北师大版九年级下册3 垂径定理教案配套ppt课件

3.3垂径定理-学案

一、 学习目标

1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程．

2、理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．

二、 温故知新

1.圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性．

2.圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果       、        、

           、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

三、 自主探究：阅读课本p74— 77    

问题：

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上面的问题的？

利用折叠法，可以得到结论：                                      

探究（一）

在上图中，AB是一条弦，CD是一条直径，且AB⊥CD于点M,

（1）图3-10是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等关系？说一说你的理由。

垂经定理：                                                           .

推理格式：如图所示

∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径

∴AM=BM，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC.

垂经定理的推论：                                             .

推理格式：如图所示

∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,

 ∴CD⊥AB于M，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC

AB是弦(不是直径)

①CD是直径（或CD过圆心）    ②AB⊥CD     ③AM=BM   

④弧AC=弧BC    ⑤弧AD=弧BD

已知5条中的2条可以推出另外3条

例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD = 600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF = 90m。求这段弯路的半径。

解：

四、随堂练习

1.圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．

2.如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm ,CE =2cm，则AB=______cm．

第2题        第3题

3.如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，

∠AOB=______．

4.下列命题中，正确的是（     ）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 

D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

5.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

五．本课小结：.

1．垂直于弦的直径___________________________________________．

几何语言：（如右图）∵                     ∴                

2．平分________（不是直径）的直径________于弦，

并且平分________________________________．

3．圆的两条平行弦所夹的弧________

你还有什么收获或困惑？

六．课堂测试

1.下列结论正确的是（　　）

  A．经过圆心的直线是圆的对称轴          B．直径是圆的对称轴

  C．与圆相交的直线是圆的对称轴          D．与直径相交的直线是圆的对称轴

2．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（　　）

　 A．CE=DE B.AE=OE C.= D.△OCE≌△ODE

3.下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有(    )

       A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__  _.最大值为___ __.

5.如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　____．

     (5)                 (6)                 (7)                

6.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（    ）

A．4              B．6           C．7           D．8

7.如图，的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（　　　）

A．         B．        C．       D．

8.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB＝36mm，求点O到AB的距离及

cos∠OAB的值．

9.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．

答案：

四．随堂练习

1.6    2.8    3. 6 ，120°     4.D

5. 解：相等

理由：如图AB//EF,作直径CD⊥AB,则CD⊥EF

由垂经定理得弧AC=弧BC,弧EC=弧FC

∴弧EC-弧AC=弧FC-弧BC

∴弧AE=弧BF

六．课堂测试

1.A    2.B    3.B    4.3,5    5.3     6.D    7.A

8. 解：过点O作OC⊥AB于点C

∵AB=36，OA=30

∴AC=BC=18

∴OC=24

所以点O到AB的距离24mm

cos∠OAB===

9.（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，

∵AE=BE，CE=DE，

∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，

∵OA=10，OC=8，OE=6，

∴.

∴AC=AE﹣CE=8﹣2．