（通用版）中考数学一轮复习练习卷8.2《概率》随堂练习（含答案）

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A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,3) C. eq \f(1,4) D. eq \f(1,6)
命题点2 与代数、几何结合的概率计算
2. 点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值．则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．
3.从数－2，－eq \f(1,2)，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第一、第三象限的概率是________．
4. 在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字－2，－1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线 y＝－x2＋2x＋5与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是________．
5. 在一个不透明的盒子里装着4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余完全相同，搅匀后从盒子里随机取出1个小球，将该小球上的数字作为a的值，则使关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2a－1,x≤a＋2))只有一个整数解的概率为________．
6. 有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程eq \f(1－ax,x－2)＋2＝eq \f(1,2－x)有正整数解的概率为________．
7. 从－2，－1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2x－1,6)≥－\f(1,2),2x－1＜2a))有解，且使关于x的一元一次方程eq \f(3x－a,2)＋1＝eq \f(2x＋a,3)的解为负数的概率为________．
8. 从－3，－2，－1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3＜4,3x－1＞－11))的解，又在函数y＝eq \f(1,2x2＋2x)的自变量取值范围内的概率是______．
9. 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为eq \f(1,4)，且使关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2≤a,1－x≤2a))有解的概率为________．
10. 从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________．
类型二 与几何结合
11. 将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法(如：5，2，1和1，5，2)，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是________．
12. 在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)，则所作△OAB为直角三角形的概率是________．
13.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与两坐标轴围成一个△AOB.现将背面完全相同，正面分别标有数1，2，3，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为________．
命题点3 统计与概率结合
14. 某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛．该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图①和图②两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息完成以下问题：
(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是________度，并补全条形统计图；
(2)经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
15. 中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富，某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为________度，并将条形统计图补充完整；
(2)此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁．现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
16.某校七年级(1)班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类(记为A)、音乐类(记为B)、球类(记为C)、其他类(记为D)．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动，班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
(1)七年级(1)班学生总人数为________人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为________度，请补全条形统计图；
(2)学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．
17. 为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
(1)求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
(2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
18.减负提质“1＋5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措．某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时以内”、“2小时～3小时”、“3小时～4小时”和“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：
(1)求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
(2)在此次调查活动中，初三(1)班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人去参加学校的知识抢答赛．用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同小组的概率．
拓展训练
随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展．某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“十·一”长假期间旅游情况统计图．根据以下信息解答下列问题：
某市2017年“十一”长假期间旅游情况
(1) 2017年“十·一”期间，该市周边景点共接待游客________万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是________，并补全条形统计图；
(2)甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一个景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果．
命题点4 涉及游戏公平性的概率计算
19. 有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4(如图所示)，另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球(除数不同外，其余都相同)．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
(2)小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
答案
1. A 【解析】列表分析如下：
∴共有12种等可能的结果，其中抽到张医生的有6种，则P(抽调到张医生)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
2. eq \f(1,5) 【解析】列表分析如下：
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中点P(a，b)在第二象限内的有4种结果，∴P(点P在第二象限)＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
3. eq \f(1,6) 【解析】画树状图如解图所示：
第3题解图
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中k＝mn为正的结果有2种，当k＝mn是正数时，正比例函数y＝kx经过第一、第三象限，∴P(正比例函数经过第一、三象限)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).
4. eq \f(3,5) 【解析】由题意，点P有五种可能：(－2，4)、(－1，1)、(0，0)、(1，1)、(2，4)，由于y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，则顶点坐标为(1，6)，开口向下，又求得它与x轴两交点坐标为(1－eq \r(6)，0)，(1＋eq \r(6)，0)，∴点(－2，4)在抛物线与x轴围成的区域外，点(0，0)在边界上，不符合要求；当x＝－1时，y＝2＞1，∴点(－1，1)在区域内；当x＝1时，y＝6＞1，∴点(1，1)在区域内；当x＝2时，y＝5＞4，∴点(2，4)在区域内，∴一共有3个点会落在区域内，即满足条件的概率为eq \f(3,5).
5. eq \f(1,4) 【解析】抽到的a值共有四种情况：①当a＝1时，不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2a－1,x≤a＋2))的解集为1＜x≤3，有两个整数解；②当a＝2时，不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2a－1,x≤a＋2))的解集为3＜x≤4，有一个整数解；③当a＝3时，不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2a－1,x≤a＋2))无解；④当a＝4时，不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2a－1,x≤a＋2))无解．∴共有一种情况符合要求，因此使关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2a－1,x≤a＋2))只有一个整数解的概率为eq \f(1,4).
6. eq \f(1,4) 【解析】由eq \f(1－ax,x－2)＋2＝eq \f(1,2－x)，得1－ax＋2(x－2)＝－1，得x＝eq \f(2,2－a).当a＝－3时，x＝eq \f(2,5)，不是正整数；当a＝0时，x＝1，是正整数，检验：x＝1时，x－2≠0，∴x＝1是原方程的解；当a＝1时，x＝2，此时分式方程无意义；当a＝5时，x＝－eq \f(2,3)，不是正整数．故只有a＝0时满足条件，∴使分式方程有正整数解的概率为eq \f(1,4).
7. eq \f(3,5) 【解析】解不等式eq \f(2x－1,6)≥－eq \f(1,2)，得x≥－1，解不等式2x－1＜2a，得x＜eq \f(2a＋1,2).∵不等式组有解，∴eq \f(2a＋1,2)>－1，解得a＞－eq \f(3,2).解方程eq \f(3x－a,2)＋1＝eq \f(2x＋a,3)，得x＝eq \f(5a－6,5).∵方程的解为负数，∴eq \f(5a－6,5)＜0，解得a＜eq \f(6,5).∴－eq \f(3,2)＜a＜eq \f(6,5)，∴a＝－1，0，1.∴满足条件的概率为eq \f(3,5).
8. eq \f(2,5) 【解析】解不等式2x＋3＜4，得x＜eq \f(1,2)，解不等式3x－1＞－11，得x＞－eq \f(10,3)，∴不等式组的解集为－eq \f(10,3)＜x＜eq \f(1,2)，∴x＝－3，－2，－1，0.在函数y＝eq \f(1,2x2＋2x)中，自变量的取值范围满足2x2＋2x≠0，∴2x(x＋1)≠0，即x≠0且x＋1≠0，∴x≠0且x≠－1，∴x＝－3，－2，∴－3，－2，－1，0，4这5个数中随机抽取一个数是－3或－2的概率为eq \f(2,5)，即满足条件的概率为eq \f(2,5).
9. eq \f(1,3) 【解析】对于函数y＝2x＋a，令y＝0，解得x＝－eq \f(a,2)，令x＝0，则y＝a，∵此直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为eq \f(1,4)，则有|－eq \f(a,2)|·|a|·eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，即eq \f(a2,4)＝eq \f(1,4)，解得a＝±1，又∵解不等式组中x＋2≤a，得x≤a－2，解1－x≤2a，得x≥1－2a，则此不等式组的解集为1－2a≤x≤a－2，当a＝1时，－1≤x≤－1，此时不等式组的解为x＝－1；当a＝－1时，3≤x≤－3，此时不等式组无解．综上所述，不等式组有解时，需a＝1，则从－1、1、2这三个数中，随机抽取一个数是1的概率为eq \f(1,3)，即满足条件的概率为eq \f(1,3).
10. eq \f(2,5) 【解析】从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，共有5种取法，∵函数y＝(5－m2)x的图象过一、三象限，∴5－m2＞0，即m2＜5，故m的取值范围为－eq \r(5)11. eq \f(1,5) 【解析】因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，所以共有5种情况，分别是1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；其中能构成三角形的只有2，3，3一种情况，∴截成的三段木棍能构成三角形的概率是eq \f(1,5).
12. eq \f(8,25) 【解析】如解图，∵A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)，∴点A可以出现的地方共有25个．其中能与B、O组成直角三角形的点有8个，分别是(－2，2)、(－1，1)、(0，1)、(0，2)、(1，0)、(2，0)、(1，－1)、(2，
－2)，∴能组成直角三角形的概率是eq \f(8,25).
第12题解图
13. eq \f(3,5) 【解析】先算出点P的坐标是(1，1)、(2，eq \f(1,2) )、(3，eq \f(1,3))、(eq \f(1,2)，2)、(eq \f(1,3)，3)，将以上五个点的横坐标分别代入y＝－x＋3中算出直线上点的纵坐标，如前者纵坐标小于后者纵坐标，则在△AOB内．可知当x＝1时，y＝2，∵1小于2，故点(1，1)在△AOB内，同理可知(2，eq \f(1,2))、(eq \f(1,2)，2)也在△AOB内，∴点P落在△AOB内的概率为eq \f(3,5).
14. 解：(1)126；(2分)
补全条形统计图如解图①所示：(4分)
第14题解图①
【解法提示】∵总的参赛的作文篇数为：20÷20%＝100(篇)，∴九年级参赛的作文篇数对应的圆心角为360°×eq \f(35,100)＝126°；∵七年级参赛的作文篇数为20篇，九年级参赛的作文篇数为35篇，∴八年级参赛的作文篇数为100－20－35＝45(篇)，即可补全条形统计图．
(2)设七年级获特等奖的作文为A，其他三篇作文为B，C，D，由题意可画树状图如解图②：(6分)
第14题解图②
由树状图可知，从四篇特等奖作文中任选两篇刊登的等可能的结果有12种，其中七年级特等奖作文被选登在报刊上的结果有6种，
∴P(七年级特等奖作文被刊登)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).(8分)
15. 解：(1)72；(2分)
补全条形统计图如下：(4分)
初二年级参加“中国诗词大赛”
比赛成绩条形统计图
第15题解图①
【解法提示】参赛总人数为：75÷25%＝300(人)，∴扇形统计图中“优秀”所对应的圆心角为：eq \f(60,300)×360°＝72°；比赛成绩“良好”的人数为：300×40%＝120(人)．
(2)根据题意，列表如下：
(7分)
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、丁的结果共有2种，
∴P(选中的两名同学恰好是甲、丁)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).(8分)
或根据题意，画树状图如下：(7分)
第15题解图②
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、丁的结果共有2种，
∴P(选中的两名同学恰好是甲、丁)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).(8分)
16. 解：(1)48；105；(3分)
补全条形统计图如解图所示：(5分)
“我最喜欢的课外活动”各类别人数条形统计图
第16题解图
【解法提示】∵B类学生12人，占调查总人数的25%，∴调查总人数为12÷25%＝48(人)．由条形统计图知，A类学生4人，B类学生12人，D类学生14人，∴C类学生有48－4－12－14＝18人，D类学生占调查总人数的百分比为eq \f(14,48)×100%，则D类所对应扇形的圆心角度数为eq \f(14,48)×360°＝105°.
(2)设4名学生中，擅长书法的两人为A1、A2，擅长绘画的两人为a1、a2，则列表如下：
(8分)
由上表可以看出，共有12种等可能的结果，其中一名擅长书法、一名擅长绘画的结果有8种，
∴P(一名擅长书法、一名擅长绘画)＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3).(10分)
17. 解：(1)该校班级个数为：4÷20%＝20(个)．(1分)
只有2名留守儿童的班级个数为：20－(2＋3＋4＋5＋4)＝2(个)．(2分)
该校平均每班留守儿童人数为：
eq \f(1×2＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋6×4,20)＝4(名)．(3分)
补全条形统计图如解图①所示：(5分)
全校留守儿童人数条形统计图
第17题解图①
(2)由(1)知只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，设A1、A2来自一个班，B1、B2来自另一个班，画树状图如解图②所示：(8分)
第17题解图②
或列表如下：(8分)
由树状图或列表可知，共有12种等可能的结果，其中来自同一个班级的情况有4种，
∴P(所选两名留守儿童来自同一个班级)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).(10分)
18. 解：(1)由题得：x%＋10%＋15%＋45%＝100%，
解得x＝30.
调查总人数为180÷45%＝400(人)，
B等级的人数为400×30%＝120(人)；
C等级的人数为400×10%＝40(人)；
补图条形统计图如解图①(图中的B、C)．
第18题解图①
(2)分别用P1、P2；Q1、Q2表示两个小组的4个同学，画树状图如下：
第18题解图②
可得共有12种等可能的结果，2人来自不同小组的有8种情况，
∴P(两人来自不同小组)＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3).(10分)
拓展训练
解：(1)50，108°，补全条形统计图如解图①所示．
拓展训练题解图①
【解法提示】由两个统计图可知A景点接待游客15万人，占30%，∴接待游客总人数为15÷30%＝50(万人)；A景点对应圆心角度数为360°×30%＝108°.补全条形统计图如解图①.
(2)用画树状图表示如下：
拓展训练题解图②
或列表表示如下：
共有9种等可能出现的结果，其中甲、乙同时选择去同一个景点旅游的结果有3种．所以P(甲、乙同时选择去同一个景点)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
19. 解：(1)画树状图如解图：(4分)
第19题解图
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的结果有4种，
∴P(积为0)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).(6分)
(2)不公平. (7分)
由树状图知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种，
∴P1(积为奇数)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，(8分)
P2(积为偶数)＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3).(9分)
∵eq \f(1,3)≠eq \f(2,3)，
∴该游戏不公平．游戏可修改为：
若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢．(10分)
A
B
C
张
A
(A，B)
(A，C)
(A，张)
B
(B，A)
(B，C)
(B，张)
C
(C，A)
(C，B)
(C，张)
张
(张，A)
(张，B)
(张，C)
(a，b) b
a
-2
-1
0
1
2
－2
(－2，-1)
(-2,0)
(-2,1)
(-2,2)
－1
(－1，-2)
(-1,0)
(-1,1)
(-1,2)
0
(0，-2)
(0，-1)
(0,1)
(0,2)
1
(1，-2)
(1，-1)
(1,0)
(1,2)
2
(2，-2)
(2，-1)
(2,0)
(2,1)
第二人
第一人

甲
乙
丙
丁
甲
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
A1
A2
a1
a2
A1
(A1，A2)
(A1，a1)
(A1，a2)
A2
(A2，A1)
(A2，a1)
(A2，a2)
a1
(a1，A1)
(a1，A2)
(a1，a2)
a2
(a2，A1)
(a2，A2)
(a2，a1)
A1
A2
B1
B2
A1
(A1，A2)
(A1，B1)
(A1，B2)
A2
(A2，A1)
(A2，B1)
(A2，B2)
B1
(B1，A1)
(B1，A2)
(B1，B2)
B2
(B2，A1)
(B2，A2)
(B2，B1)
甲
乙
A
B
D
A
AA
AB
AD
B
BA
BB
BD
D
DA
DB
DD