数学必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课文课件ppt

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)

A.- B. C.- D.

解析sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.故选D.

答案D

2.若tan α=,tan β=,且α∈,β∈,则α+β的大小等于(　　)

A. B. C. D.

解析由已知得tan(α+β)==1.

又因为α∈,β∈,

所以α+β∈(π,2π),于是α+β=.

答案B

3.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α=(　　)

A. B. C. D.

解析tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.

答案D

4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值等于 (　　)

A.±1 B.1 C.-1 D.0

解析原式=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-cos [(θ+45°)-30°]

=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-

=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.

答案D

5.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　)

A.3α-β= B.3α+β=

C.2α-β= D.2α+β=

解析由tan α=,得,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin.

又α∈,β∈,

故α-β=-α,即2α-β=.

答案C

6.已知tan α=,则的值是(　　)

A.2 B. C.-1 D.-3

解析

=tan+α-=tan α=.

答案B

7.tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是　　　　　. 

解析因为tan 60°=,

所以tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°,

所以tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.

答案

8.已知α,β都是锐角,sin α=,cos(α+β)=,则cos α=　　　　;sin β=　　　　. 

解析因为α,β都是锐角,所以α+β∈(0,π),

又sin α=,cos(α+β)=,

所以cos α=,sin(α+β)=,

所以sin β=sin [(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=.

答案

9.化简求值:

(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);

(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);

(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.

解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.

(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)

=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.

(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°=cos(21°+24°)=cos 45°=.

能力提升练

1.已知α∈,π,tanα+=,则sin α+cos α= (　　)

A.- B.- C.- D.

解析因为tanα+=,

所以tan α=-,即sin α=-cos α,

由平方关系得+cos2α=1,

解得cos α=-,sin α=,

sin α+cos α==-.

答案C

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acos B=(c-b)cos A,则角A的大小为(　　)

A. B. C. D.

解析由正弦定理得sin Acos B=(sin C-sin B)cos A,即sin(A+B)=sin Ccos A,即sin C=sin Ccos A,即cos A=,故A=.

答案B

3.设α,β都为锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则sin β等于(　　)

A. B.

C. D.-

解析因为α为锐角,cos α=,所以sin α=.

因为α,β都为锐角,所以0<α+β<π.

因为sin(α+β)=,所以cos(α+β)=±.

当cos(α+β)=-时,sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=;

当cos(α+β)=时,sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

==-,

与已知β为锐角矛盾.所以sin β=.

答案B

4.化简:=　　　　　. 

解析原式=

==-1.

答案-1

5.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β=　　　,tan2α+tan2β的值为　　　　　. 

解析因为tan(α+β)=4,所以=4,

又tan α+tan β=2,所以tan αtan β=,

所以tan2α+tan2β=(tan α+tan β)2-2tan αtan β=22-2×=3.

答案　3

6.tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两个实数根,若α,β∈(0,π),则α+β=　　　　. 

解析因为tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两个实数根,所以

因此tan(α+β)==1;且tan α>0,tan β>0;

又α,β∈(0,π),所以α,β∈0,,即α+β∈(0,π),

因此α+β=.

答案

7.已知cosx-=,x∈.

(1)求sin x的值;

(2)求sinx+的值.

解(1)sin x=sinx-=sinx-cos+cosx-sin,

=sinx-+cosx-=sinx-+,

因为x∈,所以x-∈,

所以sinx-=,

所以sin x=.

(2)因为sin x=,x∈,故cos x=-,

sinx+=sin xcos+cos xsin

=×-=.

素养培优练

1.定义运算a　b
c　d=ad-bc.若cos α=,sin α　sin β
cos α　cos β=,0<β<α<,则β=　　　　. 

解析依题设得,=sin α·cos β-cos α·sin β=sin(α-β)=.

因为0<β<α<,

所以cos(α-β)=.

又因为cos α=,

所以sin α=,所以sin β=sin[α-(α-β)]

=sin α·cos(α-β)-cos α·sin(α-β)

=,所以β=.

答案

2.是否存在锐角α,β,使得①α+2β=,②tantan β=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.

解假设存在锐角α,β使得①α+2β=,

②tantan β=2-同时成立.

由①得+β=,

所以tan+β=.

又tantan β=2-,

所以tan+tan β=3-,

因此tan,tan β可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,解得,x1=1,x2=2-.

若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾,

所以tan=2-,tan β=1,

所以α=,β=,

所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.