北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理教学演示课件ppt

4.2　平面向量及运算的坐标表示

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　)

A.-2,1 B.1,-2

C.2,-1 D.-1,2

2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(　　)

A.c=3a-2b 

B.c=-3a+2b

C.c=-2a+3b

D.c=2a-3b

3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是(　　)

A. B. 

C. D.

4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 (　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

5.已知点A(1,2),B(3,x),向量a=(2-x,-1),∥a,则(　　)

A.x=3时与a方向相同

B.x=与a方向相同

C.x=3时与a方向相反

D.x=-与a方向相反

6.已知点A(0,1),B(2,5),C(x,-3),则向量的坐标是　　　　;若A,B,C三共点线,则实数x=　　　　. 

7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　. 

能力提升练

1.若{i,j}为正交基,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于(　　)

A.第一、二象限 B.第二、三象限

C.第三象限 D.第四象限

2.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q等于(　　)

A.(-2,1) B.(2,1)

C.(2,-1) D.(-2,-1)

3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(　　)

A.(1,-1) B.(-1,1)

C.(-4,6) D.(4,-6)

4.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,0)∪(0,+∞)

B.(-∞,3)

C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)

D.[-3,3)

5.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m=n,m,n∈R,则的值为　　　　　. 

6.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.

素养培优练

　已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.

(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;

(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;

(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.

 4.2　平面向量及运算的坐标表示

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　)

A.-2,1 B.1,-2

C.2,-1 D.-1,2

解析因为c=λ1a+λ2b,

所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).

所以解得λ1=-1,λ2=2.

答案D

2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(　　)

A.c=3a-2b

B.c=-3a+2b

C.c=-2a+3b

D.c=2a-3b

解析如图建立直角坐标系,设正方形网格的边长为1,

则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),

设向量c=ma+nb,则解得

所以c=3a-2b.

答案A

3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是(　　)

A. B. 

C. D.

解析易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A.

答案A

4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 (　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

解析设a=k1e1+k2e2,

A选项,因为(3,2)=(k2,2k2),所以无解.

B选项,因为(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),

所以解得

故B中的e1,e2可把a表示出来.

同理,C,D选项同A选项,无解.

答案B

5.已知点A(1,2),B(3,x),向量a=(2-x,-1),∥a,则(　　)

A.x=3时与a方向相同

B.x=与a方向相同

C.x=3时与a方向相反

D.x=-与a方向相反

解析A(1,2),B(3,x),可得=(2,x-2),

又a=(2-x,-1),∥a,

可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2±,

当x=2+时,=(2,)与a=(-,-1)方向相反,当x=2-时,=(2,-)与a=(,-1)方向相同.

答案BD

6.已知点A(0,1),B(2,5),C(x,-3),则向量的坐标是　　　　;若A,B,C三共点线,则实数x=　　　　. 

解析因为A(0,1),B(2,5),

所以=(2-0,5-1)=(2,4);

向量=(x-0,-3-1)=(x,-4),

因为A,B,C三点共线,所以,

所以2×(-4)-4x=0,解得x=-2.

答案(2,4)　-2

7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　. 

解析因为A,B,C三点共线,所以共线,所以存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),所以解得λ=,a+.

答案

能力提升练

1.若{i,j}为正交基,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于(　　)

A.第一、二象限 B.第二、三象限

C.第三象限 D.第四象限

解析x2+x+1=x+2+>0,

x2-x+1=x-2+>0,

所以向量a对应的坐标位于第四象限.

答案D

2.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q等于(　　)

A.(-2,1) B.(2,1)

C.(2,-1) D.(-2,-1)

解析设q=(x,y),由题设中运算法则,得

p?q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),

即解得故q=(-2,1).

答案A

3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(　　)

A.(1,-1) B.(-1,1)

C.(-4,6) D.(4,-6)

解析因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).

答案D

4.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,0)∪(0,+∞)

B.(-∞,3)

C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)

D.[-3,3)

解析因为平面上任意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面向量的一组基,即a,b为不共线的非零向量,则3m≠2m-3,即m≠-3,故选C.

答案C

5.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m=n,m,n∈R,则的值为　　　　　. 

解析设=a,=b,由题意知)=(a+b),=nb-ma,a+b,由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ,得=3.

答案3

6.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.

解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t),

则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),

=(2,6)-(4,0)=(-2,6).

由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,

解得t=,所以=(4t,4t)=(3,3),

所以点P的坐标为(3,3).

(方法二)设P(x,y),则=(x,y),

因为共线,=(4,4),所以4x-4y=0. ①

又=(x-2,y-6),

=(2,-6),且向量共线,

所以-6(x-2)+2(6-y)=0. ②

解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,

所以点P的坐标为(3,3).

素养培优练

　已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.

(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;

(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;

(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.

(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).

则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),

又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),

所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),

所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).

(2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).

(3)解设向量c=(x3,y3),则

解得所以c=(1,3).