人教版八年级下册16.3 二次根式的加减学案设计

这是一份人教版八年级下册16.3 二次根式的加减学案设计，共42页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

16.3 二次根式的加减（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．与根式不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．﹣2
4．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
7．估计的值应该在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
8．下列计算正确的是（ ）
A．÷＝ B．﹣＝
C．×＝ D．＝﹣3
9．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
10．下列说法：①＝±2；②立方根是本身的数为0，1；③若二次根式有意义，则x＞3；④2﹣的倒数是2+；⑤近似数10.0×104精确到千位，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．当a=，b=时，代数式的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
12．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
13．设，则代数式的值为（　　）
A．6 B．4 C． D．
14．若，则代数式的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．9
15．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知，则的值等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
17．已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（ ）
A． B．2 C．±2 D．5
18．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
19．将，，用不等号连接起来为（ ）
A． B．
C． D．
20．的值一定是（ ）
A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数
21．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
22．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．如果已知p＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
23．如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（ ）

A．7 B． C．7 D．
24．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的面积和是（ ）

A． B．8 C． D．


二、填空题
25．计算∶=________．
26．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________．
27．若最简二次根式与是同类二次根式，则＝________．
28．计算：________．
29．计算＝____________．
30．计算：_____________．
31．计算：（2+）2021（2-）2020=__________．
32．计算（2﹣3）÷＝___．
33．已知，，则______．
34．将化为最简二次根式为______．
35．代数式，当x＝时，则此代数式的值是_______．
36．写出的一个有理化因式是 ___．
37．y＝﹣2成立，那么x﹣y＝___．
38．已知：则xy+1＝___．
39．已知，则代数式的值等于 ___．
40．已知x＝3﹣2y，则＝___．
41．已知：，则______．
42．已知，，则的值为__．
43．比较大小：______-．
44．比较实数的大小：___2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
45．比较大小：______．
46．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积为______．
47．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为3cm2和6cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为___cm2．

48．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为2cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为___cm2．


三、解答题
49．计算或化简下列各题：
（1）； （2）．



50．计算
（1） （2）



51． 计算．





52．阅读下列内容：因为，所以，所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题：
（1）求的整数部分和小数部分；
（2）若已知的小数部分是，的整数部分是，求的值．






53．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：


以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简； （2）化简；


























参考答案
1．D
【分析】
先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【详解】
解：A、，，故能合并，本选项不合题意；
B、，，故能合并，本选项不合题意；
C、，，故能合并，本选项不合题意；
D、，，故不能合并，本选项符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
2．A
【分析】
根据题意，它们的被开方数相同，列出方程解即可．
【详解】
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a=5-2a，
解得，a=1．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3．C
【分析】
先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】
解：A、，与是同类二次根式；
B、，与是同类二次根式；
C、，与不是同类二次根式；
D、，与是同类二次根式；
故选：C．
【点拨】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．D
【分析】
根据合并同类项二次根式，二次根式的除法，以及平方差公式求解判断即可．
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了合并同类二次根式，二次根式的除法，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
5．C
【分析】
利用二次根式的加法对A进行判断；利用算术平方根对B进行判断；利用二次根式的乘法法则对C进行判断；利用二次根式的性质对D进行判断．
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、原计算错误，故不符合题意；
C、正确，故符合题意；
D、原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．
6．D
【分析】
根据二次根式运算法则逐项判断即可．
【详解】
解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则进行准确计算．
7．B
【分析】
先对二次根式进行计算，再对进行估值即可．
【详解】
解：

∵，
∴．
∴的值应该在4和5之间．
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的计算，无理数的估值，正确的进行计算是关键．
8．C
【分析】
分别根据二次根式的运算法则计算出各选项的结果进行判断即可．
【详解】
解：A. ÷＝，故选项A计算不正确，不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
C. ×＝，计算正确，符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C
【点拨】本题主要考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解答本题的关键．
9．B
【分析】
先进行二次根式的计算，再根据的取值范围确定结果的取值范围．
【详解】
解：，
∵25<27<36，即5<<6，
∴在5和6之间，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
10．B
【分析】
根据算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义逐个分析判断即可
【详解】
解：①，故①不正确；
②立方根是本身的数为0，，故②不正确；
③若二次根式有意义，则x3，故③不正确；
④2﹣的倒数是，故④正确；
⑤10.0×104
近似数10.0×104精确到千位，故⑤正确
故正确的有④⑤，共计2个
故选B
【点拨】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义，掌握以上知识是解题的关键．
11．D
【分析】
先将 化简，再将 代入代数式，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴ ，
∵a=，
∴．
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算法则是解题的关键．
12．D
【分析】
甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．
【详解】
解：甲：当时，
，
当a=b时，无意义，
乙：，
∴甲错误，乙正确，
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意;
故选D．
【点拨】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系．
13．A
【分析】
先利用已知条件得a＋2＝ ，两边平方后得到＋4a＝1，再把＋4−a＋6变形为a（＋4a）−a＋6，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵a＝−2，
∴，即＋4a＝1，
∴＋4−a＋6＝a（＋4a）−a＋6
＝a×1−a＋6
＝6．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
14．A
【分析】
首先把所求的式子化成的形式，然后代入数值计算即可．
【详解】
解：原式．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是正确对所求的式子进行变形．
15．B
【分析】
先利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】
解：根据题意得：，，
解得：，，
，
∴，
则



．
故选：．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及积的乘方运算法则，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．
16．C
【分析】
根据非负性求出x、y的值，代入求解即可．
【详解】
解：∵（x﹣1）2+＝0，
∴x﹣1＝0，y+4＝0，
解得：x＝1，y＝﹣4，
∴＝＝＝4．
故选：C．
【点拨】本题考查二次方根的求值、偶次方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，熟知偶次方和算术平方根的非负性是解答的关键．
17．C
【分析】
先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．
【详解】
解：，
，为实数，，
、同号，
当，时，
原式，
当，时，
原式，
由上可得，的值是，
故选：C．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
18．B
【分析】
根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可．
【详解】
解：，，
、同号，并且、都是负数，
解得：，或，，
当，时，
；
当，时，
，
则的值是，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
19．B
【分析】
先利用计算器估算出三个无理数的值，再进行比较即可得出答案．
【详解】
解：方法一：∵，，，且，
∴；
方法二：∵，，且，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查的是无理数大小的估算及实数的大小的比较，能熟记实数的大小比较法则以及幂的乘方是解此题的关键．．
20．B
【分析】
先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可．
【详解】
解:
=


∵有意义，
∴,，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．
21．D
【分析】
利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】
解：a=2021×2023-2021×2022
=2021（2023-2022）
=2021；
∵20242-4×2023
=（2023+1）2-4×2023
=20232+2×2023+1-4×2023
=20232-2×2023+1
=（2023-1）2
=20222，
∴b=2022；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
22．D
【分析】
根据公式算出a＋b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】
解：∵p＝，p＝6，c＝4，
∴6＝，
∴a＋b＝8，
∴a＝8−b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
=
∴当b＝4时，S有最大值为．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
23．B
【分析】
根据题意可知，两小正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为和，所以两个长方形的面积和为
【详解】
解：两小正方形的面积分别是2和5，
两小正方形的边长分别是和，
两个长方形的面积和为：；
故选B．
【点拨】本题考查了二次根式的应用，解题时要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．
24．B
【分析】
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：设小长方形卡片的长为x，
根据题意得：x+2=，
∴x=，
则图②中两块阴影部分面积和是


=8（）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
25．
【分析】
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：
故填．
【点拨】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是解决本题的关键．
26．2
【分析】
根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后的被开方数相同的二次根式为同类二次根式，据此计算即可．
【详解】
解：
解得，
∴，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了根据同类二次根式的定义求参数，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
27．2

【分析】
根据同类二次根式的定义得出3a−1＝5，求出即可．
【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a−1＝5，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出3a−1＝5是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
28．
【分析】
利用去绝对值符号，零指数幂直接计算即可．
【详解】
解：，
故答案是：．
【点拨】本题考查了去绝对值、零指数次幂，解题的关键是掌握正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数．
29．
【分析】
根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算即可
【详解】
解：
故答案为：
【点拨】本题考查了根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
30．0
【分析】
先化简二次根式，然后再进行二次根式的运算即可．
【详解】
解：；
故答案为0．
【点拨】本题主要考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
31．##
【分析】
先把原式写成，然后再运用积的乘法法则的逆用和平方差公式运算即可．
【详解】
解：（2+）2021（2-）2020，

=
=
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用积的乘方法则和平方差公式是解答本题的关键．
32．﹣1
【分析】
直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（2﹣3）÷
＝（8－9）÷
＝﹣÷
＝﹣1
故答案为：﹣1
【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
33．18
【分析】
根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：18．
【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式，解决本题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式．
34．##
【分析】
根据分母有理化的方法进行整理即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．
35．##
【分析】
直接把x的值代入，利用分母有理化的法则计算即可求解．
【详解】
解：∵x＝，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了代数式的求值，掌握分母有理化的计算法则是解题的关键．
36．（不唯一）．
【分析】
根据这种式子的特点：和互为有理化因式解答即可．
【详解】
解：的一个有理化因式为．
故答案为（不唯一）．
【点拨】此题考查分母有理化，解题关键在于掌握其定义 ．
37．3
【分析】
根据二次根式的非负性得到，求出x、y的值代入计算即可．
【详解】
解：由题意可得，
解得：x＝1，
∴y＝0+0﹣2＝﹣2，
∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点拨】此题考查二次根式的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
38．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可确定的值，进而求得的值，代入代数式求解即可．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，求得的值是解题的关键．
39．5
【分析】
根据完全平方公式把原式变形，吧ax的值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
当时，原式==4+1=5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
40．
【分析】
由x＝3﹣2y得，原式化简为，从而可求得值．
【详解】
解：∵x＝3﹣2y
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题是化简求值问题，考查了二次根式的除法运算，二次根式的化简，求代数式的值，涉及整体思想，关键是二次根式的除法运算．
41．9
【分析】
化简，然后对比分析得，，代入计算即可．
【详解】
解：∵
=
=
∴，
∴
故答案为：9
【点拨】本题考查二次根式的加减，根据知识点解题是重点．
42．3
【分析】
根据分母有理化把a、b化简，分别求出a+b、ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【详解】
解：，

∴

∴,
故答案为：3．
【点拨】本题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式，和两数和完全平分公式是解答本题的关键．
43．＜
【分析】
根据二次根式的性质即可求解．
【详解】
解：∵=，-=
∴＜
故答案为：＜．
【点拨】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式的性质．
44．＜
【分析】
首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．
【详解】
解：∵2＝，
∴＜2，
故答案为：＜．
【点拨】本题主要考查了实数的大小比较，准确计算是解题的关键．
45．
【分析】
先把二次根式进行整理，然后根据比较大小的法则进行比较，即可得到答案．
【详解】
解：，
∵
∴，即
故答案为
【点拨】本题考查了二次根式的性质，比较二次根式的大小，解题的关键是熟练掌握比较大小的运算法则进行解题．
46．
【分析】
根据海伦﹣秦九韶公式求解即可．
【详解】
解：∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴，
∴S＝
＝，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及应用是解决本题的关键．
47．
【分析】
由题意易得这两张正方形纸片的边长分别为，，则有，，然后根据割补法可求解．
【详解】
解：∵两张正方形纸片的面积分别为3cm2和6cm2，
∴这两张正方形纸片的边长分别为，，
∴，
∴空白部分的面积为；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算及应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
48．2
【分析】
由题意易得这两张正方形纸片的边长分别为，则有，然后根据割补法可求解．
【详解】
解：∵两张正方形纸片的面积分别为2cm2和8cm2，
∴这两张正方形纸片的边长分别为，
∴，
∴空白部分的面积为；
故答案为2．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算及应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
49．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）去掉绝对值符号，根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】
（1）解：原式＝
＝；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．
50．（1）；（2）
【分析】
（1）根据同底数幂乘法逆运算以及积的乘方逆运算进行求解即可；
（2）根据二次根式的运算法则，立方根，绝对值等进行计算即可．
【详解】
解：（1）解：原式

=
=
=；
（2）解：原式=
=
=．
【点拨】本题考查了同底数幂乘法逆运算以及积的乘方逆运算，二次根式的混合运算，立方根，绝对值等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
51．
【分析】
化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．
【详解】
解：
=
=
=
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是合理运用平方差公式进行计算．
52．（1）的整数部分是3，小数部分为；（2）的值为．
【分析】
（1）估算无理数的大小即可；
（2）估算无理数，8+，8-的大小，确定a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分为-3；
（2）∵3＜＜4，
∴11＜8+＜12，
∴8+的小数部分a=8+-11=-3，
∵3＜＜4，
∴-4＜-＜-3，
∴4＜8-＜5，
∴8-的整数部分是b=4，
∴ab-3a+4b
=（-3）×4-3×（-3）+4×4
=4-12-3+9+16
=+13，
答：ab-3a+4b的值为+13．
【点拨】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
53．（1）；（2）
【分析】
（1）先根据二次根式的性质，得到，再由分母有理化的步骤进行化简，即可求解；
（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．
【详解】
（1）；
（2）．
【点拨】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．