专题04 二次函数中与系数a,b,c有关的问题-2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题04 二次函数中与系数a,b,c有关的问题
【典型例题】
1．（2020·广东荔湾·初三期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是_____．

【答案】①④⑤．
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】
解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
∴x＝ ＝2，与x轴的另一个交点为（5，0），
即，4a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，
∴25a+7b+2c＞0，
又∵a＜0，
∴8a+7b+c＞0，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.


【专题训练】
一、 选择题
1．（209·上海市民办兰生复旦中学月考）已知二次函数的图像如图所示，那么a、b、c的符号为（ ）

A．a>0，b<0，c<0 B．a>0，b>0，c<0
C．a<0，b<0，c>0 D．a<0，b>0，c>0
【答案】A
【解析】
【分析】
通过二次函数图象分析a、b、c的符号即可．
【详解】
观察图象，抛物线开口向上，所以a>0，
对称轴明显在y轴右侧，>0，a>0，所以b<0，
图象与y轴交点在负半轴，所以c<0．
综上所述，a>0，b<0，c<0，
故选：A．
【点睛】
本题考查了通过二次函数图象判断a、b、c的符号，属于基础题，注意对称轴的位置．
2．（2020·湖南广益实验中学二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a)，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a(x+5)(x﹣1)＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质一一判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，所以①结论错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，
9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，故③结论正确，
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，
若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．
3．（2020·山西二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，且点的横坐标在和之间，与轴交于负半轴，对称轴为直线，对于该二次函数，下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为
B．
C．
D．若点，均在抛物线上，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象以及性质进行分析，抛物线开口向上，函数有最小值，且最小值在对称轴上取得；抛物线与轴的交点个数决定Δ的正负；抛物线开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，逐项分析即可求出答案．
【详解】
A、抛物线开口向上，函数有最小值，且对称轴为直线，
因此时，取得最小值，最小值为，故正确；
B、抛物线与轴有两个交点，即：令，一元二次方程有两个根，
因此，故正确；
C、当时，＞0，故错误；
D、抛物线开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，点离对称轴更远，因此，故正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．（2020·天津河北·初三二模）抛物线经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①；
②＞；
③若n＞m＞0，则时的函数值小于时的函数值；
④点（，0）一定在此抛物线上．
其中正确结论的个数是( )

A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
【分析】
利由抛物线的对称轴为x=1可对①进行判断；利用抛物线经过点（﹣2，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a 即可得出，则可对④进行判断．
【详解】
∵抛物线的对称轴为，
∴b=-2a，
故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），
∴4a-2b+c=0，
由（1）可知,a＜0,b＞0，
则4a+c=2b＞0，
∴＞，
故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，
∵n＞m＞0，
∴1+n＞1+m＞1，
∴x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值，故③错误；
∵b=-2a，
∴抛物线为y=ax2-2ax+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），
∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，
∴c=-8a，
∴，
∵点（-2，0）的对称点是（4，0），
∴点（，0）一定在此抛物线上，故④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．（2020·山东省青岛第七中学初三月考）如图，二次函数图象的对称轴为，则下列说法正确的有
①，②，③，④若．

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则．
抛物线的对称轴，则．
抛物线与y轴交与正半轴，则，
所以．
故本选项正确；
B、，
，
．
故本选项正确；
C、抛物线开口方向向上，与y轴交与正半轴，
当时，，即．
故本选项正确；
D、由时，，由图象知：，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
6．（2020·昆明市官渡区第一中学初三月考）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点(2,0)．下列说法：①；② ；③；④若，是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（ ）

A．①②④ B．①③ C．①④ D．③④
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时得到c=-2a，加上b=-a，则可对②进行判断；利由抛物线与x轴有两个交点结合根的判别式，即可得出b2-4ac＞0，，则可对③进行判断；通过比较点（-，y1）到直线x=的距离与点（，y2）到直线x=的距离的大小可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==，
∴b=-a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
∴c=-2a，
∴-2b+c=2a-2a=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③错误；
∵点（，y1）到直线x=的距离比点（，y2）到直线x=的距离大，
∴y1＜y2；所以④正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
7．（2020·河北长安·初三其他）老师给出了二次函数的部分对应值如下表：




0
1
3
5



7
0



7

同学们讨论得出了下列结论：
①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线；
③当时，； ④是方程的一个根；
⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．
其中正确的是（ ）．
A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
结合题意，可得到y的值随x增大先减小后增大，根据二次函数图像的性质，得到二次函数开口向上；通过时，对应x为-3和5，可计算得抛物线对称轴；结合时，对应x为-2，可得时，，从而得到时和抛物线的解析式，从而完成求解．
【详解】
∵y的值随x增大先减小后增大
∴二次函数开口向上
∴①正确；
∵时，对应x为-3和5
∴抛物线的对称轴为直线
∴②错误；
结合题意，当时：
∵时，对应x为-2，且对称轴为
∴时，
∴
∴
∴
∴时，
∴③错误；
∴
解得：或
∴④正确；
∵，是抛物线上从左到右依次分布的两点
又∵抛物线对称轴为，开口向上
∴
∴⑤正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、二元二次方程组的性质，从而完成求解．
8．（2020·安徽合肥·初三月考）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则，其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误，
=1，则b=-2a，故2a+b=0，故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），
∴当x=-2时，y=4a-2b+c=0，故③正确；
∵当x=1时，该函数取得最大值，此时y=a+b+c，
∴点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，所以ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②错误；
③由图可知，x＜0时，y随x的增大而增大，故③正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣ ＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选C．

【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于根据函数图象进行判断
10．（2019·山东岱岳·初三三模）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【详解】
①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定
抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．

二、 填空题
11．（2020·厦门市松柏中学月考）二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图，下列结论：①abc＜0，②a＋c＜b，③b2＋3a＞4ac，④2a＋b＞0，⑤b2﹣4ac＜0．其中结论正确的是_____．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】
根据二次函数图象开口向下得到a＜0，由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，判断出b＞0，根据抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c＞0，即可①做出判断；x=﹣1时，y＜0的，即可对②进行判断；由c=2，b2＞5a，即可对③进行判断；由对称轴公式及对称轴在y轴右侧即可对④进行判断；根据抛物线与x轴交点个数即可对⑤进行判断．
【详解】
∵二次函数y=ax2＋bx＋c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点在正半轴，
∵0＜＜1，
∴c＞0，b＞0，2a＋b＞0，选项④正确，
∴abc＜0，选项①正确；
∵当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b＋c＜0，
∴a＋c＜b，选项②正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，选项⑤错误，
∵抛物线经过点(0，2)，
∴c=2，
∴4ac=8a，
∵a＜0，
∴b2＞5a，
∴b2＋3a＞8a，
∴b2＋3a＞4ac，选项③正确，
则结论正确的为①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
12．（2020·江西新余四中月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点C在与之间不包括这两点，抛物线的顶点为D，对称轴为直线有以下结论：
①；
②
③ 若点，点是函数图象上的两点，则；
④；⑤可以是等腰直角三角形．
其中正确的结论序号为_______．

【答案】②③④
【解析】
【分析】
①②③④我们需要结合题意以及二次函数的图象与性质分别分析判断即可，⑤在判断的时候，我们需要先确定为等腰三角形，再假设为等腰直角三角形来求解析式，验证不满足题意要求，本题求解结束．
【详解】
解:①函数开口向下，a＜0，
对称轴在y轴右侧，b＞0，
函数与y轴交于正半轴，c＞0，
故abc＜0，①错误；
②观察图象可知：当x=-1时，y＜0，
故a-b+c＜0，②正确；
③∵，
故N点更靠近对称轴，
∴，③正确；
④由题意易得：，
解得：，④正确；
⑤∵抛物线的顶点为D，对称轴为直线，
∴点A和点B关于直线对称，点D在直线上，
∴AB=6，DA=DB，
∴为等腰三角形，
如果为等腰直角三角形，
则D到AB的距离等于，
即D（2，3），
则，
解得，
∴二次函数的解析式为，
当x=0时，y=，与点C在与之间矛盾，⑤错误；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
13．（2020·宜春市第四中学初三月考）二次函数的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下6个结论：①；②；③；④；⑤时，随的增大而增大；⑥（为实数且），其中正确的结论有__________．（填上所有正确结论的序号）

【答案】①③⑤⑥
【解析】
【分析】
由抛物线的开口判断a的符号，由抛物线与y轴交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，对所有结论进行判断即可．
【详解】
解：①由图像可得：，
∵
∴
∴故此选项正确；
②当时，，即，故此选项错误；
③当时，，故此选项正确；
④，即，故此选项错误；
⑤因为对称轴为且，因此时，随的增大而增大，故此选项正确；
⑥当时，的值最大，此时
而当时，，
∴
即，故此选项正确；
综合所述，正确的有①③⑤⑥
故答案为：①③⑤⑥
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟悉掌握抛物线的图象以及二次函数的性质是解题的关键．
14．（2020·杭州市保俶塔实验学校初三月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有________．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x=＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵＞2，
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a-b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．
15．（2020·建瓯市房道中学初三月考）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0； ③a﹣2b＋4c＜0④8a＋c＜0，其中正确的有_____．

【答案】③
【解析】
【分析】
根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标综合分析逐项判断即可．
【详解】
解：根据图象可得：a＞0，c＜0，
对称轴：x＝﹣＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＋2a＝0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a﹣b＋c＝0，
∴c＝b﹣a，
∴a﹣2b＋4c＝a﹣2b＋4（b﹣a）＝2b﹣3a，
又由①得b＝﹣2a，
∴a﹣2b＋4c＝﹣7a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x＝4时，y＞0，
∴16a＋4b＋c＞0，
由①知，b＝﹣2a，
∴8a＋c＞0；
故④错误；
故答案为：③．

【点评】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
16．（2020·湖北武昌·初三月考）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0 ；② 4a＋c＜2b ；③m(am＋b)+b>a（m≠－1）；④方程ax2＋bx＋c-3＝0的两根为x1，x2（x1－3 ，其中正确结论的是__________．

【答案】①②③
【解析】
【分析】
由函数图象及二次函数各系数与图象的关系即可依次判断．
【详解】
由函数图像可得开口向上，故a＞0；对称轴x=-1, 图象与x轴交于（1,0）故a,b同号，则b＞0，图象与x轴交于（1,0）和（-3,0）；函数图象与y轴交于负半轴，故c＜0，
∴①abc＜0，正确；
∵图象与x轴交于（1,0）和（-3,0），故由图可得当x=-2时，y=4a-2b+c＜0
即4a＋c＜2b，②正确；
由图可得当x=-1时，y取最大值，
故m(am＋b)+c>a-b+c（m≠－1）
则m(am＋b)+b>a（m≠－1），③正确；
如图，方程ax2＋bx＋c-3＝0的两根为x1，x2（x1 故答案为：①②③．

【点睛】
此题主要考查二次函数图象综合，解题的关键是熟知二次函数系数与图象的关系．
17．（2020·武汉市七一中学初三月考）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点对称 轴为直线．直线与抛物线交于两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有__________．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】
利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=-2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，则当x=-1时，y＜0，于是可对②进行判断；
根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；
由于直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜-3+c，然后把b=-2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，
∴当x=-1时，y＜0
∴a-b+c＜0，
所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜-3+c，
而b=-2a，
∴9a-6a＜-3，解得a＜-1，所以④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
18．（2020·广州市增城区派潭镇第二中学初三期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当x=-1时，y＞0，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣3时，y＜0，然后代入即可判断⑤．
【详解】
解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故②正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图象可得：当x＝1时，y＜0，
∴当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
19．（2020·湖北武汉·初三一模）抛物线y＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数)经过点A (－1，0)、B(m，0)、C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0，下列结论：①abc＞0；②3a＋c＜0，③若P (n，t)为抛物线上任一点，则()²a＋()b≥an2＋bn，④当a＝－1时，则b的取值范围为0＜b＜2． 其中正确结论的序号为___________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
①利用已知三点画出草图求出a,b,c的取值范围；②利用抛物线与x轴的两交点A,C，从而得出a与c的关系；③利用抛物线的对称性，当x＝时，取最大值；④由A,B两点，得出对称轴的取值范围，从而求出b的范围．
【详解】
∵1＜m＜3，n＜0，由A (－1，0)、B(m，0)、C(－2，n)，
画出草图，可知a＜0，b＞0，c＞0，故①错；

由x1x2＝－1×m，得＝－m，
∵m＜3，
∴＞－3，
∴c＜－3a，故②对；
抛物线的对称轴为x＝＞0，又n＜0，
∴()²a＋()b＋c＞an2＋bn＋c，
故③中不可能取等号，故③错；
由A (－1，0)、B(m，0)，1＜m＜3，
可知0＜－＜1，当a＝－1时，得0＜b＜2，故④是正确的．
故答案为：②④．
【点晴】
本题主要考查了抛物线性质，系数与图像之间的关系，抛物线与不等式的关系等，解题的关键是熟悉抛物的性质，熟练画出草图．