特训01 平行线背景下的证明计算问题-2021-2022学年七年级数学下册“各章步步为赢”特训方案（人教版）

这是一份特训01 平行线背景下的证明计算问题-2021-2022学年七年级数学下册“各章步步为赢”特训方案（人教版），共21页。试卷主要包含了如图，如图已知，求证，如图，点、分别在、上，，，求证， 推理填空等内容，欢迎下载使用。
    特训01 平行线背景下的证明计算问题   1．如图所示，点B，C，E在同一条直线上，，，．（1）当，时，求的大小．（2）求证：．【答案】（1）30°；（2）见解析解：（1）∵AD∥BE，∴∠3=∠CAD=65°，∴∠CAE=∠CAD-∠2=65°-35°=30°；（2）∵AD∥BE，∴∠3=∠CAD，∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，即∠BAE=∠CAD=∠3，∵∠3=∠4，∴∠4=∠BAE，∴AB∥CD．2．如图：已知，，，于点，于点，求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析证明：（1）∵，，∴．∴（同旁内角互补，两直线平行）．（2）∵．∴（两直线平行，内错角相等）．∵，，∴，（垂直的定义）．∴．∴（同位角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，同位角相等）．∴．3．如图已知，求证：．证明：∵（已知），且（__________），∴（__________）．∴_____（__________）．∴____（__________）．又∵（已知），∴_____________（等量代换）．∴（__________）．解：证明：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠4（对顶角相等），∴∠2=∠4（等量代换），∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B=∠C（已知），∴∠3=∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．4．如图，点、分别在、上，，，求证：．证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．5．如图，在中，于点于点，点为上一点，连接，其中．求证：．
 【答案】见解析【分析】先证DB∥EF，得∠2=∠CDM，再结合已知条件证∠3=∠AMN，然后由平行线的判定即可得出结论．【详解】解：∵，，
∴∠CFE=∠DMC=90°，
∴EF∥DB，
∴∠2=∠CDM，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠AMN，∵∠3=∠C，∴∠3=∠AMN，∴AB∥MN6．如图，在△ABC中，GD⊥AC于点D，∠AFE＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°，∠AEF＝65°.求∠1的度数． 【答案】25°.【解析】试题分析：根据平行线的判定得到EF∥BC，由平行线的性质得到∠1=∠EBG，等量代换得到∠EBG+∠2=180°，于是得到EB∥DG，根据平行线的性质得到∠GDE=∠BEA，由垂直的定义得到∠GDE=90°，即可的结论．试题解析：∵∠AFE＝∠ABC，∴EF∥BC.∴∠1＝∠EBG.∵∠1＋∠2＝180°，∴∠EBG＋∠2＝180°.∴EB∥DG.∴∠GDE＝∠BEA.∵GD⊥AC，∴∠GDE＝90°.∴∠BEA＝∠GDE＝90°.∴∠1＝∠BEA－∠AEF＝90°－65°＝25°.7． 推理填空已知：如图所示，点B，C，E在同一条直线上，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD∥BE证明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠______（______）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠______（______）∴∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）即∠BAF=∠DAC∴∠3=∠______（等量代换）∴AD∥BE（______）【答案】BAE；两直线平行，同位角相等；BAE；等量代换；DAC；内错角相等，两直线平行．【分析】根据已知条件和解题思路，利用平行线的性质和判定填空．【详解】解：AD∥BE，理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等）；∵∠3=∠4（已知），∴∠3=∠BAE（等量代换）；∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质），即∠BAF=∠DAC，∴∠3=∠DAC（等量代换），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．故答案为：BAE；两直线平行，同位角相等；BAE；等量代换；DAC；内错角相等，两直线平行．8．如图，直线l分别交AB,CD于点M,N(点M在点N的右侧)，若∠1=∠2(1)求证:AB//CD；(2)如图，点E、F在AB，CD之间，且在MN的左侧，若∠MEF+∠EFN=255°，求∠AME+∠FNC的度数；(3)如图,点H在直线AB上,且位于点M的左侧;点K在直线MN上,且在直线AB的上方.点Q在∠MND的角平分线NP上，且∠KHM=2∠MHQ，若∠HQN+∠HKN=75°，直接写出∠PND和∠QHB的数量关系.  【答案】（1）见解析；（2）∠AME+∠FNC=75°；（3）∠PND－∠QHB=25°或3∠PND－∠QHB=75°【分析】（1）根据平行线的判定证出∠2=∠AMF即可；（2）如图，过E，F分别作EH∥AB，FK∥AB，可得AB∥EH∥FK∥CD，根据平行线的性质即可求解；（3）分两种情况考虑：HQ在∠KHM内和在∠KHM外，根据平行线的性质和三角形外角的性质分别求出结论即可.【详解】（1）证明：∠1=∠AMF　又∠1=∠2　∴∠2=∠AMF　∴AB∥CD（2）如图，过E，F分别作EH∥AB，FK∥AB　　 又AB∥CD　∴AB∥EH∥FK∥CD　　 ∴∠HEF+∠EFK=180°　　 又∠MEF+∠EFN=255°　　 ∴∠MEH+∠KFN=75°，∵AB∥EH　　 ∴∠MEH=∠AME，∵ FK∥CD　∴∠FNC=∠KFN　　 ∴∠AME+∠FNC=75°； （3）∠PND－∠QHB=25°　或3∠PND－∠QHB=75°过Q作QO∥AB，则QO∥AB∥CD∴∠KMB=∠MND=2∠PND，∠OQN=∠PND，∠OQH=∠MHQ∴∠HQN=∠PND+∠MHQ∠HKN=∠KMB-∠KHM=2∠PND-2∠MHQ∵∠HQN+∠HKN=75°，∴2∠PND-2∠MHQ+∠PND+∠MHQ=75°，即3∠PND－∠QHB=75°；如图，∠HKN=∠KMB-∠KHM=2∠PND-2∠MHQ∠HOM=∠OMB-∠MHQ=2∠PND-∠MHQ∠HQN=∠HOM-∠MNB=∠HOM-∠PND=2∠PND-∠MHQ-∠PND=∠PND-∠MHQ∵∠HQN+∠HKN=75°，∴∠PND-∠MHQ+2∠PND-2∠MHQ=75°，即∠PND－∠QHB=25°.故答案为（1）见解析；（2）∠AME+∠FNC=75°；（3）∠PND－∠QHB=25°或3∠PND－∠QHB=75°．9．如图所示，在中，，垂足为D，点E在BC上，，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果，且，求．【答案】（1），证明详见解析；（2）115°【详解】（1），理由如下：∵，，∴，∴．（2）∵，∴．∵，∴∠1=∠BCD．∴DG∥BC．∴．∵，∴10．如图1，已知，点和点分别在直线AB和CD上，点在直线AB和CD之间，连接EF和HF．（1）求的度数；（2）如图2，若，HM平分交FE的延长线于点，，求的度数．【答案】（1）；（2）解：（1）过点作，如图1所示．  ．（两直线平行，同旁内角互补），  ，（平行于同一直线的两条直线互相平行）．（两直线平行，同旁内角互补），.    （2）过点M作，如图2所示． ，，（平行于同一直线的两条直线互相平行），，（两直线平行，内错角相等），．（等量代换）  由题知，. ∵HM平分，.     由（1）知，，，.      ， ．11．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．　　　　（1）小明的思路，易求得的度数为________度；（2）问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、户之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接与、之间的数量关系．【答案】（1）110°，（2）∠APC＝α+β，理由见解析，（3）当P在BD延长线上时，∠CPA＝α﹣β；，当P在DB延长线上时，∠CPA＝β﹣α．【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【详解】1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．故答案为：110°．（2）∠APC＝α+β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α＝∠APE，β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA＝α﹣β；由（2）可得，α＝∠APE，β＝∠CPE，∠APC＝∠APE-∠CPE＝α-β； 如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA＝β﹣α．由（2）可得，α＝∠APE，β＝∠CPE，∠APC＝∠CPE -∠APE＝β-α；12．推理填空：如图，已知，，可推得，理由如下：解：因为（已知）又（    ）所以（等量代换），所以（同位角相等，两直线平行）所以（    ）又因为（已知）所以（等量代换）所以（    ）【答案】对顶角相等；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行【分析】根据图像可知∠1=∠4是对顶角，那么第一个空：通过得到，是利用平行线的性质，故第二个空填：两直线平行，同位角相等；由，得，是利用了平行线的判定，故第三个空填：内错角相等，两直线平行．【详解】解：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠4（对顶角相等）∴∠2=∠4 （等量代换）∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠B=∠C（已知），∴∠3=∠B（等量代换）∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）；故答案为：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．13．推理填空：如图，于D，于G，，可得平分．理由如下：∵于D，于G，（已知）∴，（____________________）∴，（____________________）∴__________，（____________________），（____________________）又∵，（____________________）∴___________，（____________________）∴平分．（____________________）【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；∠2；等量代换；角平分线的定义．【分析】根据证明的前后联系填写理由或结论即可．【详解】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E＝∠1（已知）∴∠3＝∠2（等量代换）∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；∠2；等量代换；角平分线的定义．