全国通用中考数学第二轮总复习课件专题1.5 最值问题-隐圆模型之四点共圆

这是一份全国通用中考数学第二轮总复习课件专题1.5 最值问题-隐圆模型之四点共圆，共22页。PPT课件主要包含了隐圆模型，定点定长型，直角对直径，定边对定角，定角夹定高，四点共圆型，“米勒”问题，“瓜豆”问题，对角互补型四点共圆，同侧等角型四点共圆等内容，欢迎下载使用。

纵观近几年中考数学,有一些高频考题，如线段最值问题，动点路程问题，除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外,常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质。在这些题目的图形中往往没有出现“圆”，但在解题时却要用到“圆”的知识点，我们把这种类型的题目称之为“隐圆模型” 牢记口诀：定点定长圆周走，定线定角双弧跑。 三点必有外接圆，对角互补也共圆。
常见的“隐圆”模型思维导图
模型解读---四点共圆的基本图形
1.对角互补型：若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,则A、B、C、D四点共圆.
【简答】∵AC=AF,AB=AE且∠BAE=∠CAF∴△AEB∽△AFC,∴∠ABE=∠ACF,∴A、B、C、M四点共圆,∵∠ABC=90º,∴AC是直径,∴∠AMC=90º,∵AE=AC,∴AM垂直且平分CF(三线合一).
典型例题---对角互补型四点共圆
【例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
1.如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,则AB-AD=( ) A. B. C.a D.
当堂训练---对角互补型四点共圆
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.求证：∠AEF=∠C.
利用AEDF四点共圆证明∠1=∠2∵∠2+∠3=90º，∠B+∠3=90º.∴∠1=∠B又∵∠BAC=∠BAC∴∠AEF=∠C
3.如图,在正方形ABCD中,O为AC、BD的交点,△DCE为直角三角形,∠CED=90º,∠DCE=30º,若OE= ,则正方形ABCD的面积为_____.
4.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90º,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58º,则∠EBD的度数为____度．
拓展提高---对角互补型四点共圆
1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。
【简答】∠PEF=∠PDF=∠DCE=90º,知D,F,C,D,P共圆,如下图,由∠1=∠2,∠4=∠5,易得△APD∽△DCF,CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。
2.如图,等边△ABC中,AB=6,P为AB上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC, (1)求∠DPE的度数；(2)求DE的最小值.
【简答】∵∠PEC=∠PDC=90º,故四边形PDCE对角互补,故PDCE四点共圆,如图.∠EOD=2∠ECD=120º,要使得DE最小,则要使圆的半径最小,故直径PC最小,当CP⊥AB时,PC最短为 ,则可求出DE=4.5.
2.同侧等角型：若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆.
3.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( 　) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直
拓展提升---同侧等角型四点共圆
【例3】如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形，AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE相交于点P.(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；(2)连接AP,求证：∠APD=∠ABD.
典型例题---同侧等角型四点共圆
模型解读---手拉手(双子型)中的四点共圆
条件：△OCD∽△OAB结论：①△OAC∽△OBD②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.
【例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB=PD
【简答】由旋转的性质得∠CAE=∠BAD=α,AC=AE,AB=AD,∴∠CEA=∠ADB∴A,D,E,P四点共圆∴∠APD=∠AED=90º∴AP⊥BD∴PB=PD
1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。
模型解读---直径是圆中最长的弦
【例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?
【简答】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小,此时EF=CO=OA=OB=5(斜边上中线等于斜边一半)
典型例题---直径是圆中最长的弦