高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用教课ppt课件

2.3　三角函数的叠加及其应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.cos--sin-的值是(　　)

A. B.- C.0 D.

解析cos--sin-=cos+sinsin=sin.

答案A

2.函数f(x)=sin x-cosx+的值域为(　　)

A.[-2,2] B.[-]

C.[-1,1] D.-

解析f(x)=sin x-cosx+

=sin x-cos x+sin x=sin x-cos x

=sinx-,

所以函数f(x)的值域为[-].

答案B

3.已知f(x)=sinx+-cosx+,则f(1)+f(2)+…+f(2 020)的值为(　　)

A.2 B.

C.1 D.0

解析f(x)=sinx+-cosx+

=2sinx+-=2sinx,所以周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,

所以f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=.

答案B

4.已知向量a=sinα+,1,b=4,4cos α-,若a⊥b,则sinα+等于(　　)

A.- B.-

C. D.

解析因为a⊥b,所以a·b=4sinα++4cos α-=2sin α+6cos α-=4sinα+-=0,所以sinα+=,sinα+=-sinα+=-.

答案B

5.在△ABC中,A=15°,则sin A-cos(B+C)的值为 (　　)

A. B.

C. D.2

解析因为A+B+C=π,所以B+C=π-A.

所以sin A-cos(B+C)=sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)=.

答案C

6.(多选)关于函数f(x)=cos2x-+cos2x+,下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)的最大值是

B.函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数

C.函数f(x)在区间上单调递增

D.函数f(x)在区间上单调递减

解析因为f(x)=cos2x-+cos2x+

=cos2x-+cos2x-+

=cos2x--sin2x-

=cos2x--sin2x-

=cos2x-=cos2x-.

所以函数f(x)的最大值是,最小正周期为T==π,选项A,B正确;

由2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),得

kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),

所以函数f(x)在区间上单调递减,所以C错误,D正确.

答案ABD

7.化简:sincos=　. 

解析sincos

=

=×2

=

=sinsin.

答案sin

8.已知cosx-=-,则cos x+cosx-的值为　　　　. 

解析cos x+cosx-=cos x+cos x+sin x

=cos x+sin x=cos x+sin x

=cosx-=-1.

答案-1

9.已知函数f(x)=sinx++sinx-+acos x+b(a,b∈R,且均为常数),

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若f(x)在区间-,0上单调递增,且恰好能够取到f(x)的最小值2,试求a,b的值.

解(1)f(x)=sinx++sinx-+acos x+b=2sin xcos +acos x+b=sin x+acos x+b=sin(x+φ)+b.所以,函数f(x)的最小正周期为2π.

(2)由(1)可知:

f(x)的最小值为-+b.

所以,-+b=2.

另外,由f(x)在区间-,0上单调递增.

可知,f(x)在区间-,0上的最小值为f-.

所以,f-=-+b=2.

解得a=-1,b=4.

能力提升练

1.已知cosα-+sin α=,则sinα+的值是 (　　)

A.- B. C.- D.

解析因为cosα-+sin α=,

所以cos α+sin α=.

所以cos α+sin α=.

所以sin+α=.

所以sinα+=-sin+α=-.

答案C

2.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(x)的最小正周期为π,且f(-x)=-f(x),则f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)=-sin 2x B.f(x)=sin 2x

C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos 2x

解析由三角函数的叠加公式可得f(x)=sin2ωx+φ+,因为f(x)的最小正周期为π,所以2|ω|==2,因为ω>0,所以ω=1,则f(x)=sin2x+φ+.

又因为f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,

所以φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-.

又因为0<φ<π,则令k=1,所以φ=,

所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.

答案A

3.已知sin x+cos x=2a-3,则a的取值范围是(　　)

A.≤a≤ B.a≤

C.a> D.-≤a≤-

解析因为sin x+cos x=2sinx+=2a-3,

所以sinx+=a-.所以-1≤a-≤1,

即≤a≤.

答案A

4.若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为(　　)

A.1 B. C. D.2

解析依题意得点M,N的坐标分别为(a,sin a),(a,cos a),

所以|MN|=|sin a-cos a|

=sin a·-cos a·

=sina-≤(a∈R).

所以|MN|max=.

答案B

5.(多选)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab≠0,若f(x)≤对任意x∈R成立,则下列命题中正确的是 (　　)

A.f=0

B.

C.f(x)是非奇非偶函数

D.可能存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交

解析依题意f(x)=sin(2x+θ),由于f(x)≤对任意x∈R成立,

故x=是函数f(x)的对称轴,

所以2×+θ=kπ+,θ=kπ+.

所以f(x)=sin2x+kπ+

=±sin2x+.

因为f=±sin2×=0,所以A正确.

显然,所以B错误.

根据f(x)的解析式可知f(x)是非奇非偶函数,所以C正确.

要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x轴平行,且|b|>,两边平方得b2>a2+b2,这不可能,矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,所以D错误.故选AC.

答案AC

6.若方程12x2+πx-12π=0的两个根分别是α,β,则α+β=　　　　,cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β=　　　　. 

解析由题意知α+β=-.

所以cos α·cos β-sin α·cos β-cos αsin β-sin α·sin β=cos(α+β)-sin(α+β)

=2cos(α+β)-sin(α+β)

=2sin-(α+β)=2sin=2sin.

答案-

7.已知向量a=(,cos 2ωx),b=(sin 2ωx,1)(ω>0),令f(x)=a·b,且f(x)的周期为π.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若x∈0,时f(x)+m≤3,求实数m的取值范围.

解(1)f(x)=a·b=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin2ωx+,因为f(x)的周期为π,且ω>0,所以ω=1.

所以f(x)=2sin2x+.

(2)因为x∈0,,所以2x+∈.

所以sin2x+∈-,1,

所以f(x)∈[-1,2].

由f(x)+m≤3,得f(x)max+m≤3即可.

所以2+m≤3,所以m≤1.

8.已知函数f(x)=sin2x+-cos2x+.

(1)写出f(x)的单调区间;

(2)求f(x)在-上的值域.

解(1)f(x)=sin2x+-cos2x+

=2sin2x+-cos2x+

=2sin 2x.

由2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

由2kπ+≤2x≤2kπ+π(k∈Z),

得kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z),单调递减区间为kπ+,kπ+π(k∈Z).

(2)由(1)知f(x)=2sin 2x,因为-≤x≤,

所以-≤2x≤π.所以-≤2sin 2x≤2.

所以函数f(x)=sin2x+-cos2x+的值域为[-,2].

素养培优练

1.已知函数f(x)=asin x+bcos x(x∈R,ab≠0),若x=x0是函数f(x)的一条对称轴,且tan x0=4,则点(a,b)满足的关系为(　　)

A.a+4b=0 B.a-4b=0

C.4a-b=0 D.4a+b=0

解析由f(x)=asin x+bcos x,得f(x)=cos(x-φ)tan φ=,

因为x=x0是函数f(x)的一条对称轴,即x0-φ=kπ(k∈Z),即x0=φ+kπ,k∈Z,

因为tan x0=4,所以tan x0=tan φ=4,

即=4,所以a-4b=0.

答案B

2.函数f(x)=asin x+bcos x称为向量=(a,b)的“相伴函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

(1)设函数h(x)=2sin-x-cos+x,求证:h(x)∈S;

(2)记=(0,2)的“相伴函数”为f(x),若函数g(x)=f(x)+2|sin x|-1,x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点,求实数k的取值范围.

解(1)因为h(x)=2sin-x-cos+x

=-sin x+cos x,

所以函数h(x)是向量=-的相伴函数,所以h(x)∈S.

(2)因为f(x)=2cos x,

所以g(x)=2cos x+2|sin x|-1

=

则g(x)在0,单调递增,,π单调递减,π,π单调递增,π,2π单调递减,

又g(0)=1,g=3,g(π)=-3,g=3,g(2π)=1;

因为函数g(x)=f(x)+2|sin x|-1,x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点,所以实数k的取值范围为1≤k<3.