2022版新教材高中数学第二章平面解析几何章末总结学案新人教B版选择性必修第一册

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第二章 平面解析几何章末总结体系构建题型整合题型1 直线的方程例1 已知直线l过点M(2,1) ,且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B（O为坐标原点）.（1）当△ABO的面积为4时,求直线l的一般式方程;（2）当|MA|⋅|MB|取最小值时,求直线l的一般式方程.答案：（1）由题意,设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0) ,则S△ABO=12ab=4则ab=8,因为直线l过点M（2,1）,所以2a+1b=1 ,所以a=4,b=2 ,所以直线l的方程为x4+y2=1 ,即x+2y-4=0 .（2）设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k≠0) ,则A（-1k+2 ,0),B(0,-2k+1),所以|MA|=1k2+1,|MB|=4+4k2,所以|MA|⋅|MB|=1k2+1⋅4+4k2=22+1k2+k2≥22+21k2.k2=4 ,当且仅当k2=1时,等号成立,所以当|MA|⋅|MB|取最小值时,k=-1（正值舍去）,此时直线方程为y-1=-x+2 ,即x+y-3=0 .方法归纳求直线方程时常用以下两种方法：（1）直接法：直接选取适当的直线方程的形式,写出结果．（2）待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程,再由直线满足的另一个条件求出待定系数,从而求得方程．迁移应用1.（2021山东青岛二中期末）已知定点A(3,1) .（1）若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;（2）若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.答案：（1）设与直线2x+y-5=0垂直的直线的方程为x-2y+a=0 ,把A(3,1)代入,得3-2+a=0 ,解得a=-1 ,所以直线l的方程为x-2y-1=0 .（2）当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3 ,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-3) ,即kx-y-3k+1=0 ,原点O(0,0)到直线l的距离d=|-3k+1|k2+1=3 ,解得k=-43 ,所以直线l的方程为y-1=-43(x-3) ,即4x+3y-15=0 .综上,直线l的方程为x=3或4x+3y-15=0 .题型2 直线与圆例2（2020山东烟台高二期中）已知圆C1:x2+y2+2x-4y-4=0 .（1）在以下两个问题中任选一个作答.①已知不过原点的直线l与圆C1相切,且直线在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程;②从圆外一点P(2,1)向圆引切线,求切线方程;（2）若圆C2:x2+y2=4与圆C1相交于D、E两点,求线段DE的长.解析：（1）圆C1的方程可变形为(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆心C1的坐标为(-1,2),半径为3.答案：（1）选择①：∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,∴直线l的斜率为-1.∴设直线l的方程y=-x+b ,又直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=9相切,∴|-1+2-b|2=3 ,整理得b=1±32 ,∴所求直线l的方程为y=-x+1+32或y=-x+1-32 .选择②：当过P的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2 ,此时圆C1到直线的距离为3,所以直线x=2是圆C的切线;当过P的直线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-2) ,即kx-y+1-2k=0 ,由|-k-2+1-2k|k2+1=3 ,得k=43 ,∴切线方程为43x-y+1-2×43=0 ,即4x-3y-5=0 .综上所述,切线方程为4x-3y-5=0或x=2 .（2）联立得得{x2+y2+2x-4y-4=0,x2+y2=4,得{x1=455,y1=255,{x2=-455,y2=-255,∴|DE|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(455+455)2+(255+255)2=4 .方法归纳（1）判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质简化解题过程.直线和圆相切时,可以利用圆与直线联立的方程组有一组实数解,或者利用圆心到直线的距离等于圆的半径求得参数,有时利用后面方法计算,运算量较小.（2）解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,充分利用几何图形的直观性来分析问题.迁移应用2.（2021北京昌平一中高二期中）已知圆C的圆心在x轴上,且经过点A(-1,0),B(1,2) .（1）求线段AB的垂直平分线的方程;（2）求圆C的标准方程;（3）已知直线l：y=kx+1与圆C相交于M、N两点,且|MN| =22 ,求直线l的方程.答案：（1）设AB的中点为D ,则D(0,1)．由圆的性质,得CD⊥AB ,所以KCD×KAB=-1所以kCD=-1 .所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-x+1 .（2）设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2,其中C(a,0),r为半径(r＞0) .由圆的性质,知圆心C(a,0)在直线CD上,所以圆心为C(1,0),r=|CA|=2 ,所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4．（3）设F为MN的中点,则线段CF⊥l ,|FM|=|FN|=2则圆心C到直线l的距离d=|CF|=4-(2)2=2 ,故d=|k×1+1|k2+1=2 ,解得k=1 ,所以直线l的方程为y=x+1．题型3 圆锥曲线的定义与方程例3 （1）（2020广东实验中学高二月考）已知椭圆x24+y2b2=1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值为( )A.1B.2 C.3 D.33（2）过双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点F作斜率为3的直线,恰好与圆x2+y2=a2相切,C的右顶点为A ,且|AF|=2+3 ,则双曲线C的标准方程为( )A.x2-y23=1 B.x23-y2=1C.x2-y24=1 D.x24-y2=1答案：（1）C（2）B解析：（1）因为0n>0 ,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0 ,则C是圆,其半径为nC.若mn<0 ,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnxD.若m=0 ,n>0 ,则C是两条直线答案：A; C ; D解析：对于A ,若m＞n＞0 ,则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1 ,因为m>n>0 ,所以1m<1n ,即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故选项A正确;对于B,若m=n＞0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n,此时曲线C表示圆心在原点,半径为nn的圆,故选项B不正确;对于C,若mn＜0,则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1,此时曲线C表示双曲线,由mx2+ny2=0可得y=±-mnx ,故选项C正确;对于D,若m=0,n＞0,则mx2+ny2=1可化为y2=1n,即y=±nn ,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故选项D正确,故选ACD.6.（2020课标Ⅰ理,15,5分）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .答案： 2解析：依题可得,|BF||AF|=3 ,而|BF|=b2a,|AF|=c-a,即b2ac-a=3,变形得c2-a2=3ac-3a2 ,化简可得,e2-3e+2=0,解得e=2或e=1（舍去）．