高中数学1.2 空间向量基本定理第一课时学案

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第一课时 空间向量基本定理
如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.
[问题] (1)e1，e2，e3共面吗？
(2)如何用e1，e2，e3表示向量eq \(AC1,\s\up6(―→))？



知识点 空间向量基本定理
1．定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为eq \a\vs4\al(1)，常用{i，j，k}表示；
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
提示：不可以．
2．在四棱锥O­ABCD中，eq \(OA,\s\up6(―→))可表示为eq \(OA,\s\up6(―→))＝xeq \(OB,\s\up6(―→))＋yeq \(OC,\s\up6(―→))＋zeq \(OD,\s\up6(―→))且唯一，这种说法对吗？
提示：对．
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案：C
2.如图，已知四面体ABCD的三条棱eq \(AB,\s\up6(―→))＝b，eq \(AC,\s\up6(―→))＝c，eq \(AD,\s\up6(―→))＝d，M为BC的中点，用基向量b，c，d表示向量eq \(DM,\s\up6(―→))＝________．
解析：∵M为BC的中点，
∴eq \(DM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)[(eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→)))＋(eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→)))]＝eq \f(1,2)[(b－d)＋(c－d)]＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c－d.
答案：eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c－d
[例1] (链接教科书第15页习题2题)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up6(―→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(―→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(―→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使eq \(OA,\s\up6(―→))＝xeq \(OB,\s\up6(―→))＋yeq \(OC,\s\up6(―→))成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1))此方程组无解，
即不存在实数x，y，使eq \(OA,\s\up6(―→))＝xeq \(OB,\s\up6(―→))＋yeq \(OC,\s\up6(―→))成立．
∴eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))不共面．
故{eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))}能作为空间的一个基底．
eq \a\vs4\al()
判断基底的方法
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
[跟踪训练]
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图所设a＝eq \(AB,\s\up6(―→))，b＝eq \(AA1,\s\up6(―→))，c＝eq \(AD,\s\up6(―→))，则x＝eq \(AB1,\s\up6(―→))，y＝eq \(AD1,\s\up6(―→))，z＝eq \(AC,\s\up6(―→))，a＋b＋c＝eq \(AC1,\s\up6(―→)).由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
答案：3
[例2] (链接教科书第12页例1)如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OC,\s\up6(―→))＝b，eq \(OP,\s\up6(―→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq \(BF,\s\up6(―→))，eq \(BE,\s\up6(―→))，eq \(AE,\s\up6(―→))，eq \(EF,\s\up6(―→)).
[解] 连接BO，则eq \(BF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BP,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(BO,\s\up6(―→))＋eq \(OP,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)(－b－a＋c)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
eq \(BE,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CE,\s\up6(―→))＝－a＋eq \f(1,2)eq \(CP,\s\up6(―→))＝－a＋eq \f(1,2)(eq \(CO,\s\up6(―→))＋eq \(OP,\s\up6(―→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \(PE,\s\up6(―→))＝eq \(AO,\s\up6(―→))＋eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(PO,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)a.
eq \a\vs4\al()
用基底表示向量的策略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[跟踪训练]
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))表示eq \(OP,\s\up6(―→))和eq \(OQ,\s\up6(―→)).
解：eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OM,\s\up6(―→))＋eq \(MP,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(―→))－eq \(OM,\s\up6(―→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(ON,\s\up6(―→))－\f(1,2)\(OA,\s\up6(―→))))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(―→)).
eq \(OQ,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OM,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OP,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,12)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(―→)).
[例3] 如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若eq \(EF,\s\up6(―→))＝xeq \(AB,\s\up6(―→))＋yeq \(AD,\s\up6(―→))＋zeq \(AA1,\s\up6(―→))，求x＋y＋z.
[解] (1)证明：∵eq \(AC1,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(―→))＋\f(1,3)\(AA1,\s\up6(―→))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(―→))＋\f(2,3)\(AA1,\s\up6(―→))))＝(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BE,\s\up6(―→)))＋(eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DF,\s\up6(―→)))＝eq \(AE,\s\up6(―→))＋eq \(AF,\s\up6(―→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(―→))，eq \(AE,\s\up6(―→))，eq \(AF,\s\up6(―→))共面，又它们有公共点A，
∴A，E，C1，F四点共面．
(2)∵eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(AF,\s\up6(―→))－eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DF,\s\up6(―→))－(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BE,\s\up6(―→)))＝eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(DD1,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(1,3)eq \(BB1,\s\up6(―→))＝－eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(―→))，
又eq \(EF,\s\up6(―→))＝xeq \(AB,\s\up6(―→))＋yeq \(AD,\s\up6(―→))＋zeq \(AA1,\s\up6(―→))，
∴x＝－1，y＝1，z＝eq \f(1,3)，
∴x＋y＋z＝eq \f(1,3).
eq \a\vs4\al()
由空间向量基本定理可以知道，如果三个向量a，b，c是不共面的向量(基向量)，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，并且有序实数组(x，y，z)是唯一的，这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础．
[跟踪训练]
在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AD,\s\up6(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(―→))，eq \(EF,\s\up6(―→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(―→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解：(1)如图，连接AC，eq \(D1B,\s\up6(―→))＝eq \(D1D,\s\up6(―→))＋eq \(DB,\s\up6(―→))＝－eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(EA,\s\up6(―→))＋eq \(AF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(D1A,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))
＝－eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)c.
(2)eq \(D1F,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(D1D,\s\up6(―→))＋eq \(D1B,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(D1B,\s\up6(―→)))
＝eq \f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
又eq \(D1F,\s\up6(―→))＝xa＋yb＋zc，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－1.
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
D．若eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
解析：选ABD 由基底的概念可知A、B、D正确．对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．
2．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A．a B．b
C．c D．2a
解析：选C 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝eq \f(1,2)[(a＋b)＋(a－b)]＝eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝eq \f(1,2)[(a＋b)－(a－b)]＝eq \f(1,2)m－eq \f(1,2)n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.选C.
3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(AD,\s\up6(―→)) B.eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AA1,\s\up6(―→))，eq \(AB1,\s\up6(―→))
C.eq \(D1A1,\s\up6(―→))，eq \(D1C1,\s\up6(―→))，eq \(D1D,\s\up6(―→)) D.eq \(AC1,\s\up6(―→))，eq \(A1C,\s\up6(―→))，eq \(CC1,\s\up6(―→))
解析：选C 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，只有C中的三个向量eq \(D1A1,\s\up6(―→))，eq \(D1C1,\s\up6(―→))，eq \(D1D,\s\up6(―→))不共面，可以作为空间的一个基底．
4．在四面体OABC中，eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b，eq \(OC,\s\up6(―→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(―→))＝________．(用a，b，c表示)
解析：eq \(OE,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→)))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,4)×(eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
答案：eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq \(EF,\s\up6(―→))＋λeq \(A1D,\s\up6(―→))＝0(λ∈R)，则λ＝________．
解析：如图，连接A1C1，C1D，
则E在A1C1上，F在C1D上，
易知EF綉eq \f(1,2)A1D，∴eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(A1D,\s\up6(―→))，即eq \(EF,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(A1D,\s\up6(―→))＝0，∴λ＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
新课程标准解读
核心素养
1.了解空间向量的基本定理及其意义
数学抽象、直观想象
2.掌握空间向量的正交分解
数学抽象、数学运算
基底的判断
用基底表示空间向量
空间向量基本定理的应用