2020-2021学年第一章 空间几何体综合与测试单元测试巩固练习

第一章 空间几何体 B卷

【满分：100分】

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知球O是正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点E在线段BD上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是(   )

A. B. C. D.

2.圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（    ）

A.           B.         C.        D.

3.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为(   )

A.         B.         C.          D.

4.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

5.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为(   )

A.  B.  C.  D.

6.在三棱锥中，平面平面，，，，的面积为，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A. B. C. D.

7.如图，已知多面体的底面为正三角形，四边形为矩形，棱与底面垂直，，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则的边长是（    ）

A. B.2 C. D.1

8.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

9.在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

10.某三棱锥的三视图如图，是三个边长为2的正方形，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________.

12.在三棱锥中，，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是___________.

13.已知四边长均为的空间四边形的顶点都在同一个球面上，若，平面平面，则该球的体积为___________.

14.在四面体中，，，则四面体的外接球的体积为______ ．

15.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的__________倍．

三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （10分）已知某几何体的正视图、侧视图都是等腰三角形,俯视图是矩形,尺寸如图所示.

1.说明该几何体的结构特征;

2.求该几何体的体积;

3.求该几何体的全面积.

17. （15分）如图是一个几何体的主视图和俯视图.

1.画出该几何体的左视图,并判断该几何体的形状;
2.求出该几何体的表面积.

答案以及解析

1.答案：A

解析：如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径，

由勾股定理得棱锥的高，

设球O的半径为R，则，

解得，所以，

在中，由余弦定理得，

所以，所以在中，，

当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.

故选：A.

2.答案：D

解析：如同，设圆锥的轴截面为，底面圆心为，则由题可得为等腰直角三角形，则，则，所以，即底面半径，所以该圆锥的侧面积为.

3.答案：D

解析：根据三视图知，该几何体是棱长为 4 的正 方体，截去一个 圆柱体，如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的表面积为

故选 : D.

4.答案：A

解析：由题意得，这个球可看成长宽高分别为1，，3的长方体的外切球．

所以半径，所以.

故选：A

5.答案：C

解析：解：因为三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为，，，，所以球的半径为：.故选C.

6.答案：C

解析：取AC的中点O，则O为的外心，过P作于D，连接OD，在中，，，，所以，所以，，因为平面平面ABC，平面平面，，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，因为的面积为，，，所以，得，所以，在中由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以O为三棱锥的外接球的球心，且球的半径为，所以三棱锥的外接球体积为，故选：C

7.答案：B

解析：解：如图：设等边三角形ABC边长为a，取BC中点O，DE中点F，连接AO、OF、AF，

则为该多面体侧视图，为俯视图，根据题意得可得：，解得.

8.答案：D

解析：如图，是等腰直角三角形，为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，，解得.连接OC，设外接球的半径为R，则，，在中，，由勾股定理得，解得.三棱锥的外接球的体积，故选D.

9.答案：C

解析：由已知，边长满足勾股定理，则，，面ABD.设三棱锥外接球的球心为O，外心为G，则面ABD，，在中，，，设的外接圆半径为r，则，，故三棱锥外接球表面积为.故选C.

10.答案：C

解析：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为正四面体ABCD，棱长为，把正四面体放置在棱长为2的正方体中，

可知正方体的外接球即为该三棱锥的外接球，外接球的半径.

该三棱锥的外接球的体积为.故选：C.

11.答案：.

解析：由题意知当时BM最小，因为M为PD的中点，故而为PD的中点，即，，设外接球的半径为r，则．解得.故外接球的表面积为.

12.答案：

解析：因为，所以，由余弦定理得，又，所以，所以.

如图，当平面时，三棱锥的体积最大.

把三棱锥放在长方体中，其外接球的半径，

所以该三棱锥外接球的体积.

13.答案：

解析：中，，，故和为等边三角形，

取中点为，连接，，则，平面平面，

故平面，，

易知球心在平面的投影为外心在上，作于，

连接，，设的外接圆半径为，则，

设球半径为，则，

，解得，故.

故答案为：.

14.答案：

解析：设的中点为O，连接，如图，
 

∵在四面体中，，，，，
即与均为直角三角形，
故，
即O为外接球球心，；

∴四面体的外接球的表面积为．
故答案为：．

15.答案：

解析：设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球半径为R，
则；

由母线长为，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的侧面积为，
即，
化简得，
所以，
求得圆柱的高与底面半径的比为．
故答案为：．
 

16.答案：1.几何特征:①底面为矩形;②顶点在底面的射影是矩形的中心;③是一个四棱锥.
2.体积
3.如图,该四棱锥有两个侧面,是全等的等腰三角形,且边上的高为,

令两个侧面,也是全等的等腰三角形,边上的高为,

因此,全面积.

17.答案：1.左视图如图所示:

可判断该几何体是一个正六棱锥.
2.正六棱锥的侧棱长是,底面边长是.

它是由六个腰长是,底面边长是的等腰三角形与一个底面边长是的正六边形组成.

∴

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