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初中数学第24章 圆24.6 正多边形与圆24.6.1 正多边形与圆优秀ppt课件
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这是一份初中数学第24章 圆24.6 正多边形与圆24.6.1 正多边形与圆优秀ppt课件，共18页。PPT课件主要包含了情境导入，正多边形的定义，图24-56，知识精讲，2用尺规等分圆周，正六边形的作法，正多边形的性质，图24-60，合作与交流，图24-61等内容，欢迎下载使用。
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
如图24-56，点A,B,C,D,E把圆分成5等份，求证：⑴ 依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，∴AB=BC=CD=DE=EA.∵ = =3AB，∴∠1=∠2.同理，得∠2=∠3=∠4=∠5.又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
（2）连接OA，OB，OC，则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.∵TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC，∴AB=BC，∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA.同理∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA.
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形.
(1)用量角器等分圆周
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先用量角器作一个等于360°/n的圆心角，这个角所对的弧就是圆周 的1/n，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形（正五角星就是这样作出的）.
对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆周.
正四边形的作法 如图24-57（1），用直尺和圆规作⊙O的两条互相垂直的直径，就可以把⊙O分成四等份，从而作出正四边形. 我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形如图24-57（2），正十六边形.
如图24-58（1），设⊙O的半径为R，通常先作出⊙O的一条直径AB，然后分别以点A,B为圆心，R为半径作弧，与⊙O交于点C,D,E,F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形.如果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形，正二十四边形等. 我们可以连续6等份圆周的相间的两个点，得到正三角形，如图24-58（2）.
如何画一个边长为2 cm的正六边形？
1.以2 cm为半径作一个⊙O；
2.用量角器画一个60°的圆心角；
3.在圆上顺次截取这个圆心角所对的弧；
4.顺次连接分点，即为所求作的正六边形.
将一个圆n等份，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？ 我们仍然以正五边形为例来进行探究.
如图24-59，过正五边形ABCDE的顶点A,B,C作⊙O，连接OA,OB,OC,OD,OE.
∵ OB=OC， ∴ ∠1=∠2. 又 ∵ ∠ABC=∠BCD,∴ ∠3=∠4. ∵ AB=DC,∴△OAB≌△ODC, ∴ OA=OD,即点D在⊙O上，同理，点E也在⊙O上． 所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O． 由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切． 所以正五边形ABCDE还有一个以点O为圆心的内切圆．
1.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上.2.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．3.其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．4.正五边形的各顶点共圆． 5.正五边形有外接圆．6.圆心到各边的距离相等．7.正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．8.照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
我们把一个正多边形的外接圆(或内切圆)的公共圆心圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于360°/n.
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图24-60.
如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
例 求边长为a的正六边形的周长和面积.
解 如图24-61，过正六边形的中心O作OG⊥BC于点G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S.
∵ 多边形ABCDEF是正六边形，∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形，∴ C=6BC=6a.在△BOC中，有
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的____．2.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3.若正六边形的边长为1，则正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4.正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
如图24-56，点A,B,C,D,E把圆分成5等份，求证：⑴ 依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，∴AB=BC=CD=DE=EA.∵ = =3AB，∴∠1=∠2.同理，得∠2=∠3=∠4=∠5.又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
（2）连接OA，OB，OC，则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.∵TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC，∴AB=BC，∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA.同理∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA.
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形.
(1)用量角器等分圆周
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先用量角器作一个等于360°/n的圆心角，这个角所对的弧就是圆周 的1/n，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形（正五角星就是这样作出的）.
对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆周.
正四边形的作法 如图24-57（1），用直尺和圆规作⊙O的两条互相垂直的直径，就可以把⊙O分成四等份，从而作出正四边形. 我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形如图24-57（2），正十六边形.
如图24-58（1），设⊙O的半径为R，通常先作出⊙O的一条直径AB，然后分别以点A,B为圆心，R为半径作弧，与⊙O交于点C,D,E,F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形.如果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形，正二十四边形等. 我们可以连续6等份圆周的相间的两个点，得到正三角形，如图24-58（2）.
如何画一个边长为2 cm的正六边形？
1.以2 cm为半径作一个⊙O；
2.用量角器画一个60°的圆心角；
3.在圆上顺次截取这个圆心角所对的弧；
4.顺次连接分点，即为所求作的正六边形.
将一个圆n等份，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？ 我们仍然以正五边形为例来进行探究.
如图24-59，过正五边形ABCDE的顶点A,B,C作⊙O，连接OA,OB,OC,OD,OE.
∵ OB=OC， ∴ ∠1=∠2. 又 ∵ ∠ABC=∠BCD,∴ ∠3=∠4. ∵ AB=DC,∴△OAB≌△ODC, ∴ OA=OD,即点D在⊙O上，同理，点E也在⊙O上． 所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O． 由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切． 所以正五边形ABCDE还有一个以点O为圆心的内切圆．
1.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上.2.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．3.其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．4.正五边形的各顶点共圆． 5.正五边形有外接圆．6.圆心到各边的距离相等．7.正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．8.照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
我们把一个正多边形的外接圆(或内切圆)的公共圆心圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于360°/n.
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图24-60.
如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
例 求边长为a的正六边形的周长和面积.
解 如图24-61，过正六边形的中心O作OG⊥BC于点G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S.
∵ 多边形ABCDEF是正六边形，∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形，∴ C=6BC=6a.在△BOC中，有
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的____．2.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3.若正六边形的边长为1，则正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4.正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
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