高中数学4.4* 数学归纳法综合训练题

这是一份高中数学4.4* 数学归纳法综合训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题4.4数学归纳法检测题（综合提升篇）  一、单选题1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ）A． B． C． D．2．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边增加了（    ）A． B． C． D．3．用数学归纳法证明某命题时，若当时，设，那么当时，可表示为（    ）A． B．C． D．4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上（    ）A．增加一项 B．增加2k+1项 C．增加2k项 D．增加2项5．已知数列中，，用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明（    ）A．能被4整除 B．能被4整除C．能被4整除 D．能被4整除6．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（    ）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k7．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．48．已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（    ）A． B．C． D． 二、多选题9．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（    ）A．当时，命题不成立B．当时，命题可能成立C．当时，命题不成立D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立10．对于不等式，某学生用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立②假设，时，不等式成立，即，则时，，∴当时；不等式成立．关于上述证明过程的说法正确的是（　　）A．证明过程全都正确B．当时的验证正确C．归纳假设正确D．从到的推理不正确11．已知，且，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．12．以下四个命题，其中满足“假设当（，）时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数  三、填空题13．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______．14．对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.15．用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．16．已知各项均为正数的数列，前项和，则通项______. 四、解答题17．在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？18．设正项数列满足，且______．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，并求解下列问题：（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*).（1）求x2，x3，x4的值；（2）归纳数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.20．数列的前n项和记为，已知．（1）求的值，猜想的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．21．已知函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*）（1）求f（n+1）﹣f（n）；（2）用数学归纳法证明f（n）＝（﹣1）n•n．22．已知函数的最大值不大于，且当时，．（1）求的值；（2）设，，，证明．
参考答案1．B【分析】根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.【详解】因为，故数学归纳法应验证的情况，即.故选：B.2．A【分析】把和时，不等式左边的式子写出，对比可得答案【详解】当时，左边，当时，左边所以不等式左边增加了，故选：A3．C【分析】根据和的表达式之间的关系进行求解即可.【详解】因为，，所以可以表示为，故选：C4．B【分析】数学归纳法证明时，当时左端应在的基础上加上的式子，可以分别使得，和代入等式，然后把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案．【详解】解：当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项增加的项数：．故选：B．5．C【分析】根据题意知时假设能被4整除，那么下一步验证时的情况即可.【详解】由假设能被4整除，可知这是当时的情况，则当时，应该证明能被4整除.故选:C6．C【分析】根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.【详解】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选：C.7．B【分析】分别令，计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出正确答案.【详解】当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立；即左边大于右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为，
故选：B．8．C【分析】根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.【详解】因为数列满足，， 若，则，不满足，故A错误；若，则，，，不满足，故D错误；又此时，不满足，故B错误；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；构造函数，，，所以，则在上显然恒成立，所以在上单调递增；因此在上单调递增，所以，猜想，对任意恒成立；下面用数学归纳法证明：（1）当时，，显然成立；（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；则时，，因为函数在上单调递增；所以，即成立；由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.故选：C.【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，涉及数学归纳法证明不等式，属于常考题型.9．AD【分析】利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.【详解】如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD10．BD【分析】写出正确的数学归纳法的证明过程，对比即可判断证明过程的正确性【详解】对于不等式①当时，代入上式可得：，不等式成立，故题干中当时的验证正确，所以选项B正确②假设，时，不等式成立，即，所以题干中时步骤错误，即归纳假设错误，所以选项A，C错误；当时，，由假设得：，所以即，∴当时；不等式成立．对比可得：题干中从到的推理不正确，选项D正确故选：BD11．BD【分析】根据可得，在结合，从而可计算出、、的值，猜想，再利用数学归纳法加以证明即可对选项逐一判断．【详解】由，得，又，得；；，所以选项错误．猜想，证明：当时，，等式成立，假设当时，成立，则当时，有，即当时等式也成立，所以选项正确．由题意知，所以选项错误；由，所以选项正确．故选：．12．BC【分析】按照数学归纳法的解题步骤逐一分析即可得结果.【详解】对于命题入，，当时有，故当n等于给定的初始值时命题成立，故不满足条件；对于命题B，，假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足条件；对于命题C，凸n边形的内角和为，假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为，命题不成立，故满足条件；对于命题D，凸n边形的对角线条数，假设当时命题成立，即，当时有，故不满足条件．故选：BC.13．【分析】将代入左边的式子即可求解.【详解】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为：14．5【分析】当n＝1时，求出a＝3或5，再由当a＝3且n＝2时，不能被14整除，即可得出答案.【详解】当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.故答案为：515．【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解】假设时成立，即成立，当时，，故只需证明“”成立即可．故答案为：.16．【分析】通过计算出数列前几项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可．【详解】，，解得： 或 (舍)，，即，整理得：，解得：或 (舍)， ，即，整理得：，解得：或 (舍)，猜想： .下面用数学归纳法来证明：①当n=1时，命题显然成立；②假设当n=k(k⩾2)时,有，则整理得：，解得：或 (舍)，即当n=k+1时，命题也成立；由①、②可知数列的通项公式.故答案为：.【点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式，考查了归纳推理的应用，同时考查了利用数学归纳法证明，属于中档题.17．；【分析】观察首项，末项，中间的变化规律，并写出当和时的式子，对比得到左边增加的部分，右边增加的部分.【详解】时，左边为，时，变为，故由到的变化过程中，左边增加的都分是；时，右边为，时，变为，右边增加的部分是.故答案为：；.【点睛】本题考查了数学归纳法中由到时式子的变化规律，观察首项，末项，中间的变化规律,并分别写出和时的式子是解题的关键.18．答案不唯一，具体见解析【分析】若选①，（1）由已知条件可得，，，可得，（2）用数学归纳法证明，当时，利用可求出即可，若选②，（1）由已知条件求出，从而可猜想得，（2）利用数学归纳法证明时，当时，利用求出即可，【详解】若选①，（1）由，，可得，，，猜想．（2）下面用数学归纳法证明．当时，，猜想成立；假设当时，猜想成立，即；则当时，，即当时，猜想也成立，所以数列的通项公式为．若选②，（1）由，可得，因为是正项数列，所以，由，解得，由，解得，猜想．（2）下面用数学归纳法证明．当时，，猜想成立；假设当时猜想成立，即；则当时，由，可得，因为是正项数列，所以，得到，所以，即当时，猜想也成立，所以数列的通项公式为．19．（1）x2＝，x3＝，x4＝；（2）xn＝，证明见解析.【分析】（1）由f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)可依次求出x2，x3，x4的值；（2）由x1，x2，x3，x4的值可归纳出xn＝，然后利用数学归纳法证明即可【详解】（1）x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，x4＝f(x3)＝＝.（2）根据计算结果，可以归纳出xn＝.证明：①当n＝1时，x1＝＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立.②假设当n＝k(k∈N*)时，公式成立，即xk＝，那么，xk＋1＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，公式也成立.由①②知，当n∈N*时，xn＝.20．（1），，，；（2）证明见解析.【分析】（1）根据，求出 ，从而可求出，，，，观察规律，可猜测；（2）首先验证当时，，等式成立，然后假设当时，等式成立，即，只需证明当时，即可.【详解】（1）∵，∴，，．∴猜想．（2）①当时，，猜想成立．②假设当时，猜想成立，即，∴当时，，∴当时猜想成立．由①②得，得证．21．（1）；（2）详见解析.【分析】（1）由函数f（n）得到f（n+1）求解； （2）利用数学归纳法证明.【详解】（1）因为函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*），所以函数f（n+1）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1）+（n∈N*），所以f（n+1）﹣f（n）=，（2）当时，左边=，右边=-1，等式成立；假设时，结论成立，即成立，则时，，，，所以时，结论也成立，f（n）＝（﹣1）n•n．得证.22．（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）利用二次函数的性质，可得，解得，转化当时，为，结合的范围可得，求解即可.（2）利用数学归纳法，按照步骤证明即可.【详解】（1）由题意，知，又，所以，所以，即．又函数图象的对称轴为，且，所以当时，，所以，解得，所以．（2）用数学归纳法证明：①当时，，显然原不等式成立．因为当时，，所以．故当时，原不等式也成立．②假设当（，）时，不等式成立．由（1）知，其图象的对称轴为直线，所以当时，为增函数．所以由，得．于是，，所以当时，原不等式也成立．根据①②，知对任何，不等式成立．