类型6题型8其他探究题-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版）

类型八 其他探究题

【典例1】小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．

探究发现：

（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若，求的长．

【典例2】如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点（与点A不重合）．

（1）求证：△AEH≌△AGH；

（2）当AB＝12，BE＝4时．

①求△DGH周长的最小值；

②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【典例3】综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AB的函数解析式为　　，点M的坐标为　　，cos∠ABO＝　　；

连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　　；

（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；

（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【典例4】已知正方形ABCD，点E在直线AD上(不与点A、D重合)，连接BE，作EF⊥BE，且EF＝BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G.

(1)如图①，当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，求证：AB＋AE＝BG；

(2)如图②，当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点H，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明；

(3)如图③，当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点N，请直接写出线段AB、AE、BG之间的数量关系，不需要证明．

图①          图②        图③

第4题图

【典例5】如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB中，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P为AE的中点．

(1)观察猜想

连接PC、PD，则线段PC与PD的位置关系是________，数量关系是________；

(2)探究证明

如图②，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

在点E的运动过程中，当△PCF是等边三角形时，直接写出△ACB与△EDB的两直角边之比．

【典例6】问题背景：如图（1），已知，求证：；

尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；

拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

【典例7】以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题．

（1）在中，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）

（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析；

设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点；

连线；

观察思考

（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当            时，最大；

（4）进一步C猜想：若中，，斜边为常数，），则            时，最大．

推理证明

（5）对（4）中的猜想进行证明．

问题1．在图中完善的描点过程，并依次连线；

问题2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______

问题3．证明上述中的猜想：

问题4．图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段为感光区城，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．

【典例8】如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．

（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；

（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；

（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．