2020-2021学年湖北省黄冈市麻城市某校初二（下）3月月考数学试卷

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这是一份2020-2021学年湖北省黄冈市麻城市某校初二（下）3月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子是最简二次根式的是( )
A.20B.7C.0.5D.13

2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )
A.1，2，3B.1，2，5C.3，4，5D.4，5，6

3. 二次根式a−2在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a>2C.0
4. 如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1=1，S2=3，S5=2，S6=4，则S3+S4=（）

A.10B.9C.8D.7

5. 下列二次根式的运算：①2×6=23，②18−8=2，③25=255，④(−2)2=−2；其中运算正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个

6. 若a<3，化简a2−6a+9+|4−a|的结果是( )
A.−1B.1C.7−2aD.2a−7

7. 如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是( )km．

A.5B.10C.15D.25

8. △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是( )
A.32B.42C.37或42D.42或32

9. 在化简x−yx+y时，甲、乙两位同学的解答如下：( )
甲：x−yx+y=(x−y)(x−y)(x+y)(x−y)=(x−y)(x−y)(x)2−(y)2=x−y
乙：x−yx+y=(x)2−(y)2x+y=(x−y)(x+y)x+y=x−y．
A.两人解法都对B.甲错乙对C.甲对乙错D.两人都错

10. 如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m后往东一拐仅走0.5m就到达了B处，则点A与点B之间的直线距离是( )

A.10mC.7m
二、填空题

若(x − 3)2=3−x，则x的取值范围是________．

若一直角三角形的两边长为4、5，则以第三边为边长的正方形的面积为________.

当a=________时，最简二次根式133a−2和2a+4可以合并．

对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下： a※b=a⋅b+ab，那么12※4=________．

在Rt△ABC中， ∠C=90∘，BC=12cm，AB=13cm，则AB边上的高为________cm．

已知x=3+2，y=3−2，则x3y+xy3=________．

如图，是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要________m．

如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分外角∠ACD，且EF//BC交AC于M，若CM=4，则CE2+CF2=________．

三、解答题

计算．
(1)2+18−32;

(2)23+623−6；

(3)48÷3−12×12+24；

(4)2×6−3+12.

先化简，再求值：a2−b2a2−2ab+b2+ab−a÷b2a2−ab，其中a，b满足a+1+|b−3|=0．

如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为点E，
求证：AC2=AE2−BE2．

如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？

已知a、b、c满足2a+b−4+|a−c+1|=b−c+c−b，求a+b+c的平方根．

阅读下列解题过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1；
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2；
14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3；⋯⋯则：
(1)化简：110+9；

(2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子1n+n−1=________；

(3)利用这一规律计算：(12 + 1 + 13 + 2 + 14 + 3 + ⋯ + 12020 + 2019)(2020 + 1)的值．

如图， △ABC中， ∠ACB=90∘,AB=10cm,BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm 的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒 t>0 .

(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；

(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时， △BCP是以BC为腰的等腰三角形．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省黄冈市麻城市某校初二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
最简二次根式
【解析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】
解：A，20=25，故此选项错误；
B，7是最简二次根式，故此选项正确；
C，0.5=12=22，故此选项错误；
D， 13=33，故此选项错误.
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A，12+(3)2=22，故是直角三角形，故A不符合题意；
B，12+22=(5)2，故是直角三角形，故B不符合题意；
C，32+42=52，故是直角三角形，故C不符合题意；
D，42+52≠62，故不是直角三角形，故D符合题意.
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
二次根式的被开方数是非负数，aa≥0叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：依题意，得a−2≥0，解得a≥2.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
根据图形和勾股定理，可以得到S1+S2=S3 ，同理可得，S5+S6=S4，然后根据S1=1，S2=3，S5=2，S6=4，即可得到S3+S4的值，本题得以解决．
【解答】
解：如图所示，
∵ S1=a2，S2=b2，S3=c2，
a2+b2=c2，
∴ S1+S2=S3，
同理可得，S5+S6=S4，
∵ S1=1，S2=3，S5=2，S6=4，
∴ S3+S4=1+3+2+4=4+6=10.
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
由二次根式的性质与化简、运算得出①②③正确，④不正确，即可得出结论．
【解答】
解：①2×6=23，正确；
②18−8=32−22=2，正确；
③25=255，正确；
④(−2)2=2，不正确.
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
二次根式的性质与化简
绝对值
【解析】
根据二次根式的性质以及绝对值的意义化简即可．
【解答】
解：∵ a<3，
∴ a2−6a+9+|4−a|
=|a−3|+|4−a|
=3−a+(4−a)
=3−a+4−a
=7−2a．
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】
解：设AE=x，则BE=25−x,
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=152+25−x2，
由题意可知：DE=CE,
所以，102+x2=152+25−x2，
解得：x=15km，
所以，AE的长是15km．
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
三角形的分类
【解析】
本题应分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】
解：此题应分两种情况说明：
如图(1)，当△ABC为锐角三角形时，
在Rt△ABD中，
BD=AB2−AD2=152−122=9，
在Rt△ACD中，
CD=AC2−AD2=132−122=5,
∴ BC=5+9=14,
∴ △ABC的周长为：15+13+14=42；
如图(2)，当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，
BD=AB2−AD2=152−122=9，
在Rt△ACD中，
CD=AC2−AD2=132−122=5，
∴ BC=9−5=4．
∴ △ABC的周长为：15+13+4=32,
∴ 当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；
当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
综上所述，△ABC的周长是42或32．
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
分母有理化
【解析】
分别对甲和乙的过程进行判断，注意分母有理化时要判断x≠y．
【解答】
解：甲进行分母有理化时不能确定x−y≠0，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；
乙分子因式分解，再与分母约分，故乙正确．
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
如图，过点BC⊥AD于点C，先求出AC、BC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长即可．
【解答】
解：如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则AC=4−2−0.5=2.5(m)，
BC=4.5+1.5=6(m),
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=6.5(m).
故选D.
二、填空题
【答案】
x≤3
【考点】
二次根式的性质与化简
【解析】
根据二次根式的性质得出3−x≥0，求出即可．
【解答】
解：∵ (x − 3)2=3−x，
∴ 3−x≥0，
解得：x≤3.
故答案为：x≤3.
【答案】
41或9
【考点】
勾股定理
【解析】
分两种情况考虑：若5为直角边，利用勾股定理求出斜边；若5为斜边，利用勾股定理求出第三边，分别求出以第三边为边长的正方形面积即可．
【解答】
解：分两种情况考虑：若5为直角边，根据勾股定理得：斜边为52+42=41，此时第三边为边长的正方形面积为41；
若5为斜边，根据勾股定理得：第三边为52−42=9=3，此时第三边为边长的正方形面积为9，
综上，以第三边为边长的正方形面积为41或9．
故答案为：41或9．
【答案】
3
【考点】
同类二次根式
【解析】
两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到3a−2=a+4，然后解方程即可．
【解答】
解：∵ 最简二次根式133a−2和2a+4可以合并，
∴ 3a−2=a+4，
解得a=3，
∴ 当a=3时，最简二次根式133a−2和2a+4可以合并．
故答案为：3．
【答案】
53
【考点】
定义新符号
二次根式的混合运算
【解析】
根据运算法则，把12※4化为12⋅4+124，再计算即可．
【解答】
解：由新运算法则得
12※4
=12×4+124
=23×2+3
=53．
故答案为：53．
【答案】
6013
【考点】
三角形的面积
勾股定理
【解析】
根据勾股定理及直角三角形的面积公式求解即可．
【解答】
解：∵ Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=12cm，AB=13cm，
∴ AC=AB2−BC2=5（cm），设AB边上的高为ℎ，
由三角形的面积公式得到12×5×12=12×13ℎ，
解得ℎ=6013cm,
∴ AB边上的高是6013cm．
故答案为：6013.
【答案】
10
【考点】
二次根式的化简求值
完全平方公式
【解析】
由已知得x+y=23，xy=1，把x3y+xy3分解因式再代入计算．
【解答】
解：∵ x=3+2，y=3−2，
∴ x+y=23，xy=1，
∴ x3y+xy3=xy(x2+y2)
=xy[(x+y)2−2xy]
=(23)2−2
=10．
故答案为：10.
【答案】
7.5
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】
解：将圆柱表面展开呈长方形，
则螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长，
设这条花带至少需要xm，
∵圆柱高4.5m，底面周长2m，
∴ x2=2×32+4.52=56.25，
解得x=7.5，
故花带长至少是7.5m．
故答案为：7.5．
【答案】
64
【考点】
勾股定理
角平分线的定义
【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2，即可得出结果．
【解答】
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，
即∠ECF=12∠ACB+∠ACD=90∘，
又∵EF//BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，
∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=4，
∴EF=8，
由勾股定理得： CE2+CF2=EF2=64．
故答案为：64．
三、解答题
【答案】
解：(1)2+18−32
=2+32−42=0．
(2)(23+6)(23−6)
=(23)2−(6)2
=12−6=6．
(3)48÷3−12×12+24
=16−6+26
=4+6．
(4)2×6−(3+1)2
=12−(3+1+23）
=23−4−23
=−4．
【考点】
二次根式的性质与化简
二次根式的加法
平方差公式
二次根式的混合运算
完全平方公式
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)2+18−32
=2+32−42=0．
(2)(23+6)(23−6)
=(23)2−(6)2
=12−6=6．
(3)48÷3−12×12+24
=16−6+26
=4+6．
(4)2×6−(3+1)2
=12−(3+1+23）
=23−4−23
=−4．
【答案】
解：原式=a+ba−ba−b2−aa−b⋅aa−bb2
=ba−b⋅aa−bb2=ab.
∵ a+1+|b−3|=0，
∴ a+1=0,b−3=0，
解得a=−1，b=3，
当a=−1，b=3时，原式=−13=−33．
【考点】
非负数的性质：绝对值
分式的化简求值
非负数的性质：算术平方根
【解析】
根据分式的混合运算法则化简分式，根据非负数的性质求出a、b，代入计算即可．
【解答】
解：原式=a+ba−ba−b2−aa−b⋅aa−bb2
=ba−b⋅aa−bb2=ab.
∵ a+1+|b−3|=0，
∴ a+1=0,b−3=0，
解得a=−1，b=3，
当a=−1，b=3时，原式=−13=−33．
【答案】
证明：∵ ∠C=90∘，
∴AC2=AD2−DC2，
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD，
∴ AC2=AD2−BD2，
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEA=∠DEB=90∘，
∴ AD2=AE2+ED2，BE2=BD2−ED2，
∴ AC2=AE2+ED2−BD2=AE2−BD2−ED2=AE2−BE2．
【考点】
勾股定理
【解析】
根据勾股定理可以得到解答．
【解答】
证明：∵ ∠C=90∘，
∴AC2=AD2−DC2，
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD，
∴ AC2=AD2−BD2，
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEA=∠DEB=90∘，
∴ AD2=AE2+ED2，BE2=BD2−ED2，
∴ AC2=AE2+ED2−BD2=AE2−BD2−ED2=AE2−BE2．
【答案】
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB=BC2+AC2=82+62=10．
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴ BE=10−6=4，∠DEB=90∘．
设DC=x，则BD=8−x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得42+x2=(8−x)2．
解得x=3．
∴ CD=3．
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
【解析】
首先由勾股定理求得AB＝10，然后由翻折的性质求得BE＝4，设DC＝x，则BD＝8−x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB=BC2+AC2=82+62=10．
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴ BE=10−6=4，∠DEB=90∘．
设DC=x，则BD=8−x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得42+x2=(8−x)2．
解得x=3．
∴ CD=3．
【答案】
解：由题意得，b−c≥0且c−b≥0，
所以，b≥c且c≥b，
所以，b=c，
所以，等式可变为2a+b−4+|a−b+1|=0，
由非负数的性质得，2a+b−4=0,a−b+1=0,解得a=1,b=2,
所以，c=2，
a+b+c=1+2+2=5，
所以，a+b+c的平方根是±5．
【考点】
非负数的性质：绝对值
平方根
非负数的性质：算术平方根
二次根式的性质与化简
【解析】
根据被开方数大于等于0列式求出b=c，再根据非负数的性质列出方程组求出a、b，然后相加再利用平方根的定义解答．
【解答】
解：由题意得，b−c≥0且c−b≥0，
所以，b≥c且c≥b，
所以，b=c，
所以，等式可变为2a+b−4+|a−b+1|=0，
由非负数的性质得，2a+b−4=0,a−b+1=0,解得a=1,b=2,
所以，c=2，
a+b+c=1+2+2=5，
所以，a+b+c的平方根是±5．
【答案】
解：(1)110 + 9 = 10 − 9(10 + 9)(10 − 9)
= 10 − 9
= 10 − 3.
n−n−1
(3)原式=(2−1+3−2+⋯+2020−2019)(2020+1)
=(2020−1)(2020+1)
=2020−1
=2019.
【考点】
分母有理化
规律型：数字的变化类
二次根式的混合运算
平方差公式
【解析】
（1）可分母有理化也可利用上面例的规律；
（2）可分母有理化也可利用上面例的规律；
（3）利用上面的规律计算得结果．
【解答】
解：(1)110 + 9 = 10 − 9(10 + 9)(10 − 9)
= 10 − 9
= 10 − 3.
(2)原式 = n − n − 1(n + n − 1)(n − n − 1)
= n − n − 1n − (n − 1)
= n − n − 1.
故答案为：n − n − 1.
(3)原式=(2−1+3−2+⋯+2020−2019)(2020+1)
=(2020−1)(2020+1)
=2020−1
=2019.
【答案】
解：(1)点P在AC上，∵ ∠ACB=90∘,BC=6,AB=10，
∴ AC=8，AP=4t,CP=8−4t.
又∵ PA=PB，∴ 4t2=62+8−4t2，
解得t=2516 .
(2)点P在∠BAC的角平分线上，作PH⊥AB，
∴ PC=PH=4t−8,PB=14−4t，可证△ACP≅△AHP，
∴ AH=AC=8，∴ BH=2，
在Rt△BPH中， BH2+PH2=BP2，
即22+4t−82=14−4t2，解得t=83 .
(3)①当CB=CP且点P在AC上时，如图，
此时AP=AC−PC=2，∴ t=24=12；
②当CB=CP且点P在AB上时，作CH⊥AB ，如图，
则有 PH=BH，由
S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，可得CH=4.8，
由勾股定理则有BH=3.6，所以PB=7.2，
由已知则有BP=4t−14，
所以4t−14=7.2，解得t=5310；
③当BC=BP时，此时BP=4t−14，所以4t−14=6，解得t=5，
综上可知，当t为12,5310或5时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
【考点】
勾股定理
动点问题
角平分线的性质
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
【解析】
1
（2）点P在∠BAC的角平分线上，作PH⊥AB，
∴ PC=PH=4t−8,PB=14−4t，可证△ACP≅ΔAP，∴ AH=BC=8，∴ BH=2，在Rt△BPH中， BH2+PH2=BP2，即22+4t−82=14−4t2，t=83 .
1
【解答】
解：(1)点P在AC上，∵ ∠ACB=90∘,BC=6,AB=10，
∴ AC=8，AP=4t,CP=8−4t.
又∵ PA=PB，∴ 4t2=62+8−4t2，
解得t=2516 .
(2)点P在∠BAC的角平分线上，作PH⊥AB，
∴ PC=PH=4t−8,PB=14−4t，可证△ACP≅△AHP，
∴ AH=AC=8，∴ BH=2，
在Rt△BPH中， BH2+PH2=BP2，
即22+4t−82=14−4t2，解得t=83 .
(3)①当CB=CP且点P在AC上时，如图，
此时AP=AC−PC=2，∴ t=24=12；
②当CB=CP且点P在AB上时，作CH⊥AB ，如图，
则有 PH=BH，由
S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，可得CH=4.8，
由勾股定理则有BH=3.6，所以PB=7.2，
由已知则有BP=4t−14，
所以4t−14=7.2，解得t=5310；
③当BC=BP时，此时BP=4t−14，所以4t−14=6，解得t=5，
综上可知，当t为12,5310或5时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．