3.2 一次函数的图象和性质-中考数学一轮复习 知识点+练习

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第二章 方程（组）与不等式（组）
2.1一次方程（组）及其应用
一、课标解读
1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
3.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式探索并理解和时，图象的变化情况。
4.理解正比例函数。
5.体会一次函数和二元一次方程的关系。
二、知识点回顾
知识点1.一次函数的定义
1.一次函数:一般地，如果y= kx+b (k, b是常数，k≠0)， 那么y叫做x的一次函数.
2.正比例函数:特别地，当b②=0时，y=kx+b变为y=kx_ (k是常数，k≠0), 这时y叫做x的正比例函数.
知识点2. 一次函数的图象与性质
k，b
符号
k>0
k0
b0
b 0时，函数图象与y轴交点在x轴上方;当b0，b=1>0，
∴图象过一、二、三象限，
故选C．
【点睛】
此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题．
6．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）若直线：与直线：的交点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据直线：可知过定点，根据题意得出且，从而得出的取值范围．
【详解】
解：∵直线：，
∴直线：过定点，
∵直线：与直线：的交点在第二象限，
∴直线的图像经过第一，二，四象限
∴，
∴
解得
∴，
解得
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了两条直线的交点坐标，一次函数图像的性质，点坐标所在的象限的特点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）一次函数y＝x﹣m的图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【答案】C
【分析】
直接根据一次函数的增减性判断即可．
【详解】
解：∵一次函数y＝x﹣m中，k＝＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵﹣2＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握函数性质是解题的关键．
8．（2021·四川成都·中考真题）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第______象限．
【答案】一
【分析】
先根据正比例函数中，函数y的值随x值的增大而增大判断出k的符号，求出k的取值范围即可判断出P点所在象限．
【详解】
解：∵正比例函数中，函数y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点在第一象限．
故答案为：一．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象与系数的关系，正比例函数的性质，根据题意判断出k的符号是解答此题的关键．
9．（2020·上海·中考真题）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】
根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】
解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】
此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
10．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）一次函数（为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，求的值；
（2）当时，函数有最大值2，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意根据一次函数图象上点的坐标特征把（2，-3）代入y=ax-a+1中可求出a的值；
（2）根据题意可知a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x=-1时，y有最大值2，然后把x=-1代入函数关系式可计算对应a的值．
【详解】
解：（1）把（2，-3）代入得，解得；
（2）∵a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x=-1时，y有最大值2，把x=-1代入函数关系式得 2=-a-a+1，解得，
所以．
【点睛】
本题考查一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
二练巩固
11．（2021·陕西·交大附中分校一模）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　）
A．m﹣n＝3 B． C． D．mn＝10
【答案】D
【分析】
设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把A、B点的坐标代入得到mk＝2，5k＝n，然后消去k得到m、n的关系式．
【详解】
解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
把A（m，2），点B（5，n）代入得mk＝2，5k＝n，
可得，， 代入mk＝2得，m•＝2，
所以mn＝10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：先设出正比例函数的解析式为y＝kx，然后把一组对应值代入求出k即可．
12．（2021·陕西·模拟预测）已知点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则m+n的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
【答案】D
【分析】
把点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）分别代入y＝﹣3x中，得到m=-3a，n=3a+6,两式相加求解即可．
【详解】
∵点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上，
∴m=-3a，n=3a+6，
∴m＋n=-3a+3a+6=6，
故选D．
【点睛】
本题考查了正比例函数的图像，熟练掌握图像过点则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
13．（2021·陕西师大附中模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】
根据题意，，m+1＜0，验证判断即可．
【详解】
∵函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，
∴，m+1＜0，
∴m=2或m=-2，且m＜-1，
∴m=2不符合题意，舍去，
∴m=-2，
故选A．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图像分布，熟记定义，掌握图像分布与比例系数ｋ的关系是解题的关键．
14．（2021·陕西·西北工业大学附属中学二模）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，n）和点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，则该正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
【答案】B
【分析】
根据题意求得m、n的值，把点A的坐标代入函数解析式求出k值，从而得到正比例函数解析式．
【详解】
解：∵点A（﹣4，n），点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，
∴m＝4，n＝2，
∴A（﹣4，2），
把点A的坐标代入y＝kx得﹣4k＝2，
解得k，
所以，正比例函数解析式为yx，
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于原点对称和一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标满足函数解析式求出k值是解题的关键．
15．（2021·贵州黔东南·中考真题）已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
【答案】C
【分析】
先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的坐标．
【详解】
解：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝1；
故A、B两点坐标分别为A（1，0），B（0，1），
∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形，

①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2，1）；
②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1，2）；
③当∠APB＝90°时，P点坐标为（1，1）；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，数形结合思想和分类讨论思想的运用是解题的关键，注意原点不属于任何象限．
16．（2021·河南舞钢·八年级期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象不可能是（ ）
A．B．C．．
【答案】C
【分析】
根据题意，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：当k＞0时，一次函数y=kx的图象经过第一、三象限，可能大于0也可能小于0，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限或第一、二、三象限，故选项A、B都可能；
当k＜0时，一次函数y=kx的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项D有可能，选项C不有可能；
故选：C
【点睛】
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（2021·安徽·安庆市石化第一中学八年级期中）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则所有满足条件的整数的值之和是（　　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】
根据关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a的取值范围，从而可以写出满足条件的a的整数值，然后相加即可．
【详解】
解：由不等式组，得，
∵关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，
∴，
解得-3＜a≤1，
∵一次函数y=（a-2）x+a+1不经过第三象限，
∴a-2＜0且a+1≥0，
∴-1≤a＜2，
又∵-3＜a≤1，
∴-1≤a≤1，
∴整数a的值是-1，0，1，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：-1+0+1=0，
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
18．（2019·四川南充·一模）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为，若直线与线段有公共点，则的值可以为___________（写出一个即可．）

【答案】
【分析】
将y=3代入求出x=2，再根据点A、B的坐标及直线与线段有公共点即可确定n的取值范围由此得到答案.
【详解】
当y=3时，得到，解得x=2，
∵点的坐标分别为，若直线与线段有公共点，
∴，
故答案为：3（答案不唯一）.
【点睛】
此题考查两直线相交，由点A与确定的直线可以得到点B在直线上或是在直线的右侧，由此求出直线上纵坐标为3的点的横坐标，即可确定n的取值范围，由此解答问题.
19．（2021·江苏连云港·二模）如图，直线与轴交于点，点也在该直线上，点关于轴的对称点为点，直线BC交x轴于点D，点E坐标为．

（1）的值为 ，点C的坐标为 ；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）晶晶有个想法：“设．由点B与点C关于x轴对称易得，而与四边形DCEO拼接后可看成，这样求S便转化为直接求的面积．”但经反复演算，发现，请通过计算解释她的想法错在哪里？
【答案】（1）-3，；（2）；（3）见解析
【分析】
（1）点代入直线解析式即可求出m值，由点关于轴的对称点为点求出C点坐标；
（2）代入AC坐标即可求出解析式；
（3）判断ACE三点是否在一条直线上即可；
【详解】
（1）∵点在直线上
∴
∴
∵点关于轴的对称点为点
∴C点坐标为（-6，3）
（2）∵直线与轴交于点
∴A点坐标为（-12，0）
设直线AC的函数关系式为，
由题意得解之得
∴直线AC的函数表达式为．
（3）由（2）直线AC的函数表达式为，令x=0，得．
∴直线AC与y轴的交点坐标为．
而点E坐标为，
∴点E不在直线AC上，即点A、C、E不在同一条直线上．
∴．
【点睛】
本题考查一次函数的图像与性质，熟记一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．
20．（2021·江苏南通·一模）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，Q为线段OA上的一个动点，连接CQ．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）当S△ACQ：S四边形CQOB＝2：7时，求直线CQ对应的函数关系式．

【答案】（1）（2，2）；（2）
【分析】
（1）联立直线y＝﹣x+3和直线y＝x建立二元一次方程组，运算求解即可；
（2）由直线y＝﹣x+3可求得点和点的坐标，可得出和的长度，在通过面积的比值关系运算求出的长度，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】
解：（1）由题意得： ，解得，
∴C的坐标为（2，2），
（2）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A（6，0），点B（0，3），则OA＝6，OB＝3，
∴S△AOB＝9
∵S△ACQ：S四边形CQOB＝2：7
∴S△ACQ＝2
∵点C的坐标为（2，2）
∴AQ=2
∴点Q（4，0）
设直线的解析式为，代入和得：

解得：
∴
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数的解析式等知识点，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键．
21．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数．
（1）求证：点在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求的值．
（3）若，点，在函数图象上，且，判断是否成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）-4；（3）不成立，理由见解析
【分析】
（1）令x=3，得y=0即可得证；
（2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，将（4，-2）代入可得k；
（3）由y1＜y2列出x1、x2的不等式，根据k＜0可得答案．
【详解】
解：（1）在y=k（x-3）中令x=3，得y=0，
∴点（3，0）在y=k（x-3）图象上；
（2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，
将（4，-2）代入得：-2=k（4-3）+2，
解得k=-4；
（3）x1-x2＜0不成立，理由如下：
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y=k（x-3）图象上，
∴y1=k（x1-3），y2=k（x2-3），
∴y1-y2=k（x1-x2），
∵y1＜y2，
∴y1-y2＜0，即k（x1-x2）＜0，
而k＜0，
∴x1-x2＞0，
∴x1-x2＜0不成立．
【点睛】
本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形．
三练拔高
22．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】
先求出折线的最高点的坐标，然后直线经过最高点时，此时恰好有一个交点，然后分析直线与折线的那部分图像的交点问题即可得到答案.
【详解】
解：∵直线的解析式为，
∴直线经过点（-2，0），
∵折线的解析式为，
∴折线的最高点坐标为（2，1）
∴当直线恰好经过（2，1）时，此时只有一个交点，
∴，
解得，
当时，直线与折线在的那部分图像平行，此时没有交点，
∴当时直线与折线在的那部分图像有一个交点，
∴综上所述或，
故选D.

【点睛】
本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解.
23．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝_______．
【答案】或
【分析】
分两种情况分别讨论：如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，求出m，也就求出正方形的边长；如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，根据一次函数与坐标轴的特点求出45°角，再根据正方形的性质用x表示出边长，根据线段之和求出x的值，从而求出正方形的边长．
【详解】
解：①如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，
∴CD＝DE，
设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，
得m＝﹣m+3，
m＝，
∴D（，）
∴正方形的边长是；
②如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，
令x＝0，y＝3，y＝0，x＝3，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD＝DE＝FE，CF∥BA，
∴∠OCF＝∠OBA＝45°，∠CFO＝∠OAB＝45°，
设OF＝x，则CF＝x，
∴EF＝x，
在Rt△FEA中，sin45°＝，
∴AF＝2x，
∵OF+AF＝OA，
∴x+2x＝3，
解得x＝1．
∴EF＝，
∴正方形的边长是；
综上所述：正方形的边长是或．

故答案为：或．
【点睛】
考查了过定点的直线、一次函数性质、正方形性质，解题关键是掌握这几个知识点的综合应用和分情况讨论．
24．（2021·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴负半轴交于点A，与直线y＝－x交于点B．若点A的坐标是（－6，0），且2AP＝3PB，则直线AB的函数表达式为______．

【答案】y＝
【分析】
过点B作BE⊥OA于点E，过点P作PQ⊥OA于Q，由2AP=3PB得出AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，求出OE、QE、AQ，利用OA=OE+QE+AQ=6即可求解．
【详解】
解：过点B作BE⊥OA于点E，过点P作PQ⊥OA于Q，

由题意得：∠AOB=60°，
∵PQ∥BE，
∴AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，
∵PQ=m，OQ=，
∴BE=，
在Rt△OBC中，OE=，
∴
∴ ，解得：
∴，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-6，0），代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝，
故答案为y＝．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度．
25．（2021·黑龙江建华·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、、…在直线上，以为边作第一个正方形，使点在轴的正半轴上，得到正方形的对角线的交点：以为边作第二个正方形，使点在轴的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；…依次作下去，则第个正方形的对角线的交点的坐标是______．

【答案】
【分析】
依次求出的坐标，探索其规律，即可求解．
【详解】
由图象可知的坐标为（0，1），的坐标为（1，0），
∵正方形的对角线的交点
∴的坐标为（，）．
同理可知
的坐标为（1，2），的坐标为（3，0），的坐标为（2，1）．
的坐标为（3，4），的坐标为（7，0），的坐标为（5，2）．
的坐标为（7，8），的坐标为（15，0），的坐标为（11，4）．
探索其规律，得到的坐标是．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的点的坐标计算的结果得出规律．
26．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且．

（1）求直线的解析式；
（2）点是轴正半轴上一点，连接，将射线沿翻折，与过点B垂直于的直线交于点，过点作轴于点，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，射线交射线于点，若，求点坐标．
【答案】（1）；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据直线与轴，轴的交求得A，继而求得OA，OB，再求得点，最后根据待定系数法求解析式；
（2）根据翻折性质可得，继而易证△PBC≌△PBE（ASA），可得，继而证得OB是△CDE的中位线，即可求解；
（3）作QN⊥CD于点N，作BM⊥CD于点M，设，，
求得，根据，求得，继而求得CP，在中,由勾股定理得：，解得m，继而即可求解．
【详解】
（1）令x＝0，得,则（0，4k），
令得，解得：，则
∴，
∵
∴，即，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（2）由翻折可知，
又，即∠PBC＝∠PBE＝90°，
又BP＝BP，
∴△PBC≌△PBE（ASA），
∴．
∵轴于点，
∴，
∴OB是△CDE的中位线，
∴．
（3）作QN⊥CD于点N，作BM⊥CD于点M，
由，即，

∴BM∥DE∥NQ，,DM＝OB＝3，
∴△BDM∽△QDN，
∴,
设，，
即,
解得：，
，

解得：，
∴．
在中,由勾股定理得：，即，
解得：，
∵，
∴．

【点睛】
本题考查一次函数的综合题，涉及到勾股定理，相似三角形的判定及其性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学在求得关键线段和坐标，综合性较强，需认真审题．
热点2：一次函数的图象的图形变换问题
一练基础
1．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图，点A的坐标为（2，1），将线段OA绕O点顺时针旋转90°．得到线段OB．若正比例函数y＝kx图象经过点B，则k的值为（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【分析】
如图，过A点作AC⊥x轴于C，过B点作BD⊥x轴于D，先证明≌，得到OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，则B点坐标可求，最后将点的坐标代入函数，即可求解．
【详解】
解：如图，过A点作AC⊥x轴于C，过B点作BD⊥x轴于D，

∵点A的坐标为（2，1），
∴OC＝2，AC＝1，
∵线段OA绕O点顺时针旋转90°得到线段OB，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵AC⊥x轴， BD⊥x轴，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC．
在和中
，
∴≌（AAS），
∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，
又∵点B在第四象限，
∴B点坐标为（1，﹣2），
将点B的坐标代入函数y＝kx，得：﹣2＝k，
解得：k＝﹣2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明≌是解答此题的关键．
2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如果将一次函数的图象关于y轴对称，所得的图象经过点，则b的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】
先写出一次函数的图象关于y轴对称的函数解析式，然后再将点代入即可求得b的值．
【详解】
解：∵函数解析式为一次函数的图象关于y轴对称
∴关于y轴对称的函数解析式
∵所得的图象经过点
∴3=-2+b，解得b=5．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象的对称，根据题意求得一次函数的图象关于y轴对称的函数解析式成为解答本题的关键．
3．（2021·陕西·西安高新一中实验中学模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与关于直线对称，若直线的表达式为，则直线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求解与轴的交点坐标，再求解关于的对称点的坐标即可得到答案．
【详解】
解：如图， ，
令 令


作关于直线对称的点
直线与关于直线对称，即上图中的直线与直线关于直线对称，



所以直线与y轴的交点坐标为：
故选：
【点睛】
本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．
4．（2016·四川自贡·中考真题）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______．

【答案】16
【分析】
先根据勾股定理求出C点的坐标，得到C1的纵坐标为4，与直线 相交，可得C1坐标，由此推出CC1距离，再求出四边形BCC1B1的面积即可．
【详解】
解：∵A（1，0），B（4，0）
∴AB=3
∵，∠CAB=90°，
∴
∴C（1，4），
∴C1的纵坐标为4，
∴把代入解得，
∴CC1=4，
∴，
故答案为：16．

【点睛】
考查勾股定理及平移的概念，熟练掌握平移口诀为本题的关键．
5．（2021·贵州毕节·中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_________．
【答案】
【分析】
根据函数解析式“上加下减”的原则解答即可．
【详解】
将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与平移，函数图象平移时，函数解析式“上加下减”.
二练巩固
6．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）在平面直角坐标系中，点A(2，m)在第一象限，若点A绕原点O顺时针旋转90°的对应点B在直线y＝﹣2x+1上，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】
由点A的坐标，利用旋转的性质可求出点B的坐标（可以利用全等三角形找出），由点B在直线y＝﹣2x+1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【详解】
解：由题画出草图，如图，
可知,
∴，
∴点A（2，m）绕原点O顺时针旋转90°的对应点B的坐标为（m，﹣2）．

∵点B在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2＝﹣2m+1，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点关于原点旋转的坐标特点及一次函数，解题关键是熟练掌握点关于原点旋转的解题方法，即构造全等三角形．
7．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转90°，当点的对应点落在边上时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点作的垂线交于点，通过证明，即可得出的坐标．
【详解】
解：过点作的垂线交于点，如下图：

由题意，
为等腰直角三角形，，
设直线的方程为，
将代入中，
，
解得：，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判断与性质，一次函数，解题的关键是：添加辅助线，证明三角形全等，得到对应边相等，即可求出坐标．
8．（2021·江苏南京·二模）已知一次函数y＝x＋1的图像与y轴交于点A，将该函数图像绕点A旋转45°，旋转后的图像对应的函数关系式是_____．
【答案】y＝－x＋1 或y＝3x＋1
【分析】
分两种情况讨论，通过三角形全等，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得旋转后的图象对应的函数关系式．
【详解】
解：如图1，


∵一次函数y=x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，
∴A（0，1），B（-2，0），
当直线y=x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，
过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，
∵∠EDB+∠FDA=∠EDB+∠EBD=90°，BD=AD，
∴∠FDA=∠EBD，
∴△ADF≌△DBE（AAS），设AF=a，则DE=a，
∵点A（0，1），点B（-2，0），
∴DF=BE=OF=1+a，EF=ED+DF=a+1+a=OB=2，
∴a=，
∴DF=OF=1+a=，
∴D（-，），
设直线l的解析式为y=kx+1，则=-k+1，解得k=-，
∴y=-x+1；
如图2，

直线y=x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，
同理可得△ADF≌△BDE（AAS），
设DF=b，则DE=b，
∵点A（0，1），点B（-2，0），
∴AF=BE=1+b，BO=BE+OE=b+1+b=OB=2，
∴b=，
∴D（-，-），
设直线l的解析式为y=kx+1，则-=-k+1，解得k=3，
∴y=3x+1；
综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=-x+1或y=3x+1．
故答案为y=-x+1或y=3x+1．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，旋转的性质以及一次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形．
9．（2021·江苏姑苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求的长和点C的坐标；
（2）求直线的解析式．
【答案】（1）AB=5，C(8，0)；（2）
【分析】
（1）先根据A、B两点是直线与两坐标轴的交点求出两点坐标，再由勾股定理求出AB的长，由图形翻折变换的性质得出AC=AB，故可得出C点坐标；
（2）设点D的坐标为D(0，m)，由图形翻折变换的性质可知CD=BD，在Rt△OCD中由勾股定理可求出m的值，进而得出D点坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．
【详解】
解：（1）当x=0时，，
B点的坐标为（0，4），
OB=4，
当y=0,则，解得x=3，
A点的坐标为（3，0），
OA=3，
AB =，
△DAB沿直线AD折叠，
，
，
；
（2）设点，则，
∴，
在中，
，
即，
解得，
，
设直线 的解析式为，
则，
解得，
直线 的解析式为．
【点睛】
本题考查了一次函数，勾股定理，折叠；熟知待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、折叠的性质，是解题的关键．
10．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点G，与直线交于点D．

（1）求点D的坐标；
（2）将沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t．
①当点G在直线上时，求的面积；
②在移动过程中，是否存在某一时刻，点G刚好在第二象限的角平分线上？若存在，求出平移的距离，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D的坐标为；（2）①；②存在，t=3
【分析】
（1）联立两条直线的解析式，解方程组即可求得；
（2）①先通过解析与轴的交点求得的坐标，由平移的距离为知，点G在直线上求得，继而求得的面积；
②设G刚好在第二象限的角平分线上，由①的结论即可求得
【详解】
解：（1）∵直线与直线交于点D，
由，得；
∴点D的坐标为；
（2）当时，
，
；
当时，
，；
解得，；
点，，，；
由平移的距离为知，点，点，点；
①当点G在直线上时，
得，
解得；
∴点G坐标为；
∴；
；
②存在，理由如下：
当点G刚好在第二象限的角平分线上
即点G在上
由①可知点

【点睛】
本题考查了平移的性质，一次函数交点问题，求出平移后的各点的坐标是解题的关键．
三练拔高
11．（2021·全国·九年级课时练习）如图，为轴负半轴上一点，、是函数的图像上的两个动点，且．若的最小值为10，则点的坐标为______．

【答案】
【分析】
取MN的中点为B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：AB最小值，由AB⊥MN时，AB最小，再通过即可求出AC的长，从而得出A点的坐标．
【详解】
假设中点为点，连接，根据直角三角形斜边中线定理可得
∵
∴
（即定点A到直线上动点的最短距离为5）
∵的图象与x、y轴交于C、D两点，
∴C(0，3)，D(4，0)，
根据垂线段最短可得，直线时，如图所示

在中，由勾股定理得：
中，
中，
∴，
∴
∵点A在轴的负半轴
∵
∴
∴点A的纵坐标为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标，以及垂线段最短和三角函数等知识，得出垂线段AB长是解决问题的关键．
12．（2021·广东·东莞市东莞中学初中部二模）如图，已知A（2，3），B（0，2），在x轴上找一点C，使得|AC﹣BC|的值最大，则此时点C的坐标为__．

【答案】（﹣4，0）
【分析】
连接AB交x轴于点C，此时＝AB值最大，求出直线AB的解析式，令y＝0，即可找到点C坐标．
【详解】
解：如图所示，连接AB交x轴于点C，此时＝AB值最大，即点C为所求的点．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入点A（2，3），B（0，2），
得，解得：．
故直线AB解析式为y＝x+2．令y＝x+2中y＝0，则得x＝﹣4，故点C坐标为（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．

【点睛】
本题主要考察用待定系数法求一次函数图象的解析式，结合图形，明确直线AB与x轴的交点C是使＝AB值最大的点是解题的关键．
13．（2021·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（2，0），（1，2），（4，3），直线l的解析式为y＝kx+4﹣3k（k≠0）．
（1）当k＝1时，直线l与x轴交于点D，点D的坐标是 　　，S△ABD＝　　．
（2）小明认为点C在直线l上，他的判断是否正确，请说明理由；
（3）若线段AB与直线l有交点，则k的取值范围为 　　．

【答案】（1）（﹣1，0），3；（2）点C（4，3）不一定在直线l上，小明的判断不正确，理由见解析；（3）k的取值范围为1≤k≤4．
【分析】
（1）将代入直线的解析式得，令求出，得到点坐标，再根据三角形的面积公式求出；
（2）将点坐标代入函数解析式即可判断；
（3）分别利用当直线过时，值最小，当直线过时，值最大，求出即可．
【详解】
解：（1）把代入直线的解析式中得：，
当时，，解得，
则点的坐标为，
，
，
．
故答案为：，3；
（2）小明的判断不正确，理由如下：
，
当时，，
不一定为3，
点不一定在直线上，小明的判断不正确；
（3）当直线过时，值最小，则，解得；
当直线过时，值最大，则，解得，
故的取值范围为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．也考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点．将直线绕着点顺时针旋转90°后，分别与轴、轴交于点，．

（1）若，求直线的函数表达式．
（2）连接，若的面积是5，求点的运动路径长．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；
（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．
【详解】
解：（1）因为，且点在轴正半轴上，
所以点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
将点，的坐标分别代入，得
解得
所以直线的函数表达式为．
（2）设，则．
因为的面积是5，
所以．
所以，即．
解得或（舍去）．
因为，
所以点的运动路径长为．
【点睛】
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧长计算，利用三角形面积得到一元二次方程是解答此题的关键．
15．（2021·河北竞秀·一模）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M．
（1）求l1的函数表达式；

（2）若点M坐标为（1，），求S△APM；
（3）无论k取何值，直线l2恒经过点　　，在P的移动过程中，k的取值范围是　　．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）将点A（0，2）和C（6，﹣2）代入，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据过点M求出解析式，求出求S△APM；
（3）过定点，分别求出在两点的时的k即可．
【详解】
（1）点A（0，2）和C（6，﹣2）代入，得：
，解得
．
（2）过M


A（0，2），B（4，2）,点P是线段AB上的动点

直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P





．
（3）
过定点
当点经过A（0，2）时，代入
，解得
当点经过B（4，2）时，代入
，解得
当点P从点A到点B的移动过程中，k的值在不断变小，点P不与点A重合．
．
【点睛】
本题考查了，待定系数法求一次函数解析式，一次函数围成的三角形面积，过定点的一次函数，通过数形结合，理解题意，正确的解得一次函数解析式是解题的关键．
16．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）已知直线：经过点与轴交于点，且与直线：的图象相交于点．
（1）直接写出的值：
（2）求直线的表达式；
（3）在轴上存在点，使得的面积为6，求点坐标．
（4）过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为，．当点总在点上方时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）2；（2）；（3）或；（4）
【分析】
（1）将点C坐标代入求解即可；
（2）利用待定系数法求解直线表达式即可；
（3）先求出点B坐标，再利用三角形的面积公式求出BD长，进而求解即可；
（4）由题意及直线、的表达式表示出点E、F的坐标，再由E的纵坐标大于F的纵坐标列出不等式，进而求解即可．
【详解】
解：（1）由题意，将C代入得：=2，
∴；
（2）将C，A代入得：
，解得： ，
∴直线表达式为：；
（3）当x=0时，y=0﹣2=﹣2，∴B（0，﹣2），
∵，
∴，
∴或；
（4）∵过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为E、F，
∴，，
∵点E总在点F上方，
∴，解得：．
【点睛】
本题考查待定系数法求直线表达式、坐标与图形、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求三角形的面积公式，熟练掌握待定系数法求函数表达式的方法，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
热点3：一次函数、方程和不等式
一练基础
1．（2021·广西贺州·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
关于的方程的解为函数的图象与x轴的交点的横坐标，由于直线过点A(2,0)，即当x=2时，函数的函数值为0，从而可得结论．
【详解】
直线（）过点，表明当x=2时，函数的函数值为0，即方程的解为x=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，即一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，要从数与形两个方面来理解这种关系．
2．（2021·安徽瑶海·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．
【详解】
解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
3．（2021·广东南海·一模）如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．方程的解是 D．随的增大而减小
【答案】C
【分析】
利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵图象过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，y随x的增大而而增大，故ABD错误；
又∵图象与x轴交于（−2，0），
∴kx＋b＝0的解为x＝−2，故C正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质．
4．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）若点在一次函数的图象上，且，则的取值范围为 __．
【答案】
【分析】
由点A的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出3m＋b＝n，再由3m−n＞2，即可得出b＜−2，此题得解．
【详解】
解：点在一次函数的图象上，
，即：．
，
，即．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征并结合不等式是解题的关键．
5．（2019·四川·花丛中学一模）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为______．

【答案】
【分析】
观察函数图象得到，当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象都在函数y＝kx﹣1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集．
【详解】
解：由图象可知两直线的交点坐标为（－1，），且当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，
∴关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（2014·河南·模拟预测）已知直线y＝x﹣3与y＝2x＋2的交点为（﹣5，8），则方程的解是___________________．
【答案】
【分析】
根据两直线交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系即可得出结论．
【详解】
解：直线y＝x﹣3与y＝2x＋2的交点为（﹣5，﹣8），
则是即方程组的解．
因此方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是根据两直线的交点坐标，求对应二元一次方程组的解，掌握两直线交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系是解决此题的关键．
7．（2021·黑龙江肇源·一模）如图，直角坐标系中，直线和直线相交于点P(m，3)，则方程组的解为______．

【答案】
【分析】
首先求出P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标即为两函数组成的方程组的解．
【详解】
解：∵直线y=x+2过点P（m，3），
∴3=m+2，
解得：m=1，
∴P（1，3），
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数图象的关系．
二练巩固
8．（2021·浙江·九年级专题练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一次函数图象的平移即可得到答案．
【详解】
解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的，
∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）
∴当y=0时，方程的解为x=3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．
9．（2020·江苏江都·一模）若函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】
分函数为一次函数和二次函数两类讨论，最后综合，进而求出k的取值范围．
【详解】
解：当函数为一次函数时，k=0，函数为y=-2x-1，图像与x轴有交点；
当函数为二次函数时，k≠0，∵抛物线与与x轴有交点，
∴，
∴，
∴且；
综上所述：k的取值范围是．
故选：A
【点睛】
本题解题中要注意：
（1）题目中说的是函数，要注意分类讨论；
（2）当函数为一次函数时，k=0，直线与x轴必有交点；
（3）当函数为二次函数时，k≠0，抛物线与与x轴有交点，则．
10．（2021·辽宁兴城·二模）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
把点A代入y=kx+4，确定k，把点B的坐标代入解析式确定a值，运用数形结合思想求解即可
【详解】
∵函数的图象经过点，
∴2k+4=0，
解得k=-2,
∴y= -2x+4，
∴-2a+4=2,
∴a=1，
∴不等式的解集为，
故选B
【点睛】
本题考查了一次函数解析式的确定，函数交点的意义，一次函数与不等式，准确确定函数的解析式，交点的坐标是解题的关键．
11．（2021·重庆市育才中学九年级开学考试）如图，直线与交点的横坐标为．则关于的不等式的解集为______．

【答案】
【分析】
求出直线与轴的交点，利用图象法即可解决问题；
【详解】
解：直线与的交点的横坐标为，
关于的不等式的解集为，
时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题．
12．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___．

【答案】
【分析】
由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴方程组的解为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．
13．（2020·北京市第一六一中学模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 y 轴交于点 A，点 A 与点 B关于 x 轴对称，过点 B 作 y 轴的垂线，直线 与直线 交于点 C．
（1）求点 C 的坐标；
（2）如果抛物线（n0）与线段 BC 有唯一公共点，求 n 的取值范围．

【答案】（1）；（2）或n＝3
【分析】
（1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标；
（2）求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论①当n＞3时；②当n＝3时；③当0＜n＜3时，计算解答．
【详解】
解：（1）直线y＝2x－3与y轴交于点A（0，－3），
所以点A关于x轴的对称点为B（0，3） ，
为直线y＝3，
∵直线y＝2x－3与直线交于点C，
∴点C的坐标为（3．3）；
（2）抛物线y＝ （n＞0），
，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，n），
点B（0，3），点C（3，3），
①当n＞3时，抛物线最小值为n＞3，与线段BC无公共点：
②当n＝3时，抛物线项点为（2，3），在线段BC上，
此时抛物线与线段，以有一个公共点：
③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个交点，
如果抛物线经过点B（0．3），则3＝5n，解得n＝，
由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（4．3），
点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B，
如果抛物线经过点C（3，3），则3＝2n，解得n＝，
由抛物线的对称轴为直线x－2，可知抛物线经过点（1，3），
点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点，
综上所述，当或n＝3时，抛物线与线段BC有一个公共点．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，以及一次函数的性质，根据题意得出关于n的不等式组是解题的关键．
14．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）已知一次函数（k为常数，）和．
（1）当k＝－3时，若，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，．结合图像，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）x＜-8；（2）-2≤k≤6且k≠0
【分析】
（1）将k=-3代入解析式然后求不等式．
（2）把x=1代入y2=-2x+6求出交点坐标然后作图，通过观察图像求解．
【详解】
解：（1）当k=-3时，y1=-3x-2，y2=-2x+6．
当y1＞y2时，-3x-2＞-2x+6，
解得x＜-8．
（2）由题意得，两直线交点横坐标为1，
把x=1代入y2=-2x+6得y=4，
即交点坐标为（1，4）．
把（1，4）代入y1=kx-2得k=6，
∴y1=6x-2．
如图，


∵y1过定点（0，-2），
∴0＜k≤6满足条件．
当k=-2时，直线y1与y2互相平行，
∴-2≤k＜0时也满足题意．


综上所述，-2≤k≤6且k≠0．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合的解题技巧是解题关键．
15．（2021·重庆九龙坡·模拟预测）已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．

【答案】（1）；（2）9；（3）
【分析】
（1）联立两个函数解析式，解方程组可求点的坐标；
（2）分别求出、两点坐标，然后可得的面积；
（3）根据图象可直接得到时的取值范围．
【详解】
解：（1）联立两函数解析式可得方程组，
解得：，
点的坐标为；
（2）当时，，解得：，
，
当时，，解得：，
，
，
的面积为：；
（3）由图象可得：时的取值范围是．
【点睛】
此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，二元一次方程组，关键是正确求出两函数图象与轴交点，掌握数形结合思想．
三练拔高
16．（2020·四川内江·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【分析】
画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】
∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.

【点睛】
此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
17．（2021·广西南宁·二模）已知一次函数y＝ax+2的图象如图所示．则不等式ax+2≥2的解集是（　　）

A．x≤0 B．x≥0 C．x≤2 D．x≥2
【答案】B
【分析】
直接利用函数图象确定不等式的解集即可．
【详解】
解：根据一次函数y＝ax+2的图象可得ax+2≥2的解集为x≥0．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了根据一次函数的图象确定不等式的解集，灵活运用数形结合思想成为解答本题的关键．
18．（2021·全国·九年级专题练习）若直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（0，3），且与直线y＝mx﹣m（m≠0）始终交于同一点，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．2
【答案】B
【分析】
根据题意直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（0，3）和点（1，0），然后根据待定系数法即可求得k的值．
【详解】
解：∵y＝mx﹣m＝m（x﹣1），
∵直线y＝mx﹣m（m≠0）始终过定点（1，0），
∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（0，3），且与直线y＝mx﹣m（m≠0）始终交于同一点，
∴直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（0，3）和点（1，0），
∴，
解得k＝﹣3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，明确题意，找出直线经过的点是解题的关键．
19．（2021·安徽义安·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】
解：将函数的图像向上平移m个单位长度后的图像的解析式为，
联立后可以得到：，
解得，
因为它们的交点在第二象限，
即，
解得，
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图像的平移以及求图像的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．
20．（2021·河南·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若直线与线段有公共点，则的值可以为_____（写出一个即可）．
【答案】答案不唯一
【分析】
由直线与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．
【详解】
解：当y=2时，2=x-1
∴x=3
∵直线y=x-1与线段AB有公共点，

∴m≥3，
故答案为：答案不唯一
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
21．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解．
【详解】
解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为；
（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：
，解得：，
函数图象如图所示：

∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
22．（2021·北京师范大学三帆中学朝阳学校模拟预测）一次函数与反比例函数图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）．
（1）若点的横坐标为，求一次函数的表达式，并直接写出点的坐标；
（2）若直线与轴交于点，与轴交于点，当时，求的取值范围．
【答案】（1）；点的坐标为；（2）或．
【分析】
（1）把代入反比例函数图象上可求点A坐标，再将点A代入一次函数解析即可求出m，最后联立解析式即可求出交点坐标；
（2）分m>0,m