高中第3节 单摆学案

第3节　单　摆

[核心素养·明目标]

知识点一　单摆的振动

1．单摆模型

把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫作单摆．

2．单摆的回复力

(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．

(2)回复力的特点：在摆角很小时(通常θ<5°)，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x．

(3)运动规律

单摆在摆角很小的情况下可近似看作简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律．

　单摆的回复力不是摆球所受到的合力．

1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略． (√)

(2)单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略． (√)

(3)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动． (×)

知识点二　单摆的周期

1．实验探究

(1)探究方法：控制变量法．

(2)实验结论：

①单摆振动的周期与摆球质量无关．

②摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．

2．周期公式

(1)公式：T＝2π．

(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关．

　单摆的摆长是悬点到小球球心的距离．

2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)摆球质量越大，单摆的周期越长． (×)

(2)摆动幅度越大，单摆的周期越长． (×)

(3)摆线越长，单摆的周期越长． (√)

3：填空

如果摆钟走慢了，你应该把摆长调短些(“长些”或“短些”)．

考点1　单摆模型的回复力及运动情况

如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个夹角，然后释放．

讨论：

(1)小球受到哪些力的作用？

(2)向心力和回复力分别是由什么力提供的？

提示：(1)小球受重力和细线的拉力．

(2)细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力．小球重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力．

1．单摆的回复力

(1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力作用．

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力．

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力．

2．单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．

【典例1】　振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是(　　)

A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点

B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线

C．合力不为零，方向沿轨迹的切线

D．回复力为零，合力也为零

[思路点拨]　(1)考虑摆动情况，小球在平衡位置回复力为零．

(2)考虑圆周运动情况，小球在平衡位置所受合外力不为零．

A　[单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)．]

单摆中的回复力

(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力．

(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零．

[跟进训练]

1．关于单摆的描述，正确的是(　　)

A．单摆的运动一定是简谐运动

B．单摆运动的回复力是重力与绳子拉力的合力

C．单摆运动过程中经过平衡位置时达到平衡状态

D．单摆经过平衡位置时回复力为零

D　[当单摆的偏角较小时单摆的运动才是简谐运动，故A错误；单摆运动的回复力是重力在切线上的分力提供的，故B错误；单摆运动过程中经过平衡位置时有向心加速度，所以没有达到平衡状态，故C错误；根据F＝－kx可知单摆经过平衡位置时回复力为零，故D正确．]

考点2　单摆的周期

央视新闻2019年3月1日消息，“嫦娥四号”着陆器已于上午7点52分自主唤醒，中继前返向链路建立正常，平台工况正常，目前正在进行状态设置，按计划开始第三月昼后续工作．假设将一单摆随“嫦娥四号”着陆器带至月球表面，单摆在做简谐运动时其周期与在地球上相比有何变化？并说明原因．

提示：变大，月球表面的重力加速度比地球表面小．

1．单摆的周期公式：T＝2π．

2．对周期公式的理解：

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)．

(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即l＝l线＋r球．

(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．

(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．所以单摆的周期也叫固有周期．

3．摆长的确定

(1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π．图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效．

(2)如图(c)所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2π．

4．公式中重力加速度g的变化与等效

(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．

(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．如图所示，球静止在平衡位置O时，FT＝mgsin θ，等效加速度g′＝＝gsin θ．

　单摆的周期公式

【典例2】　一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，重力加速度为g，求出单摆的振动周期．

[思路点拨]　(1)左边和右边摆长不同．

(2)单摆的周期等于两个摆周期之和的一半．

[解析]　摆球释放后到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．

小球在左边的周期为T1＝2π，

小球在右边的周期为T2＝2π，

则整个单摆的周期为

T＝＋＝π＋π＝1.9π．

[答案]　1.9π

　单摆振动的图像

【典例3】　(2019·全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a．绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x­t关系的是(　　)

A　[由T＝2π得：T1＝2π，T2＝2π＝π＝T1，故B、D错误；

x1＝lsin θ1＝2lsincos

x2＝sin θ2＝2×sincos

由于θ1、θ2约为2°，所以cos≈1，cos≈1

故x1＝lsin θ1≈2lsin

x2＝sin θ2≈2×sin

＝＝

由能量守恒定律可知，小球先后摆起的最大高度相同，故：

l－lcos θ1＝－·cos θ2，

根据半角公式sin2＝可得：sin＝2sin，故＝＝2，即第一次振幅是第二次振幅的2倍，故A正确，C错误．]

求单摆周期的方法

(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件．

(2)在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间．

(3)改变单摆振动周期的途径是：

①改变单摆的摆长．

②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)．

(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．

[跟进训练]

2．(角度1)若单摆的摆长不变，摆球的质量由20 g增加为40 g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的(　　)

A．频率不变，振幅不变

B．频率不变，振幅改变

C．频率改变，振幅不变

D．频率改变，振幅改变

B　[单摆的周期公式为T＝2π，与摆球的质量和摆角的大小无关，所以周期不变，频率也不变，摆角减小则振幅减小，故B正确，A、C、D错误．]

3．(角度2)(多选)如图为甲、乙两单摆的振动图像，则(　　)

A．由图像可知甲、乙两单摆周期之比为2∶1

B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1

C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1

D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1

AC　[由题中图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆摆长之比l甲∶l乙＝4∶1，若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4．]

1．(多选)下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是(　　)

A．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

B．单摆经过平衡位置时合力提供向心力

C．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

D．在摆角很小的情况下，单摆回复力符合简谐运动特点

ABD　[单摆运动的回复力不是由重力与摆线拉力的合力提供，平衡位置时，重力和摆线拉力的合力提供向心力，B正确；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，A正确，C错误；当θ＜5°时，单摆回复力符合简谐运动特点，D正确．]

2．(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)

A．t1时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大

B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

AD　[由振动图像知，t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，摆球的回复力最大，A正确，C错误；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，由于摆球做圆周运动(一部分)，由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大，D正确，B错误．]

3．(多选)如图所示，在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图像，其中实线表示A的运动图像，虚线表示B的运动图像．以下关于这两个单摆的判断中正确的是(　　)

A．这两个单摆的摆球质量一定相等

B．这两个单摆的摆长一定不同

C．这两个单摆的最大摆角一定相同

D．这两个单摆的振幅一定相同

BD　[从题图可知，两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定不同，故B、D对；由振幅相等而摆长不等知C错；单摆的周期与质量无关，故A错．]

4．(新情境题，从“双摆线”为背景，考查单摆的周期公式)

如图所示的双线摆，如果摆球大小不计，其摆线长均为L，线与天花板间的夹角为α，重力加速度为g，求：

(1)此双线摆等效为单摆时的摆长；

(2)当小球垂直于纸面做简谐运动时的周期．

[解析]　(1)摆球垂直纸面做简谐运动，由图可知此双线摆等效为单摆时的摆长是：l＝Lsin α．

(2)根据单摆的振动周期T＝2π可得摆球垂直纸面做简谐运动的周期为：

T＝2π．

[答案]　(1)Lsin α　(2)2π

回归本节知识，自我完成以下问题：

1．单摆的回复力是什么来提供？

提示：重力G沿圆弧切线方向的分力mgsin θ是回复力．

2．单摆在偏角多大的条件下做简谐运动？

提示：偏角很小，通常θ＜5°．

3．单摆的周期公式是什么？与什么因素有关？

提示：T＝2π与l和g有关．