高中数学第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.4 积化和差与和差化积公式课文内容课件ppt

2.4　积化和差与和差化积公式

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,则tan=　　. 

解析因为cos α-cos β=,

所以-2sinsin,

因为sin α-sin β=-,

所以2cossin=-,

因为sin≠0,cos≠0,

所以-tan=-,

即tan.

答案

2.把tan x-tan y化为积的形式为(　　)

A. B.

C. D.

解析tan x-tan y=

=

=

=.

答案C

3.cos 20°-cos 50°=(　　)

A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15°

C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35°

解析cos 20°-cos 50°=-2sinsin

=-2sin 35°sin(-15°)=2sin 15°sin 35°.

答案C

4.sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=(　　)

A.-1 B.2 C. D.

解析原式=-[cos(20°+20°)-cos(20°-20°)]+[cos(50°+50°)+cos(50°-50°)]+(sin 70°-sin 30°)

=(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+(sin 70°-sin 30°)

=1-cos 40°+cos 100°+sin 70°-sin 30°

=sin 70°+(cos 100°-cos 40°)

=sin 70°-sinsin

=sin 70°-sin 30°sin 70°=.

答案D

5.cos(x+2 020)-cos(x-2 020)=　　　. 

解析原式

=-2sinsin

=-2sin xsin 2 020.

答案-2sin xsin 2 020

6.cos 37.5°cos 22.5°=　　　. 

解析cos 37.5°cos 22.5°=(cos 60°+cos 15°)

=cos 15°=.

答案

7.cos 15°cos 60°cos 75°=　　　. 

解析原式=cos 15°cos 75°

=[cos 90°+cos(-60°)]=.

答案

8.求值:sin 42°-cos 12°+sin 54°.

解原式=sin 42°-sin 78°+sin 54°

=-2cos 60°sin 18°+sin 54°=sin 54°-sin 18°

=2cos 36°sin 18°=

=

=

=.

9.求证:·tan 25°=.

证明左边=

=

=

=

=

=

==右边.

所以原等式成立.

能力提升练

1.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则等于 (　　)

A.-m B.m

C.-4m D.4m

解析sin(α+β)=sin(β-α)==m.

答案B

2.在△ABC中,若sin Asin B=(1+cos C),则△ABC是(　　)

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.不等边三角形 D.直角三角形

解析由已知得sin Asin B=-[cos(A+B)-cos(A-B)]=(1+cos C).

又A+B=π-C,

所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C.

所以cos(A-B)=1.

又-π<A-B<π,所以A-B=0.

所以A=B,故△ABC为等腰三角形.

答案B

3.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= (　　)

A.2cos 3cosx-

B.2sin 3cosx-

C.-2sin 3sinx+

D.-2sin 3sinx-

解析原式=-2sinsin+2cossin=-2sin xsin 3+2cos xsin 3=-2sin 3(sin x-cos x)=-2sin 3sinx-.

答案D

4.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则tan=　　　;α-β=　　　　　. 

解析由已知得2sincos·-2sinsin,因为0<<π,-,所以sin>0.所以tan.所以.

所以α-β=.

答案

5.=　　　. 

解析

=

=.

答案

6.计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.

解sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=

=[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]-[cos(10°+50°)-cos(10°-50°)]

=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)

=sin 50°-cos 40°

=sin 50°-sin 50°=.

7.已知向量a=(sin B,1-cos B)与向量b=(2,0)的夹角为,其中A,B,C是△ABC的内角.

(1)求B的大小;

(2)求sin A+sin C的取值范围.

解(1)由题意,

得|a|=,

|b|=2,a·b=2sin B.

由夹角公式,得cos,

整理得2sin2B+cos B-1=0,

即2cos2B-cos B-1=0.

所以cos B=1(舍去)或cos B=-.

又因为0<B<π,所以B=.

(2)因为A+B+C=π,B=,所以A+C=.

所以-<A-C<.所以-.

所以sin A+sin C=2sincos

=2sincos=cos.

所以sin A+sin C的取值范围是,1.

素养培优练

1.2cos2x+sin2x-=(　　)

A.+cos 4x B.-sin 4x

C.+cos 4x D.+sin 4x

解析2cos2x+sin2x-

=sin2x++2x--sin2x+-2x-=sin 4x+sin+sin 4x.

答案D

2.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,=-,求cos的值.

解由题设条件知B=60°,A+C=120°,

所以=-2,

即cos A+cos C=-2cos Acos C,

则2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)],将cos=cos 60°=,cos(A+C)=cos 120°=-代入上式,得coscos(A-C),

因为cos(A-C)=cos

=coscos-sinsin

=cos2-sin2

=cos2-1-cos2

=2cos2-1,

代入上式并整理得4cos2+2cos-3=0,即2cos2cos+3=0.

因为2cos+3≠0,所以2cos=0.

所以cos.