高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理第二课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理第二课时学案，共5页。


[例1] (链接教科书第13页例3)如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．求证：BF∥ED′.
[证明] eq \(BF,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CF,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CC′,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(―→))，
eq \(ED′,\s\up6(―→))＝eq \(EA′,\s\up6(―→))＋eq \(A′D′,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))，
∴eq \(BF,\s\up6(―→))＝eq \(ED′,\s\up6(―→))，
∴eq \(BF,\s\up6(―→))∥eq \(ED′,\s\up6(―→))，
∵直线BF与ED′没有公共点，
∴BF∥ED′.
eq \a\vs4\al()
证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行；
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
[跟踪训练]
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(C1N,\s\up6(―→))－eq \(C1M,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(C1B1,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(C1C,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(D1A1,\s\up6(―→))－eq \(D1D,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)eq \(DA1,\s\up6(―→))，∴eq \(MN,\s\up6(―→))∥eq \(DA1,\s\up6(―→))，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法二：eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(C1N,\s\up6(―→))－eq \(C1M,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(C1B1,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(C1C,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→)))－eq \f(1,2)(eq \(A1B,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(A1B,\s\up6(―→)).
即eq \(MN,\s\up6(―→))可用eq \(A1B,\s\up6(―→))与eq \(DB,\s\up6(―→))线性表示，故eq \(MN,\s\up6(―→))与eq \(A1B,\s\up6(―→))，eq \(DB,\s\up6(―→))是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD.
[例2] (链接教科书第13页例2)
如图所示，在三棱锥A­BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(1)证明：AE⊥BC；
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．
[解] (1)证明：因为eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \(DE,\s\up6(―→))－eq \(DA,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→)))－eq \(DA,\s\up6(―→))，eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \(DB,\s\up6(―→))－eq \(DC,\s\up6(―→))，
所以eq \(AE,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DB,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(DC,\s\up6(―→))－\(DA,\s\up6(―→))))·(eq \(DB,\s\up6(―→))－eq \(DC,\s\up6(―→)))
＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(―→))2－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(―→))2－eq \(DA,\s\up6(―→))·eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))·eq \(DC,\s\up6(―→))，
又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，
所以eq \(AE,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→))＝0，
故AE⊥BC.
(2)eq \(AE,\s\up6(―→))·eq \(DC,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DB,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(DC,\s\up6(―→))－\(DA,\s\up6(―→))))·eq \(DC,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(―→))·eq \(DC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(―→))2－eq \(DA,\s\up6(―→))·eq \(DC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(―→))2＝2，
由eq \(AE,\s\up6(―→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DB,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\(DC,\s\up6(―→))－\(DA,\s\up6(―→))))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(―→))2＋eq \f(1,4)eq \(DC,\s\up6(―→))2＋eq \(DA,\s\up6(―→))2＝6，得|eq \(AE,\s\up6(―→))|＝eq \r(6).
所以cs〈eq \(AE,\s\up6(―→))，eq \(DC,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(AE,\s\up6(―→))·\(DC,\s\up6(―→)),|\(AE,\s\up6(―→))||\(DC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(2,\r(6)×2)＝eq \f(\r(6),6).
故直线AE与DC的夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
eq \a\vs4\al()
求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
[跟踪训练]
在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．
解：eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(DN,\s\up6(―→))－eq \(DM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(―→))－eq \(DA,\s\up6(―→)))，
eq \(BC1,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CC1,\s\up6(―→))＝－eq \(DA,\s\up6(―→))＋eq \(DD1,\s\up6(―→))，
所以eq \(MN,\s\up6(―→))·eq \(BC1,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DC,\s\up6(―→))－\f(1,2)\(DA,\s\up6(―→))))·(－eq \(DA,\s\up6(―→))＋eq \(DD1,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(―→))2＝eq \f(1,2)，
又|eq \(MN,\s\up6(―→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝eq \f(\r(5),2)，|eq \(BC1,\s\up6(―→))|＝eq \r(2)，
所以cs〈eq \(MN,\s\up6(―→))，eq \(BC1,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(MN,\s\up6(―→))·\(BC1,\s\up6(―→)),|\(MN,\s\up6(―→))||\(BC1,\s\up6(―→))|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(2))＝eq \f(\r(10),10)，
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
[例3] (链接教科书第15页习题5题)在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝eq \f(1,2)ND，求MN的长．
[解] ∵eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(MB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CN,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋(eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→)))＋eq \f(1,3)(eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(―→))，
∴|eq \(MN,\s\up6(―→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)\(AB,\s\up6(―→))＋\f(1,3)\(AD,\s\up6(―→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up6(―→))))eq \s\up12(2)
＝eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(―→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,9)eq \(AD,\s\up6(―→))2＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(―→))2
＝eq \f(1,9)a2－eq \f(1,9)a2－eq \f(2,9)a2＋eq \f(2,9)a2＋eq \f(1,9)a2＋eq \f(4,9)a2＝eq \f(5,9)a2.
故|eq \(MN,\s\up6(―→))|＝eq \f(\r(5),3)a，即MN＝eq \f(\r(5),3)a.
eq \a\vs4\al()
求空间线段长度(两点间距离)的步骤
(1)选取空间基向量，将待求线段用基向量线性表示；
(2)求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度．
[跟踪训练]
如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
解：∵eq \(PC,\s\up6(―→))＝eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→))，
∴|eq \(PC,\s\up6(―→))|2＝(eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→)))2＝|eq \(PA,\s\up6(―→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(―→))|2＋|eq \(DC,\s\up6(―→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＋2eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(DC,\s\up6(―→))＋2eq \(DC,\s\up6(―→))·eq \(PA,\s\up6(―→))＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(―→))||eq \(DC,\s\up6(―→))|·cs 120°＝61－12＝49，
∴|eq \(PC,\s\up6(―→))|＝7，即PC＝7.
1．(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是( )
A.eq \(OM,\s\up6(―→))＝2eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→))
B.eq \(OM,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→))
C.eq \(OM,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(―→))
D.eq \(OM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(―→))
解析：选BD 根据“eq \(OM,\s\up6(―→))＝xeq \(OA,\s\up6(―→))＋yeq \(OB,\s\up6(―→))＋zeq \(OC,\s\up6(―→))，若x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C共面”，
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1，1＋1＋(－1)＝1，1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(11,6)≠1，eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝1，由上可知，B、D满足要求．
2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：
(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF.
证明：设eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AD,\s\up6(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0.
(1)因为eq \(AD1,\s\up6(―→))＝b＋c，eq \(G1G,\s\up6(―→))＝eq \(G1A1,\s\up6(―→))＋eq \(A1A,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DG,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)a－c＋b＋eq \f(1,2)a＝b－c，
所以eq \(AD1,\s\up6(―→))·eq \(G1G,\s\up6(―→))＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，
所以eq \(AD1,\s\up6(―→))⊥eq \(G1G,\s\up6(―→))，所以AD1⊥G1G.
(2)因为eq \(AD1,\s\up6(―→))＝b＋c，eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(CF,\s\up6(―→))－eq \(CE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c，所以eq \(EF,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(AD1,\s\up6(―→))，所以AD1∥EF.
证明平行、共面问题
求解夹角、证明垂直问题
求距离(长度)问题