5.2 矩形、菱形、正方形-中考数学一轮复习 知识点+练习

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第五章 四边形
5.2矩形、菱形、正方形
一、课标解读
1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.
2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理
二、知识点回顾
知识点1. 矩形的概念及性质
1.概念:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.性质:
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.


文字描述
几何语言表述
边
对边平行且相等
AD// BC,且AD= BC; AB// CD,且AB=CD.
角
四个角都是直角.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90º
对角线
对角线互相平分且相等.
OA＝OC=OD＝OB.
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形，有两条对称轴,对称中心是对角线的交点(或点O)．
面积
S= a b .(a,b表示矩形的长和宽)
知识点2. 矩形的判定
文字描述
几何语言表述
有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义).
∵在ABCD中，∠BAD=90°，
∴ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵在ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵在ABCD中， AC=BD，
∴ABCD是矩形.
知识点3. 菱形的概念及性质
1.概念:有一组邻边①相等的平行四边形是菱形.
2.性质:
如图，在菱形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O.


文字描述
几何语言表述
边
对边平行,四条边都相等
AB//CD，BC//AD，且AB=BC=CD=AD.
角
四个角都是直角.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90º
对角线
对角分别相等，邻角互补.
AO=OC,BO=OD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，对角线的交点(或点O)是它的对称中心.
面积
菱形的面积等于一边与这边上高的乘积，即S=BCAE;
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S=ACBD.
知识点4. 菱形的判定
文字描述
几何语言表述
有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义).
∵在ABCD中，AB=BC(或AD)，
∴ABCD是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
∵在ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵在ABCD中，: AC⊥BD,
∴ABCD是菱形.
知识点5 . 正方形的概念和性质
1.概念:有一组邻边①相等且有一个角是②_直角的平行四边形是正方形.
2.性质:如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.


文字描述
几何语言表述
边
对边平行,四条边都相等
AB//CD，BC//AD且AB=BC=CD=AD
角
四个角都是直角
∠ABC =∠BCD =∠CDA=∠BAD=90°
对角线
互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角.
AO=CO=DO=BO ,AC=BD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴有4条，对称中心是对角线的交点(或点O)
面积
S=a2(a为正方形的边长)=.(为对角线的长)
知识点6. 菱形的判定
文字描述
几何语言表述
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形(定义).
∵在ABCD中，∠BAD=90°，
∴ABCD是矩形.
有一个角是直角的菱形是正方形
有对角线相等的菱形是正方形
∵在菱形ABCD中，∠BAD=90°（AC=BD），
∴四边形ABCD是正方形.
邻边相等的矩形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
∵在矩形ABCD中， AB=BC（AC⊥BD），
∴ABCD是正方形.
知识点7.中点四边形
(1)定义:顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
(2)中点四边形的形状由原四边形的对角线之间的关系决定.
①原四边形是任意四边形，则中点四边形是平行四边形.
②原四边形的对角线相等，则中点四边形是菱形，
③原四边形的对角线垂直，则中点四边形是矩形.
④原四边形的对角线垂直且相等，则中点四边形是正方形，
三、热点训练
热点1：矩形的性质与判定
一练基础
1．（2021·山西·太原师范学院附属中学九年级阶段练习）求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
已知：如图，在中，，点是的中点．求证：．

证明：延长到，使，
连接、
中间的证明过程排乱了：
①∵
②∵，；
③∴四边形是平行四边形；
④∴四边形是矩形．
∴，∴．
则中间证明过程正确的顺序是（       ）．
A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④
2．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________．

4．（2021·辽宁沈河·二模）如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，平分，，则四边形的周长是__________．
5．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．

（1）求证：是矩形；
（2）求的长．
6．（2021·云南陆良·一模）如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求平行四边形的面积．

二练巩固
7．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是_____．

8．（2022·全国·九年级）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

9．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校二模）已知，在平行四边形中，点E，F在分别边，上，且于点H，于点G．

(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
10．（2021·甘肃·兰州市第五十五中学二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长．

三练拔高
11．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④．其中结论正确的序号是（       ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
12．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（       ）

A． B． C．或 D．或
13．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．

14．（2021·黑龙江道外·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，M为AD中点，过点A作AE∥BC交BM延长线于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE交AC于点G，连接MG，在不添加辅助线的条件下请直接写出面积等于△ABM面积一半的所有三角形．

15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，点为中点，连接并延长交延长线于点，连接、，若，

（1）求证：四边形为矩形．
（2）在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，求．

热点2：菱形的性质与判定
一练基础
1．（2021·全国·九年级课时练习）如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（       ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．（2021·广东英德·二模）如图，在菱形中，点、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（        ）

A．16 B．24 C．28 D．32
3．（2021·广东韶关·一模）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为_______cm2．
4．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CB，CD，则四边形BCDE的面积为 _____．

5．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，求证：DE＝BF．

6．（2021·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．

7．（2021·江苏连云港·二模）如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上．

（1）求的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
二练巩固
8．（2021·河南长垣·模拟预测）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为（5，4），分别以A、B为圆心，大于画弧，作直线GF经过弧的交点且分别与边AB，AD交于点E，F，则点F的坐标为（　　）

A．（4，4） B． C． D．（3，4）
9．（2021·江苏·南通市新桥中学九年级阶段练习）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是__．

10．（2021·广东罗湖·一模）如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．

(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．
11．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校一模）四边形为平行四边形，为对角线，垂直平分交边、于点、．

（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，若是的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形面积相等的所有三角形和四边形（四边形除外）．
12．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．

（1）求证：；
（2）若，则的长是__________．
13．（2021·湖北荆门·模拟预测）两个不全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

(1)如图（1），△DEF沿线段AB向右平移（D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
(2)如图（2），当点移到的中点时，请你猜想四边形的形状，并说明理由．
三练拔高
14．（2021·辽宁·沈阳实验中学二模）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长，交延长线于点E，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，则当______°时，四边形是菱形．
15．（2021·内蒙古额尔古纳·模拟预测）如图，在中，，为的中线，过点作于点，过作的平行线，交的延长线与点，在的延长线上截取，连接，若，，则四边形的周长为多少？

16．（2021·江苏·景山中学一模）（1）如下图，矩形ABCD的顶点A在射线OM上，顶点B、C在射线ON上，且OA=OC，只用无刻度的直尺作∠MON的角平分线OP；

（2）如下图，G为菱形ABCD中CD边的中点，只用无刻度的直尺在对角线AC上求作点P，使．

17．（2021·江苏滨海·一模）如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB．

（1）作点A关于BD的对称点C；（要求∶尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC、DC，连接AC，交BD于点O．
①求证∶四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE=，BD=14，求点E到AD的距离
18．（2021·江苏如皋·二模）如图，在矩形ABCD中，P为CD边上一点，将沿AP翻折得到，的延长线交边AB于点M，过点B作交DC于点N．

（1）若，
①求证；
②判断四边形PMBN的形状，并说明理由；
（2）若，求的值．
热点3：正方形的性质与判定
一练基础
1．（2021·北京·临川学校九年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
2．（2021·北京市第三十五中学九年级开学考试）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（　　）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
3．（2021·广西玉林·中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等             b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等             d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（       ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
4．（2020·河北·模拟预测）如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：
甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．

对于以上两种作法，可以做出的判定是(　　)
A．甲正确，乙错误 B．甲、乙均正确
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误
5．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，则的度数是（     ）

A． B． C． D．
6．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（       ）

A．36° B．30° C．25° D．22.5°
7．（2021·广西·台州市书生中学模拟预测）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为__．

二练巩固
8．（2021·广东·珠海市紫荆中学九年级期中）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的周长是（       ）

A． B．2 C．1＋ D．3
9．（2021·广东大埔·一模）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（　　）

A．1 B．3 C．2 D．0
10．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是（       ）

A．
B．四边形为矩形
C．四边形为菱形
D．当，时，四边形是正方形
11．（2021·山东·临沂第九中学一模）如图，在□ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（          ）

A．四边形DEBF为平行四边形 B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形 D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形
13．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测）一张直角三角形纸片，，，，点，分别是，上的点，点不与点，重合，折叠使得直角顶点落在斜边上的点处，且是直角三角形．
（1）四边形的形状是 __；
（2）的长为 __．

14．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边和上，且，连接、，其相交于点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

三练拔高
未命名
未命名
一、单选题
15．（2022·上海市罗星中学模拟预测）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______

16．（2021·安徽淮南·二模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，解答下列问题：
（1）EF＝_______；
（2）若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为_______．

17．（2021·山东沂水·一模）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF(点A的对应点为点C)，延长AE交CF于点G．

(1)求证：四边形BEGF是正方形；
(2)连接DE，①如图2，若AB=15，CG=3，试求BE的长；②如图3，若DA=DE，求证：CG=FG．
18．（2021·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC　 　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH有什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．