（通用版）中考数学一轮复习练习卷4.2《三角形及其性质》课后练习（含答案）

这是一份（通用版）中考数学一轮复习练习卷4.2《三角形及其性质》课后练习（含答案），共15页。试卷主要包含了 三角形的重心是等内容，欢迎下载使用。

(建议答题时间：40分钟)
1. 三角形的重心是( )
A. 三角形三条边上中线的交点
B. 三角形三条边上高线的交点
C. 三角形三条边垂直平分线的交点
D. 三角形三条内角平分线的交点
2. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )
A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，6，12 D. 6，8，10
3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )
A. 145° B. 150° C. 155° D. 160°

4.已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A. 2a＋2b－2c B. 2a＋2b C. 2c D. 0
5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°

6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A. 40° B. 36° C. 30° D. 25°
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 50° D. 75°

8.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( )
A. 180° B. 210° C. 360° D. 270°
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )．
A. BC B. CE C. AD D. AC
10.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．

11. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．
12. 如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．
14. △ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.
15. 等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．
16. 如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．

17. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________.
18.在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝eq \f(1,3)DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．
19. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
20. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
求证：△BDE是等腰三角形．
21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
求证：AD＝BC.
22. 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.
课时2 直角三角形及勾股定理
(建议答题时间：40分钟)
1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. eq \r(3)，eq \r(4)，eq \r(5) B. 1，eq \r(2)，eq \r(3)
C. 6，7，8 D. 2，3，4
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. eq \f(4\r(3),3) B. 4 C. 8eq \r(3) D. 4eq \r(3)

3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )
A. 2a B. 2eq \r(2)a C. 3a D. eq \f(4\r(3),3)a
4. 如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝eq \f(\r(3),2)，则∠CDE＋∠ACD＝( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 105°

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( )
A. 3eq \r(3) B. 6 C. 3eq \r(2) D. eq \r(21)

7. eq \a\vs4\al(关注数学文化)(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．

9. 三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．
10.在△ABC中，BC＝2，AB＝2eq \r(3)，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．
11. 如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．
12. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)
13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．

14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2eq \r(3)，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．
15. 一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.

16. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝eq \r(2)＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．
17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)
18. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，
(1)求AB的长；
(2)求CD的长．
20. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3eq \r(3)，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.
(1)线段DC＝________；
(2)求线段DB的长度．
答案
课时1 一般三角形及等腰三角形
1. A 2. C 3. B
4. D 【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝0.
5. B 【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.
6．B 【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.
7．B 【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.
8. B 【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.
第8题解图
9. B 【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．
10. 15° 11. 40° 12. 75 13. CD＝DE
14. 14
15. 100° 【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.
16. 64° 【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝eq \f(1,2)∠ABC，∠2＝∠ACE＝eq \f(1,2)∠ACB，∴∠1＋∠2＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝eq \f(1,2)×128°＝64°.
17. 2eq \r(3) 【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为2eq \r(3)，故DE＋DF＝2eq \r(3).
18. 8 【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝eq \f(1,2)AB＝3，∵ME＝eq \f(1,3)DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.
19. 1＜m＜4 【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.
第11题解图
20. 证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC.
∴∠BAD＝∠ADE，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＋∠B＝90°.
∵∠BDE＋∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
21. 解：∵AB＝AC
∴在△ABC中，
∠ABC＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝eq \f(1,2)×(180°－36°)＝72°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)×72°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，
又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，
∴AD＝BC.
22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
∴∠ABE＝∠ACD；
(2)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
由(1)可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.
又∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.
课时2 直角三角形及勾股定理
1. B 2. D
3. B 【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝eq \r(2)a，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝2eq \r(2)a.
4. C 【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝eq \f(\r(3),2)，∴BE＝CE＝DE＝eq \f(\r(3),2)，∴∠CDE＝∠DCE，BC＝eq \r(3).在△ABC中，AC2＋BC2＝1＋(eq \r(3))2＝4＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CDE＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD＝90°.
5. C 【解析】设BD＝x，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD＝x，则CD＝8－x，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得x2－(8－x)2＝42，解得x＝5.
6. A 【解析】∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AC＝BC＝3，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，在Rt△ABC中，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，又∵△ABC≌△A′B′C′， ∴A′B′＝ AB＝3eq \r(2)， ∠C′A′B′＝∠CAB＝45°，∴∠CAB′＝∠C′AB′＋∠CAB＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB′中，AC＝3，AB′＝3eq \r(2)，∴B′C＝eq \r(AC2＋AB′2)＝eq \r(32＋（3\r(2)）2)＝3eq \r(3).
7. C 【解析】如解图，∵S正方形ABCD＝13，∴AB＝eq \r(13)，∵AG＝a，BG＝b，∴a2＋b2＝AB2＝13，∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝21，∴2ab＝(a＋b)2－a2－b2＝21－13＝8，∴ab＝4，∴S△ABG＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)×4＝2，∴S小正方形＝S大正方形－4S△ABG＝13－4×2＝5.
第7题解图
8. 25 9. eq \f(5,2)
10. 2 【解析】∵方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝16－4b＝0，解得b＝4.又∵BC＝2，AB＝2eq \r(3)，AC＝b＝4，∴AB2＋BC2＝(2eq \r(3))2＋22＝42＝AC2，∴∠B＝90°，∴AC边上的中线长为2.
11. 0 第11题解图
12. 2＋eq \r(2)m 【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt△DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝eq \r(2)m，则△BEF的周长为2＋eq \r(2) m.
第12题解图
13. 78 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝eq \r(152＋202)＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)，∴CE＝eq \f(15,25)×20＝12.
第13题解图
14. 3eq \r(3)－3 【解析】∵AB＝AC＝2eq \r(3)，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD(SAS)，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝eq \f(6－DE,3)，∵CD′＝BD＝2CE，∠D′CE＝60°，∴∠D′EC＝90°，∴D′E2＋EC2＝D′C2，即DE2＋(eq \f(6－DE,3))2＝(eq \f(6－DE,3)×2)2，解得DE＝3eq \r(3)－3(负根舍去)．
第14题解图
15. eq \r(2)＋eq \r(6) 【解析】如解图，连接DE，在EF上找一点G，使得DG＝EG，连接DG，在Rt△ABD中，∠A＝60°， ∴AD＝eq \f(1,2)AB，又∵E为AB的中点，∴AE＝eq \f(1,2)AB＝DE ，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE为等边三角形 ，∴DE＝AD＝4 cm，∠DEA＝60°，又∵EF⊥CD，∠C＝90°，∴EF∥CB，∴∠AEF＝∠ABC＝75°，∴∠DEF＝15°，在Rt△EFD中，∠EFD＝90°，∵DG＝EG，∴∠GDE＝∠DEF＝15°，∴∠DGF＝30°，设DF＝x，则EG＝DG＝2x，FG＝eq \r(3)x，EF＝(2＋eq \r(3))x，根据勾股定理得DF2＋EF2＝DE2，即x2＋(2＋eq \r(3))2x2＝16，解得x＝eq \r(6)－eq \r(2)，∴EF＝(eq \r(2)＋eq \r(6)) cm.
第15题解图
16. eq \f(\r(2)＋1,2)或1 【解析】(1)当∠B′MC为直角时，此时点M在BC的中点位置，点B′与点A重合，如解图①，则BM长度为eq \f(1,2)BC＝eq \f(\r(2)＋1,2)；(2)当∠MB′C为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM＝B′M，BN＝B′N，B′M∥BA，∴eq \f(MC,BC)＝eq \f(B′M,AB)，即eq \f(MC,B′M)＝eq \f(BC,AB)＝eq \r(2)，∴eq \f(MC,B′M)＝eq \r(2)，即eq \f(MC＋BM,BM)＝eq \f(\r(2)＋1,1)，即eq \f(BC,BM)＝eq \f(\r(2)＋1,1)，∵BC＝eq \r(2)＋1，∴BM＝1.故BM长为eq \f(\r(2)＋1,2)或1.
第16题解图
17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BD＝BC，
∵∠A＝30°，∴BC＝eq \f(1,2)AC，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，
解得BC＝BD＝2＋2eq \r(3)(负根舍去)．
18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝eq \r(52－42)＝3；
(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，
∵DB⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝eq \f(1,2)AE，
∴AE＝6，即BC边上高的长为6.
第18题解图
19. 解：(1)在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(202＋152)＝25，
即AB的长是25；
(2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CD，
∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.
20. 解：(1) 4；
【解法提示】在△ACD中，
∵∠A＝60°，AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC＝AC＝4.
(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.
第20题解图
在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，
∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝eq \r(CD2－DE2)＝2eq \r(3)，
∴BE＝BC－CE＝3eq \r(3)－2eq \r(3)＝eq \r(3)，
∴DB＝eq \r(BE2＋DE2)＝eq \r(（\r(3)）2＋22)＝eq \r(7).