4.1 几何初步、相交线、平行线和命题-中考数学一轮复习 知识点+练习

这是一份4.1 几何初步、相交线、平行线和命题-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含41几何初步相交线平行线和命题-解析版docx、41几何初步相交线平行线和命题-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。
第四章 三角形
4.1几何初步、相交线、平行线和命题
一、课标解读
1、点、线、面、角
（1）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。
（2）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。
（3）掌握基本事实：两点确定一条直线，两点之间之间线段最短。
（4）理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离。
（5）理解角的概念，能比较角的大小。
（6）认识度，会计算角的和、差。
2、相交线与平行线
（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质。
（2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
（3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
（4）掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（5）识别同位角、内错角、同旁内角。
（6）理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（7）掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（8）掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。了解平行线性质定理的证明。
（9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
（10）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行；探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。
3、定义、命题、定理
（1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
（2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
（3）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
（5）通过实例体会反证法的含义。
二、知识点回顾
知识点1.直线、射线、线段
1.与直线有关的基本事实:经过两点，有且只有一条直线.
2.与线段有关的基本事实:两点之间的所有连线中，线段最短.
3.两点间的距离:两点之间线段的长度,叫做两点之间的距离.
知识点2. 角度的换算、余角、补角、角平分线
1.角度的换算: 1周角=360 °, 1平角=180 °, 1°= 60 ',1'=60”.
2.余角:
(1)定义:如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余;
(2)性质:同角(或等角)的余角相等
3.补角:
(1)定义:如果两个角的和等于 180°，那么这两个角互补;
(2)性质:同角(或等角)的补角相等.
4.角平分线:如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等,那么这条射线叫做这个角的平分线.
知识点3.相交线
1.三线八角:如图, 构成同位角的是：∠1和∠5 ,∠2和∠6;∠2和∠8 ,
构成内错角的是：∠3和∠ 5;∠3和∠8，构成同旁内角的是：∠2和∠5;∠8和∠3，∠2和∠4是对顶角;∠1和∠2，∠1和∠4是邻补角.

2.对顶角、邻补角的性质:
(1)对顶角四相等; (2)邻补角②互补.
3.垂线的性质:
(1)基本事实:经过直线上或直线外一点，有且只有条直线与已知直线垂直;
(2)性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。
4.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
知识点4.一次方程（组）的实际应用
1.基本事实及其推论:
(1)基本事实:经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行;
(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
2.平行线的判定与性质:
(1)同位角相等性质 两直线平行;
(2)内错角相等性质两直线平行;
(3)同旁内角互补性质两直线平行.
3.两平行线间的距离:
(1)定义:过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，30垂线段的长度叫做两条平行线间的距离;
(2)性质:两条平行线间的距离处处③相等.
知识点5.命题
1.命题的组成部分:命题由题设和结论两部分组成,通常写成“如......那么....”的形式.
2.命题的分类:命题分为真命题和假命题，判定-一个命题是假命题的常用方法是举反例.
3.如果一个命题的题设和结论恰好是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题.
三、热点训练
热点1：直线、射线、线段
一练基础
1．（2021·浙江台州·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
2．（2021·河北·中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2021·河北唐山·一模）如图，己知，直线，，，为垂足，下列说法正确的是（ ）

A．点到的距离是线段 B．点到点的距离是线段
C．、、三点共线 D．、、三点不一定共线
4．（2021·浙江·模拟预测）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为___________．

5．（2021·河北石家庄·一模）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．

（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示___________的点重合；
（2）为数轴上一点，沿过点且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示－3的点与表示1的点重合时，
①点所表示的数为__________；
②若数轴上的，两点也同时重合，且，求点所表示的数．
二练巩固
6．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
7．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
8．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点

9．（2021·河北路南·二模）如图，数轴上、、三个数所对应的点分别为、、，已知，与距离2个单位，与距离6个单位．

（1）①直接写出数、的值；
②求代数式的值；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数．
10．（2020·河北路北·一模）、、、四个车站的位置如图所示．

（1）、两站的距离为_________；
（2）、两站的距离为__________；
（3）若，为的中点，求的值．
三练拔高
11．（2020·山东临清·二模）已知点C在线段AB上，M1、N1分别为线段AC、CB的中点，M2、N2分别为线段M1C、N1C的中点，M3、N3分别为线段M2C、N2C的中点，…M2020、N2020分别为线段M2019C、N2019C的中点．若线段AB＝a，则线段M2020N2020的值是_____．
12．（2020·山东济南·中考真题）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
13．（2021·山东·三模）在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．其中、之间规划位置固定的生态保护区，其中在的正东方向，，四边形为边长是3的正方形．现要求燃气管道不能穿过该区域，试确定燃气站的位置使铺设管道的路线最短，则最短路程为______．

14．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．

（1）点A表示的数是：　 　；点B表示的数是：　 　．
（2）A，B两点间的距离是　 个单位，线段AB中点表示的数是　 　．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．
15．（2021·山东泰安·一模）阅读理解题：
【几何模型】
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题；在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A'P+PB＝A'B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．

【模型应用】
如图2所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米200元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W．
【拓展延伸】
如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足　 （唯一选项正确）

A．∠APC＝∠EPD B．PA＝PE
C．∠APE＝90° D．∠APC＝∠DEP
热点2：相交线
一练基础
1．（2021·河北竞秀·一模）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
2．（2021·广西百色·中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 （　　）
A． B．
C．
D．

4．（2021·河北张家口·一模）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（　　）

A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
二练巩固
5．（2015·山西·九年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）

A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（2021·吉林前郭尔罗斯·三模）如图，A是线段BC外一点，连接AB、AC，过点A作线段BC的垂线AH．在AB、AC、AH这三条线段中，AH是最短的线段，依据是______．

7．（2021·湖北荆州·中考真题）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线，，求证：．

证明：①∵（已知）
∴（垂直的定义）
②又∵（已知）
③∴（同位角相等，两直线平行）
∴（等量代换）
④∴（垂直的定义）．
A．① B．② C．③ D．④
8．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（ ）

A． B． C． D．
9．（2021·河南开封·一模）如图，直线相交于点于点平分，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．
C．与互为补角 D．的余角等于
10．（2021·陕西省汉中中学九年级学业考试）如图，直线，相交于点，于点，．则的度数为（ ）

A．100° B．80° C．90° D．70°
三练拔高
11．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）

A． B． C． D．
12．（2021·江苏建湖·一模）如图，在四边形中，，，点P是边上的一动点，连接，若，则DP的长不可能是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
13．（2020·河北隆化·二模）如图，中，，，，为直线上一动点，连．（1）线段的最小值是_____；（2）当时，长是______．

热点3：平行线的性质与判定
一练基础
1．（2021·江苏吴江·二模）如图，直线a、b被直线c、d所截，下列条件能判定直线a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠3+∠4＝180°
2．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，直线，将含有45°角的三角板的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数是（　　）

A．25° B．20 C．35 D．30
3．（2021·贵州铜仁·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．

5．（2021·广西梧州·模拟预测）如图，直线、被直线所截，下列条件能判断的是（ ）

A． B．
C． D．
6．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．

二练巩固
7．（2022·河南·九年级专题练习）如图，下列条件不能判断的是（ ）

A． B． C． D．
8．（2021·河北·三模）如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（ ）

A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
9．（2021·河南·二模）已知直线及一点P，要过点P作一直线与平行，那么这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．不存在或者只有一条
10．（2020·山西·九年级专题练习）在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2019·河北宣化·二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定的依据是（ ）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．内错角互补，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
12．（2020·河北·模拟预测）如图，下面推理中，正确的是（　　）

A．∵∠DAE＝∠D，∴AD∥BC B．∵∠DAE＝∠B，∴AB∥CD
C．∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD D．∵∠D+∠B＝180°，∴AD∥BC
13．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）如图，，．若，则的度数是（ ）

A．40° B．60° C．70° D．90°
三练拔高
14．（2021·山东东营·中考真题）如图，，于点F，若，则（ ）

A． B． C． D．
15．（2021·浙江下城·一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3，可判断直线m与直线n是否平行的是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
16．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
17．（2021·四川达州·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
18．（2021·安徽·合肥市第四十五中学模拟预测）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
19．（2019·江苏扬中·中考模拟）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．

热点4：命题
一练基础
1．（2019·浙江嘉兴·中考模拟）用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C． D．a与b相交
2．（2021·重庆八中二模）下列命题中是真命题的是（ ）
A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半
D．等边三角形是中心对称图形
3．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，锐角△ABC中，点D是边AB的中点，点E在边AC上，有如下两个命题：①如果DE//BC，那么DE＝BC；②如果DE＝BC，那么DE//BC．下列判断正确的是（ ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
4．（2021·山东日照·中考真题）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于，则它是正五边形，其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·安徽瑶海·九年级阶段练习）“若，则”的逆命题是_____________命题．（填“真”或“假”）
二练巩固
6．（2021·广西百色·中考真题）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
7．（2021·广西贵港·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似
8．（2021·河南·二模）能说明命题“关于的方程一定有实根”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·黑龙江绥化·中考真题）下列命题是假命题的是（ ）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
10．（2019·河北滦南·中考模拟）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
11．（2021·江苏·扬州市梅岭中学二模）判断命题“若的边a、b、c满足，则是等腰三角形”的真假，答：_________．（选填“真命题”或“假命题”或“无法判断”）
三练拔高
12．（2021·内蒙古东胜·二模）现有下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②有两条边长比值是3：4的两个直角三角形相似：③若一元二次方程有实数根，则；④若点在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是．其中是真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
13．（2021·浙江浙江·九年级期末）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3”．
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半”．
对以上两位同学的说法，你认为（ ）
A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确
14．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2021·江苏秦淮·二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④存在凹四边形，有．
其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
16．（2021·内蒙古新城·二模）以下四个命题：①用换元法解分式方程+＝1时，如果设＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y－2＝0；②二次函数y＝ax2－2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1－1|＞|x2－1|，则a（y1－y2）＞0;③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2r sin54°．其中正确的命题的序号为_____________