类型3题型2与切线有关的证明与计算-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版）

类型二与切线有关的证明与计算

【典例1】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．

（1）求证：△CBA≌△DAB；

（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△CBA与Rt△DAB中，，

∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；

（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，

∴∠E＝∠BFE，

∵BE是半圆O所在圆的切线，

∴∠ABE＝90°，

∴∠E+∠BAE＝90°，

由（1）知∠D＝90°，

∴∠DAF+∠AFD＝90°，

∵∠AFD＝∠BFE，

∴∠AFD＝∠E，

∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，

∴∠DAF＝∠BAF，

∴AC平分∠DAB．

【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．

【典例2】如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）详见解析；（2）2

【解析】

【分析】

（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；

（2）根据三角形中位线定理得到OE＝BD＝×8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：（1）连接OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BD，

∵OF⊥AD，

∴OF∥BD，

∴∠AOF＝∠B，

∵CD是⊙O的切线，D为切点，

∴∠CDO＝90°，

∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，

∴∠CDA＝∠BDO，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠B，

∴∠AOF＝∠ADC；

（2）∵OF∥BD，AO＝OB，

∴AE＝DE，

∴OE＝BD＝×8＝4，

∵sinC＝＝，

∴设OD＝x，OC＝3x，

∴OB＝x，

∴CB＝4x，

∵OF∥BD，

∴△COF∽△CBD，

∴，

∴，

∴OF＝6，

∴EF＝OF−OE＝6−4＝2．

【点睛】

本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

【典例3】如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，．

（1）求的大小；

（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．

【答案】（1）60°；（2）详见解析

【解析】

【分析】

(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值；

(2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．

【详解】

解：(1)连接，

∵与相切于点，

∴，

∵，∴，

∴，则．

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：

．

故答案为：．

(2)连接，

由(1)得，，

∵，，∴，

∴，∴．

在与中，

∴，

∴．

又点在上，故与相切．

【点睛】

本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．

【典例4】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；

（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

【分析】

(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．

(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．

【详解】

（1）证明：连接OC

∵CD与⊙O相切于C点

∴OC⊥CD

又∵CD⊥AE

∴OC//AE

∴∠OCB＝∠E

∵OC=OB

∴∠ABE＝∠OCB

∴∠ABE＝∠E

∴AE=AB

（2）连接AC

∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB＝90°

∴

∵AB=AE，AC⊥BE

∴EC=BC=6

∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA

∴△EDC∽△ECA

∴

∴．

【点睛】

本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．

【典例5】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；

（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵＝＝，

∴∠BOD＝180°＝60°，

∵＝，

∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，

∵OA＝OD，

∴∠ADO＝∠DAB＝30°，

∵DE⊥AC，

∴∠E＝90°，

∴∠EAD+∠EDA＝90°，

∴∠EDA＝60°，

∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝30°，AB＝6，

∴BD＝AB＝3，

∴AD＝＝3．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

【典例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．

(1)求证：AB是⊙O的直径；

(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；

(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．

【分析】：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．

【答案】：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径

(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切

(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝＝3，则DE＝BF＝

【典例7】如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF，求AH的值．

【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得＝，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.

【答案】：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线

(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴＝，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在Rt△BFG中，BG＝＝3，∵BG·BA＝48，∴BA＝8，∴AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝，∴AH＝AC－CH＝

【典例8】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.

(1)求∠CDE的度数；

(2)求证：DF是⊙O的切线；

(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．

【答案】：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°

(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线

(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝2x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2

【典例9】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．

【答案】：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切　(2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝，∴AC＝.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝＝，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(－r)2＝r2＋3，解得r＝　　　　　　　　　　　　　　　　

【典例10】如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.

(1)求证：∠1＝∠CAD；

(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．

【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD

(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2＋x)2，解得x＝，∴⊙O的半径为

【典例11】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)若BC＝，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．

【答案】：(1)连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线

(2)设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴＝，∴＝，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝＝，∵＝，∴BE＝

【典例12】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8.

(1)求⊙O的半径；

(2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．

【答案】：(1)连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半径是5

(2)将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO·sin60°＝5×＝，∴S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝－×5×＝－，即图中阴影部分的面积是－

【典例13】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.

(1)求证：AE＝BF；

(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；

(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．

【答案】：(1)连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF

(2)连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF

(3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝＝，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝＝，∵EF＝，∴DE＝×＝，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴＝，即GE·ED＝AE·EB，∴·GE＝2，∴GE＝，则GD＝GE＋ED＝