(通用版)中考数学一轮复习课后巩固练习39《解答题证明题与作图题》(含答案)

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1.如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:△ACD≌△CBE;
(2)连接DE,求证:四边形CBED是平行四边形.
解:(1)证明:∵点C是AB的中点,∴AC=BC;
在△ADC与△CEB中,,
∴△ADC≌△CEB(SSS).
(2)证明:连接DE,如图所示:
∵△ADC≌△CEB,∴∠ACD=∠CBE,∴CD∥BE,
又∵CD=BE,∴四边形CBED是平行四边形.
2.如图,在▱ABCD中过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE=∠D.
(1)求证:△ABF∽△BEC;
(2)若AD=5,AB=8,sinD=,求AF的长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,
∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC,
∵∠AFB+∠AFE=180°,∴∠C=∠AFB,∴△ABF∽△BEC;
(2)∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠AED=∠BAE=90°,
在Rt△ABE中,根据勾股定理得:BE==4,
在Rt△ADE中,AE=AD·sinD=5×=4,∵BC=AD=5,
由(1)得:△ABF∽△BEC,∴,
即,解得:AF=2.
3.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:作图如下,BQ就是所求作的∠ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.
证明如下:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°,
∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP,
∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.