2022版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何加练课1空间向量的运算及其应用学案新人教B版选择性必修第一册

加练课1 空间向量的运算及其应用

自主检测·必备知识

见学用14页

一、概念辨析，判断正误

1.空间中任意两个非零向量，共面.(   √   )

2.若，，是空间的一组基底，则，，中至多有一个零向量.(   ×   )

3.若对于非零向量，有，则 .(   ×   )

二、夯实基础，自我检测

4.已知，满足，则 (      )

A.  B.  C.  D.

答案：B

解析：因为，所以，又，，

所以，，，

解得， .

5.已知，，且，则向量与的夹角为(      )

A.  B.  C.  D.

答案：

解析：$\because\ $，，$\therefore\ $

.又，$\therefore\ $与的夹角为，故选D.

6.已知，，且，则 .

答案：

解析：由题意知，$\therefore\ $，

.

7.在正方体中，点是的中点，且，则的值为 .

答案：

解析：在正方体中得，

因为，所以，，，所以 .

互动探究·关键能力

学用15页见

探究点一空间向量的线性运算

精讲精练

例在平行六面体中，设，，，分别是，的中点．

（1）用向量，，表示，；

（2）若，求实数，，的值．

答案：（1），

（2）所以 .

解题感悟

用基向量表示指定向量的步骤

（1）结合已知向量和所求向量观察图形．

（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．

（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．

迁移应用

1.如图所示，在长方体中，为的中点．用，，表示，则 .

答案：

，

2. （2020山东潍坊高二期中）在空间四边形中,若分别是的中点，是上一点，且，记，则 .

答案：

解析：如图，因为，分别是的中点，

所以，，

所以 .

探究点二空间向量的数量积及其应用

精讲精练

类型1 数量积的运算

例1 （1）已知在三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点.若点、是空间中的两动点，且，，则 (      )

A.3B.4C.6D.8

（2）已知三点，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是 .

答案：（1）

（2）

解析：（1）建立空间直角坐标系如图所示，

因为，底面为等边三角形，且，所以， .则，，，点为的中点，所以 .点为的中点，所以 ,设，因为，所以，化简得，所以点在以(0,0,0)为球心，1为半径的球上，同理也在这个球上，且，所以为球的直径， .

（2）由点在直线上可得存在实数λ使得，则有，

所以，，

所以根据二次函数的性质可得当=时，取得最小值，此时Q点的坐标为.

类型2 数量积的应用

例2 （1）已知向量，，且与垂直，则的值是(      )

A. B.  C. D.

（2）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值为(      )

A. B.

C.    D.1

答案：（1）（2）

解析：（1）向量，，，，与垂直,

，解得 .

（2）以为原点,，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）,依题意有，，，设，则，，因为，所以，解得 .根据正方体的性质可知,，故三角形为直角三角形,而，故，三角形的面积为

，当时,面积取得最小值,为,故选A.

解题感悟

数量积的计算有两种形式,一是利用数量积的定义,注意准确地确定两个向量的夹角；二是数量积的坐标运算,在几何图形中建立恰当的空间直角坐标系后,可把数量积的运算坐标化,使垂直、平行、夹角等问题更易求解.

迁移应用

1.若向量，，且与夹角的余弦值为 ,则等于(      )

A.-2B.

C.-2或 D.2

答案：

解析：由题意可知，，，

，解得（舍去）

2.已知，，，，，，则 .

答案：

解析：由，得，所以

所以 ,即，所以 .

探究点三空间向量的应用

精讲精练

例如图所示,已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点分别是的中点.

（1）求证：；

（2）求；

（3）求向量与的夹角的余弦值.

答案：设，， .

由题意可知,，且两两夹角均为 .

（1）证明：，

.

（2）由（1）可知，

.

.

（3）设向量与的夹角为 .

，，

又，

.

向量与的夹角的余弦值为 .

解题感悟

利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度的问题.

迁移应用

1.在棱长为的正方体中，分别是棱上的点，且 .求证： .

答案：证明以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，因为，所以 .

因为正方体的棱长为，

所以，，，，

所以，

所以，

所以 .

评价检测·素养提升

见学用16页

课堂检测

1.向量，，若且，则的值为(      )

A.-1B.1

C.-4D.4

答案：

2.在空间直角坐标系中，已知，，，，则与 (      )

A.垂直B.平行

C.异面D.不能判断

答案：

3.如图，在空间四边形中， (     )

A.-1B.1

C.0D.不确定

答案：

素养演练

逻辑推理——应用空间向量解决共面问题

1.已知三点不共线，对平面外的任意一点，若点满足 .

（1）判断三个向量是否共面；

（2）判断点是否在平面内.

解析：审：已知点满足，判断三个向量是否共面及点是否在平面内.

联：利用空间向量的运算消去，利用共面向量定理判定三个向量是否共面，进而判定点是否在平面内.

答案：解：（1）共面.理由：由已知得，

.

即 ①，

∴共面.

（2）点在平面内.理由：由（1）知共面且②过同一点.

四点共面，从而点在平面内.

解析：思：证明空间四点共面的方法：

①；②对空间任一点，；③（或或）.