【原创】（新高考）2022届高三二轮综合卷 数学（一）【学生版+教师版+答题卡】

（新高考）2022届高三二轮综合卷

数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C．  D．

【答案】B

【解析】因为，，

又，所以，所以，故选B．

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B．5 C．3 D．

【答案】A

【解析】由题意，，故，故选A．

3．已知函数为R上的奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【解析】由题可知，故选A．

4．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

，，

当时，，解得（舍）或，

故选D．

5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．研究鲑鱼的科学家发现v与成正比，且当时，．若一条鲑鱼要把游速提高，则其耗氧量的单位数应变为原来的（    ）

A．9倍 B．27倍 C．36倍 D．81倍

【答案】A

【解析】由题意，设（k为比例系数），

将，代入可得，解得，

设鲑鱼的耗氧量的单位数分别为，，对应游速分别为，，

则，即，解得，

所以其耗氧量的单位数应变为原来的倍，故选A．

6．设单调递增的等比数列满足，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】由，即，所以，

可得，解，得或（舍去），

，所以，从而，

从而，故选C．

7．已知，，的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】可以转化为是函数图象上的点，是函数上的点，．

当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值．

令，解得或，（舍去），

又，所以切点到直线的距离即为的最小值，

所以，所以，故选B．

8．如图，已知半径为的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，

∵AB是直径，M和N在球面上，∴，

即，

由等面积法得，

，

∵，平面ABC，

过N作NH⊥AB，则NH⊥平面ABC，

则，

，

故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据

，其中为正实数．下列说法正确的是（    ）

A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为

D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为

【答案】CD

【解析】若甲的极差为，平均数为，方差为，中位数为，

则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，

A：当甲的极差为0时，样本甲、样本乙的极差相等，错误；

B：当甲的方差为0时，样本甲、样本乙的方差相等，错误；

C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；

D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确，

故选CD．

10．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ）

A．抛物线C的准线l的方程为

B．的最小值为4

C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6

D．的最小值

【答案】ACD

【解析】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，

A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；

B中，过焦点的直线为，则，整理可得，

可得，，所以，时取等号，最小值为8，所以B不正确；

C中，满足，可知点在抛物线内部，过作准线的垂线，垂足为，则，

当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故C正确；

D中，由B的分析可知：由抛物线的方程可得，

所以，当且仅当时取等号，所以D正确，

故选ACD．

11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（    ）

A．A与B互斥  B．A与B对立

C．  D．A与C相互独立

【答案】AD

【解析】因，则x与y必是一奇一偶，而为奇数时，x与y都是奇数，

因此，事件A和B不能同时发生，即A与B互斥，A正确；

因事件A和B不能同时发生，但它们可以同时不发生，如，即A与B不对立，B不正确；

的所有可能结果如下表：

，，，C不正确；

，，，

则有，A与C相互独立，D正确，

故选AD．

12．如图所示，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)的横、纵坐标之和作为标签，例如：原点处标签为0，记为；点处标签为1，记为；点处标签为2，记为；点处标签为1，记为；点处标签为0，记为；以此类推，格点处标签为，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】由题意得，

第一圈从到共8个点，由对称性可得，

第二圈从到共16个点，由对称性可得，

根据归纳推理可得第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，

设在第n圈，则，且，

由此可知前22圈共有2024个点，即，且对应点为，

所以对应点为，对应点为，

所以，故A正确；

因为，所以，故B错误；

由图可得对应点为（1，3），所以，故C错误；

因为，

又对应点为，所以，

对应点为，所以，，

对应点为，所以，

所以，故D正确，

故选AD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为__________．

【答案】或

【解析】由题可得圆的圆心为，

代入得，

将抛物线的方程化为标准方程得，故焦点坐标为，

故答案为．

14．的展开式中的各项系数之和为96，则展开式中的系数为________．

【答案】25

【解析】令，得展开式中各项系数之和为，∴，

则展开式中的的系数为，

故答案为25．

15．我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，是窗户的高度，是遮阳篷的安装高度，是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为，窗户高度．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度_________．

【答案】

【解析】依题意可得，，，

在中，，

在中，，

又，所以，解得，

故答案为．

16．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则_________，的最小值为_________．

【答案】2，

【解析】因为在中，，

所以，

即．

因为点在线段上移动（不含端点），所以设．

所以，对比可得．

代入，得；

代入可得，

根据二次函数性质知当时，，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设首项为2的数列的前项积为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，即，

由累乘法得

，

当时，也满足上式，

∴．

（2）由（1）知，，∴，

则．

18．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，，，，P为侧棱上的点，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为四边形是正方形，所以点是的中点，

因为，

所以，，

所以平面．

（2）因为四边形是正方形，，所以，

由（1）知，

如图以点为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，，

易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，所以，

所以，

又二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为．

19．（12分）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第月份至6月份的经济收入(单位:百万元)关于月份的数据如表：

根据以上数据绘制散点图，如图．

（1）根据散点图判断，与均为常数)哪一个适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)

（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该公司8月份的经济收入；

（3）从前6个月的收入中抽取个﹐记月收入超过百万的个数为，求的分布列和数学期望．

参考数据：

其中设，

参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】（1）；（2），百万元；（3）分布列见解析，2．

【解析】（1）根据散点图判断，适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型．

（2）因为，所以两边同时取常用对数﹐得，

设，所以，

又因为，

所以，，

所以，即，

令，得，

故预测该公司月份的经济收入为百万元．

（3）前个月的收入中，月收入超过百万的有个，所以的取值为，

，，，

所以的分布列为

所以．

20．（12分）在△ABC中，已知，点D在边BC上，．

（1）若，求AC；

（2）若AD平分∠BAC，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）解：因为且，所以，，

过点作于点，

因为，且，

所以，，所以，所以，所以，

在中，由余弦定理，

即，所以．

（2）解：过作于点，设，，则，

因为，所以，

因为，又平分，所以，即，

所以，

即，解得或（舍去），

所以．

21．（12分）已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）当时，，求的取值范围．

【答案】（1），无极大值；（2）．

【解析】（1）当时，，，()，

显然在上是递增的，且，

故时，；时，，

∴在上递减，上递增，

∴，无极大值．

（2）由，可知，

而，在上单调递增，

且，，

（这是因为，），

∴存在唯一的使，

即，

且当时，，递减；当时，，递增，

∴，

令，解得或，

∴．

22．（12分）已知双曲线的左､右焦点分别为，，

点是右支上一点，若I为的内心，且．

（1）求的方程；

（2）点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，在点P处的切线l与直线相交于点M，与直线相交于点N．证明：无论点P怎么变动，总有．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）设的内切圆半径为r，

则，

因为，

所以，

即，可得，

所以，

由双曲线的定义和几何性质，得，

又，解得，

所以的方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为．

由，可得，

由题意知．

若点P在双曲线右支的上半支上，则，

所以，故，

因为，所以，；

若点P在双曲线右支的下半支上，则，

同理可得，

综上，，代入直线l的方程得，

即，

由，可得，

所以直线l的方程为，即，

因为直线的方程为，

所以直线l与直线的交点，

直线l与直线的交点，

所以，

，

即得证．