【原创】（新教材）2021-2022学年下学期高一第一次月考卷 数学（A卷）

（新教材）2021-2022学年下学期高一第一次月考卷

数 学（A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以，所以，故选B．

2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则

（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，，所以，

则C为锐角，故，故选C．

3．已知向量，，，若A，C，D三点共线，则

（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

因为A，C，D三点共线，所以与共线，

所以，解得，故选D．

4．在中，点在边上，且，是的中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】如图，因为，所以．

因为是的中点，

所以，

则，故选D．

5．在中，，，的对边分别为，，，若，则最大角的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，由正弦定理得，

设，

根据余弦定理可知，

又，所以，

根据正弦定理可知长边对大角，故最大角的弧度数为，故选B．

6．已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q

在线段BC上移动，且，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

因为，，，，

所以，不妨设，，

则，

所以当时，取得最小值，故选D．

7．某人在C点测得某塔在南偏西，塔顶仰角为，此人沿南偏东方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）

A．10米 B．12米 C．15米 D．20米

【答案】A

【解析】由题意作出图形，如下图所示，

设塔高为，

在中，，则，

在中，，则，

在中，，，

由余弦定理得，

即，

整理得，解得或（舍去），

故选A．

8．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】由三角形的面积公式知，即，

由正弦定理知，

所以，即，

即，即，

利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得，

又，则，，且，

由正弦函数的性质可知，满足的有2个，

即满足条件的的个数为2，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】AD

【解析】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，

所以，，，，故选AD．

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，

若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】ABC

【解析】由，及，得．

若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，

即或，解得或，

故选ABC．

11．中，，，，为线段上的点，，则（    ）

A．  B．时，

C．若，则 D．

【答案】AC

【解析】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得，

A对；

对于B选项，当时，，

此时，B错；

对于C选项，若，则

，解得，C对；

对于D选项，，D错，

故选AC．

12．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若是锐角三角形，则

B．若，则是等腰三角形

C．若，则是等腰三角形

D．若是等边三角形，则

【答案】ACD

【解析】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；

对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，

因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；

对于D，由是等边三角形，所以，所以，

由正弦定理，故D正确，

故选ACD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．己知向量，，若，则的值为___________．

【答案】

【解析】由题得，，

所以，，所以，

所以，故答案为．

14．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，若A，B，C三点共线，则在方向上的投影是___________．

【答案】2

【解析】由题意可得，

OA绕原点逆时针旋转，得到，

所以，

由A，B，C三点共线，可得，，

故在方向上的投影为，

故答案为2．

15．在中，，，分别是内角，，的对边，若，，，则的周长为_________．

【答案】

【解析】由余弦定理可得，

所以的周长为，

故答案为．

16．已知向量，满足，则的最小值是________，最大值是__________．

【答案】4，

【解析】设向量的夹角为，则，

，

则：，

令，则，

据此可得：，

即的最小值是4，最大值是，

故答案为4，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知向量，，在下列条件下分别求k的值：

（1）与平行；

（2）与的夹角为．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，，所以，，

又与平行，所以，解得．

（2）因为，，

所以，

因为与夹角为，所以，

即，解得．

18．（12分）已知在中，，，．

（1）求；

（2）求的面积S．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，所以，

所以．

（2）由（1）知，，所以，

在中利用正弦定理可得：，得，，

所以．

19．（12分）是平面直角坐标系的原点，，，记，，．

（1）求与向量共线反向的单位向量；

（2）若四边形OABC为平行四边形，求点的坐标；

（3）若，且，求实数的值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）由题可知，

设，∴，解得，

∴．

（2）设，

∵四边形OABC为平行四边形，∴OB与AC的中点重合，则，

解得，

∴点的坐标为．

（3）∵，∴，

又，∴，

又，，

∴，

∴，解得．

20．（12分）的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知．

（1）求角C的大小；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

由正弦定理得，

，

，

，

因为，所以，，，

因为，所以．

（2）∵，，

由余弦定理得，

又，．

21．（12分）如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为．

（1）用向量，表示；

（2）用向量，表示，并求出和的值．

【答案】（1）；（2），7，6．

【解析】（1）根据题意，因为，所以，

所以，

为的中点，，，所以，．

（2）因为，，三点共线，设，所以，

即，

，，三点共线，设，

由（1）可知，即，

，不共线，由平面向量基本定理，所以，

所以，，所以，，

则的值为7，的值为6．

22．（12分）的内角的对边分别为，已知．

（1）求角的大小；

（2）若点为的中点，且，求边的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，

所以，

所以，

因为，所以，

由，得．

（2）因为，所以，

，即①

因为，所以，

，即②

将①式代入②式，得，

又由①式可知，

所以，当且仅当时等号成立．

所以，即，

所以边的最大值为，此时．