第06章 重点突破训练：实数的性质及应用-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（人教版）

第六章 重点突破训练：实数的性质及应用

典例体系（本专题41题25页）

考点1：实数常规计算

典例：（2020·邯郸市复兴区户村中学初一期末）计算：

（1）

（2）

方法或规律点拨

本题考核知识点：实数运算.解题关键点：熟记实数运算法则.

巩固练习

1．（2020·广东阳东初一期末）计算：．

2．（2020·辽宁西丰初一期末）计算：（1）

（2）

3．（2020·莆田第二十五中学初一期末）计算：．

4．（2020·宁夏盐池初一期末）计算：

5．（2020·辽宁兴城初二期末）计算：

6．（2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一期中）计算：

考点2：自定义新运算

典例：（2019·贵州安顺初一期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：

（a，b）★（c，d）=bc－ad．

例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．

根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=_______；

（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x=_______；

（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．

方法或规律点拨

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.

巩固练习

1．（2020·金昌市金川总校第五中学初一期末）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：

（1）求4△3的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值．

2．（2020·河北邢台三中初一期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax＋2by－1，（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T（1，－1）＝－2，T（－3，2）＝4．

（1）求a，b的值；

（2）利用（1）的结果化简求值：（a－4b）（4a－3b）－（2a＋b）（2a－b）

3．（2020·江苏锡山初一期末）定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．

（1）填空：（-3） （-2）=　　   ；

（2）若则x的取值范围为　　；

（3）已知，求x的取值范围； 

（4）利用以上新运算化简：．

4．（2020·江苏省泰兴市济川中学初二期末）定义新运算：对于任意实数，、，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：

（1）求，求的值；

（2）若的值小于10，请判断方程：的根的情况．

考点3：实数与数轴

典例：（2020·江苏镇江中考真题）（算一算）

如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　 　，AC长等于　 　；

（找一找）

如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点　  是这个数轴的原点；

（画一画）

如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（用一用）

学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？

爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．

①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；

②写出a、m的数量关系：　 　．

方法或规律点拨

本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．

巩固练习

1．（2020·广西防城港初一期中）我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：

(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)

(2)这个图形的目的是为了说明什么?

(3)这种研究和解决问题的方式体现了     的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)

A．数形结合     B．代入    C．换元     D．归纳

2．（2020·武汉七一华源中学初一月考）如图，点 A 表示，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右直爬 2.5 个单位到达点 B，设点 B 所表示的数为 m，且 n+2.5 的平方根是 0．

(1) 求 m、n 的值；

(2) 求 ? − 4 − ? − 1 +的 值．

3．（2020·四川三台初二期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简.

4．（2019·浙江永康初一期末）如图，点是数轴上的两点，为原点，点表示的数是1，点在点的左侧，．

（1）求点表示的数；

（2）数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若点到，两点的距离的和是15，求的值；

（3）动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

5．（2020·湖北茅箭初二期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式-+|1-b|．

6．（2019·湖北房县初一期末）数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a－3|+（b－4）2=0．

（1）请直接写出a=　　　　，b=　　　；

（2）如图1，若点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t的值；

（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．

7．（2019·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）如图①,在直角三角形中， ,则有,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”．

请利用上面的“勾股定理”，解决下面的问题:

如图②，在三角形中,,求的长；

如图③，线段垂直于数轴, ,请在数轴上找出表示的点．

8．（2020·浙江东阳初一期末）教材中的探究：如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．

（1）图2中A、B两点表示的数分别为　   　，　   　；

（2）请你参照上面的方法，把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成一个正方形．

①在图3中画出裁剪线，并在图4位置画出所拼正方形的示意图．

②在数轴上分别标出表示数以及﹣3的点，（图中标出必要线段长）

考点4：实数运算与规律探究

典例：．（2020·山西交城初二期中）观察下列式子变形过程，完成下列任务：

（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；

（2）算：.

方法或规律点拨

本题考查算术平方根，根据题目给出的规律得出算术平方根的运算结果是解题的关键，运用了类比的思想方法．

巩固练习

1．（2020·吉林长岭初二期末）观察下列各式：①，②；③，…

（1）请观察规律，并写出第④个等式：　   　；

（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　   　；

（3）请证明（2）中的结论．

2．（2020·山东招远初三期中）阅读下列材料，并解答问题：

①；

②；

③；

④；……

(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；

(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；

(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．

3．（2020·河北泊头初二期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，1＜＜2，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：

（1）的整数部分是　        　，小数部分是　        　．

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．

（3）已知：90+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根．

4．（2020·沭阳县修远中学初二月考）观察下列等式：

回答下列问题：

（1）化简：               （无需化为最简二次根式）

（2）化简：               （为正整数）

（3）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：

5．（2020·云南西山初三学业考试）观察下列等式：

第个等式：

第个等式：

第个等式：

第个等式：

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第个等式：_                ；

（2）计算：．

6．（2020·全国初一课时练习）阅读下面的解答过程．

计算：．

解：因为，

所以原式

．

根据以上解题方法计算：

（1）________（n为正整数）；

（2）．

（3）．

7．（2020·湖南茶陵初二期末）观察下列各式及其验证过程：

按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；

针对上述各式反应的规律，写出用为任意自然数，且表示的等式，并说明它成立．

考点5：实数的实际应用问题

典例：（2020·河南巩义初一期末）有一块正方形钢板，面积为16平方米．

（1）求正方形钢板的边长．

（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由．（参考数据：，）．

方法或规律点拨

本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键.

巩固练习

1．（2020·重庆綦江初二月考）（1）已知x=，求代数式x2+5x-6的值．

（2）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．

2．（2020·山西兴县初二期中）为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：

有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．

（1）求剩余木料的面积？

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．

3．（2019·重庆北碚西南大学附中初二月考）“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：

①先画一个矩形，把它分成p×q个方格（p，q分别为两乘数的位数）在方格上边、右边分别写下两个因数；

②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；

③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满十时向前进一；

④最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．比如：

（1）图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子，则z＝　   　，x9×784＝　   　

（2）图2是用“铺地锦”计算ab×cd的格子，已知ab×cd＝2176，求m和n的值．

考点6：多项式化简求值

典例：（2020·广东中考真题）先化简，再求值：，其中，．

方法或规律点拨

本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．

巩固练习

1．（2020·新疆中考真题）先化简，再求值：，其中．

2．（2020·吉林高新技术产业开发区初三一模）先化简，再求值：，其中＝－3，＝．

3．（2020·右玉县二中初二期中）已知，求x2+y2+2xy﹣2x﹣2y的值．

4．（2020·吉林二道初三一模）先化简，再求值：其中．

5．（2020·鄱阳县第二中学初二月考）利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．

例如：时，移项，两边平方得，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。仿照上述方法完成下面的题目，已知，

求：（1）a2+a的值；

（2）a3-2a+2020的值．