比提速前列车行驶s km多v h
D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km
【答案】B
【分析】
根据题意可以知道s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案，
【详解】
解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km
∴s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，
∵某次列车平均提速v km/h，路程=速度×时间
∴方程表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了方程表达的关系式的含义，解题的关键在于能够准确读懂题意找到等量关系.
3．（2021·四川省宜宾市第二中学校三模）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为__________________．
【答案】+=18
【分析】
根据题意，分别列出采用新技术前和采用新技术后所用时间，相加等于18即可．
【详解】
根据题意，采用新技术前所用时间为：天，
采用新技术后所用时间为：天，
所列方程为：+=18，
故答案为：+=18．
【点睛】
本题主要考查列分式方程，属于基础题，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．
4．（2021·湖北襄州·二模）某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6月1日儿童节那天，全场打折，某宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花元购买到的衣服件数比现在少件，设原价是元，则根据题意可列出方程______．
【答案】
【分析】
设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，利用数量=总价÷单价，结合平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）在一次10km跑步锻炼中，先匀速跑了4km，之后提速20%并匀速跑完剩余路程，这样小致一共用了跑完全程，求小致前4km的速度是多少？
【答案】小亮前4km的速度为
【分析】
设小亮前4km的速度为，利用前所用的时间后所用的时间总时间列式运算即可．
【详解】
设小亮前4km的速度为．
根据题意，得：
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小亮前4km的速度为．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的实际应用，认真审题获取等量关系列出方程是解题的关键．
6．（2021·山东青岛·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
【答案】6
【分析】
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】
解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
7．（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）2020年为做好“精准扶贫”工作，某地第一次花费16000元购买了高原沃柑育苗若干株，为“加快产业扶贫，打赢脱贫攻坚战”，决定再次花费32000元购买同种高原沃柑育苗，第二次购买每株育苗价格比第一次每株育苗价格降低了20%，结果比第一次多买了960株，求第一次购买每株高原沃柑育苗多少元？
【答案】25元
【分析】
设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗元，利用数量=总价÷单价，结合第二次比第一次多买了1000株，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购买每株高原沃柑育苗25元．
【点晴】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二练巩固
8．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【分析】
（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，
由题意可得，，
解得，
经检验是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，
则购进乙品牌洗衣液瓶，
由题意可得，，
解得，
由题意可得，，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，.
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某加工厂甲、乙两人加工机器零件，已知甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.2倍，甲加工900个这种零件比乙加工500个这种零件多用10天．
（1）求甲、乙每天各加工多少个机器零件？
（2）甲、乙两人每天加工这种机器零件的加工费分别是160元和120元，现有1500个这种零件的加工任务，若工厂要求总加工费用不超过7500元，求乙至少加工多少天（取整数）．
【答案】（1）甲每天加工30个机器零件，乙每天加工25个机器零件；（2）乙至少加工38天
【分析】
（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.2x个零件，根据甲加工900个这种零件比乙加工500个这种零件多用10天，列分式方程求解；
（2）设乙加工m天，乙加工了天，根据加工费分别是160元和120元，总加工费不超过7500元，列不等式，求解即可．
【详解】
解：（1）设乙每天加工x个机器零件，则
，
解方程得
经检验，是原方程的解，这时
答：甲每天加工个机器零件，乙每天加工个机器零件
（2）设乙加工m天，则
≤，
解得m≥
∵m取整数，
∴m最小值为（或m≥）
答：乙至少加工天
【点睛】
本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）某服装店老板到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比品牌服装每套进价多25元，若用2000元购进种服装的数量是用750元购进种服装数量的2倍．
（1）求品牌服装每套进价为多少元？
（2）若品牌服装每套售价为140元，品牌服装每套售价为105元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的2倍还少10套，两种服装全部售出后，要使总的获利超过2000元，则最少购进品牌的服装多少套？
【答案】（1）每套品牌服装100元；（2）至少购进品牌的服装24套
【分析】
（1）首先设A品牌服装每套进价为元，则B品牌服装每套进价为（-25）元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A品牌的服装套，则购进B品牌服装套，根据“两种服装全部售出后，要使总的获利超过2000元”可得不等式，再解不等式即可．
【详解】
（1）设品牌服装每套进价为元，
，
解分式方程得：，
检验：当时，．
所以，是原分式方程的解．
答：每套品牌服装100元．
（2）设购进品牌的服装套，B品牌的进价：元，
，
解不等式得：，
∵为整数，
∴最小取24．
答：至少购进品牌的服装24套．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，能找到等量关系与不等关系是解决问题的关键．
三练拔高
11．（2021·河南·安阳正一中学九年级期中）为提升青少年的身体素质，我市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，总费用不多于5200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．
【分析】
（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少．
【详解】
解：（1）设篮球每个x元，足球每个x元，
由题意得：，
解得：x=100，
经检验：x=100是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为：x＝×100＝80（元），
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）足球m个，总费用为w元，则篮球（60-m）个，
由题意得， w=80m+100（60-m）=-20m+6000，
再由题意可得，，
解得，40≤m≤45，
由w=-20m+6000，
∵-20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=45时，w取得最小值，此时w=5100元，其中60-m=15，
答：当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式组的性质解答．
12．（2021·四川德阳·中考真题）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
【答案】（1）弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；（2）购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元
【分析】
（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”列分式方程解答即可；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】
解：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得：
，
解得x=160，
经检验，x=160是原方程的解，且符合题意，
∴0.75x=120，
答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，由题意得：
5m+3（300-m）≥1200，
解得m≥150；
设购买休闲椅所需的费用为W元，
则W=160m+120（300-m），
即W=40m+36000，
∵40＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m=150时，W有最小值，W最小=40×150+36000=42000，
300-m=300-150=150；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题，属于中考常考题型．
13．（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
衬衫价格
甲
乙
进价（元件）


售价（元件）
260
180
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【分析】
（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；
（2）根据题意列不等式组解答；
（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．
【详解】
解：（1）依题意得：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为，则
，
①当时，，随的增大而增大，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；
②当时，，，
（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．
14．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．
（1）求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？
（2）为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案．
【答案】（1）购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元；（2）此次A款书包有3种购买方案；（3）购买18个A款书包，18个B款书包．
【分析】
（1）设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要元，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元购买A款书包的数量是用3200元购买B款书包数量的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m个B款书包，则购买个A款书包，根据购买的每款书包不少于14个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合为整数，即可得出m的值，进而可得出此次A款书包购买方案的个数；
（3）利用减少的利润＝销售每个B款书包减少的利润×销售数量－销售每个A款书包增加的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元；
（2）设购买m个B款书包，则购买个A款书包，
依题意得：，
解得：．
又∵为整数，
∴m为3的倍数，
∴m可以取15，18，21，
∴此次A款书包有3种购买方案；
（3）依题意得：，
解得：m＝18，
∴（个）．
答：购买18个A款书包，18个B款书包．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．