数学七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组精练

8.3 实际问题与二元一次方程组

一．选择题（共2小题）

1．将7张相同的长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割成两个长方形，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b，当未被覆盖的两个长方形的周长相等时，a，b满足的关系是（　　）

A． B．a=3b C． D．a=4b 

【分析】依据未被覆盖的两个长方形的周长相等，即可得到2×3b+2×4b=2a+2a，进而得出a，b满足的关系式．

【解答】解：由图可得，2×3b+2×4b=2a+2a，

∴14b=4a，

∴a=b，

故选：C．

【点评】此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意，依据等量关系列方程是解本题的关键．

2．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）

A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 

【分析】解法一：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天；有9天下雨，即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；列方程组解出即可．

解法二：列三元一次方程组，解出即可．

【解答】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，

根据题意得：

①+②得：2y=22

y=11

所以一共有11天，

解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天，

根据题意得：，

解得：，

所以一共有11天，

故选：B．

【点评】本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，恰当准确设未知数是本题的关键；根据生活实际可知，早晨和晚上要么下雨，要么晴天；本题也可以用算术方法求解：（9+6+7）÷2=11．

二．解答题（共4小题）

3．阅读材料：

小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．

小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．

解决问题：

（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；

（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　20　cm；

（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．

【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积；

（2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度=9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度=14．根据这两个等量关系可列出方程组；

（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，

根据题意得：，解得：，

∴xy=10×6=60．

故每个小长方形的面积为60；

（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，

则，解得，

则12x+y=12×1+8=20．

即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．

（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得

，

解得，

∴S阴影=17×14﹣8×8×3=46．

故答案为：20．

【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

4．“重百”、“沃尔玛”两家超市出售 同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．

（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）

（2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．

【分析】（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元，根据买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元，列出方程组，求解即可．

（2）根据题意先分别计算出在“重百”超市购买所需费用和在“沃尔玛”超市购买所需费用，然后进行比较即可得出答案．

【解答】解：（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元．

由题意，得：．

解得：．

答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元．

（2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算．

理由：在“重百”超市购买所需费用为：0.9（50×4+15×10）=315（元），

在“沃尔玛”超市购买所需费用为：50×4+（15﹣4）×10=310（元），

∵310＜315，

∴选择在“沃尔玛”超市购买更合算．

【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

5．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）

（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．

（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．

①两种裁法共产生A型板材　2m+n　张，B型板材　m+2n　张（用m、n的代数式表示）；

②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是　24或27或30　个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）

【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；

（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；

②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．

【解答】解：由题意得：，

解得；

（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，

所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），

由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，

所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；

②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．

故答案为：2m+n；m+2n；24或27或30．

【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．

6．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40千克，了解这些蔬菜的种植成本共42元，以及如下信息：

（1）采摘的黄瓜和茄子各多少千克？

（2）如果采摘的黄瓜和茄子全部卖完，总共能赚多少钱？

【分析】（1）设他当天采摘黄瓜x千克，茄子y千克，根据采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，列出方程，求出x的值，即可求出答案；

（2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数．

【解答】解：（1）设采摘黄瓜x千克，茄子y千克．根据题意，得

，

解得．

答：采摘的黄瓜和茄子各30千克、10千克；

（2）30×（1.5﹣1）+10×（2﹣1.2）=23（元）．

答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．