2020-2021学年湖北省咸宁市某校初二（下）3月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省咸宁市某校初二（下）3月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.8xB.x2+4C.m2D.4a

2. 以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是 ( )
A.1，2，3B.5，12，13C.1，1，3D.6，7，8

3. 下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A.对角互补B.邻角互补C.对角相等D.对边相等

4. 当1A.−1B.1C.2a−3D.3−2a

5. 在△ABC中，AB=10，AC=210，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A.10B.8C.6或10D.8或10

6. 如果−12−x是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A.x≠2的实数B.x<2的实数
C.x>2的实数D.x>0且x≠2的实数

7. 如图，在▱ABCD中，∠BAD=120∘，连接BD，作AE // BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是 （ ）

A.2B.1C.3D.2

8. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14a2b2−a2+b2−c222．现已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△ABC的面积为( )
A.1B.16C.3D.315
二、填空题

计算：20+455=________.

如图，字母A所代表的正方形的面积为________.


实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a−b|−a2的结果是________.


课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出3，5，⋯线段(如图所示)”即：OA=1，过A作AA1⊥OA且AA1=1，根据勾股定理，得OA1=2，再过A1作A1A2⊥OA1且A1A2=1，得OA2=3；⋯以此类推，得OA2017=________．


已知32n+16是整数，则n的最小值为________．

如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD 交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则 △OCD 的周长为________.


在平行四边形ABCD中，∠A=30∘，AD=43，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于 ________.

如图，在△ABC中，∠ACB=60∘，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是________．

三、解答题


(1)计算：2021−30+|3−12|−63；

(2)化简：1−1x2−2x+1÷x2−2x−1−2.

先化简，再求值：(yx−y−y2x2−y2)÷xxy+y2，其中x=3+1，y=3−1．

如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=15，AC=17，D是AC的中点，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，已知DE=7.5．
(1)求CE的长度；

(2)求△ABE的面积；

(3)求AE的长度．

一架梯子AB的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC为7米．
(1)这个梯子顶端离地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？

如图，∠AOB=90∘ ，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？


如图，AD=2，AB=4，∠DAB=45∘，BD=BC，BD⊥BC，求AC的长度．


阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533 (一)，
23=2×33×3=63(二)，
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1(三)，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：
23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1(四)，
(1)请用不同的方法化简25+3．
参照(三)式得25+3=________；
参照(四)式得25+3=________．

(2)化简：13+1+15+3+17+5+...+12n+1+2n−1．

如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC=15，AB=25，点D为斜边上动点．
(1)如图1，求BC的长；

(2)如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；

(3)如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD.
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省咸宁市某校初二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
最简二次根式
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】
解：8x=22x ，m2=2m2 ，4a=4aa不是最简二次根式；
x2+4 是最简二次根式.
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】
解：A，因为12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形；
B，因为52+122=132，所以三条线段能组成直角三角形；
C，因为12+12≠(3)2，所以三条线段不能组成直角三角形；
D，因为62+72≠82，所以三条线段不能组成直角三角形；
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
根据平行四边形的性质得到，平行四边形邻角互补，对角相等，对边相等．而对角却不一定互补．
【解答】
解：根据平行四边形性质可知：B，C，D均是平行四边形的性质，只有A不是．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
二次根式的性质与化简
绝对值
【解析】
利用a的取值范围，进而去绝对值以及开平方得出即可．
【解答】
解：∵ 1∴ (a−2)2+|1−a|
=2−a+a−1
=1.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
【解析】
分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】
解：如图1所示，
AB=10，AC=210，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=AB2−AD2=8，CD=AC2−AD2=2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，
AB=10，AC=210，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=AB2−AD2=8，CD=AC2−AD2=2，
此时BC=BD−CD=8−2=6，
则BC的长为6或10．
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解答】
解：根据题意得：−12−x≥0且2−x≠0
∴ x>2.
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的性质与判定
直角三角形的性质
【解析】
证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE，证出CE=2AB，求出∠CEF=30∘，得出CE=2CF=2，即可得出AB的长．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120∘，
∵ AE // BD，
∴ 四边形ABDE是平行四边形，
∴ AB=DE，
∴ CE=2AB，
∵ ∠BCD=120∘，
∴ ∠ECF=60∘，
∵ EF⊥BC，
∴ ∠CEF=30∘，
∴ CE=2CF=2，
∴ AB=1.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
二次函数的应用
二次根式的相关运算
【解析】
直接代入题目中的三角形面积公式求解即可.
【解答】
解：∵ △ABC的三条边分别为：1，2，5，
∴ 三角形的面积为三角形的面积为
S=1412×22−12+22−5222=144−0=1.
故选A.
二、填空题
【答案】
5
【考点】
二次根式的相关运算
【解析】
利用根式的运算求解即可.
【解答】
解：20+455=205+455=205+455=4+9=2+3=5.
故答案为：5.
【答案】
64
【考点】
勾股定理
勾股定理的综合与创新
【解析】
根据勾股定理的几何意义解答．
【解答】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以A=289−225=64．
故答案为：64．
【答案】
b
【考点】
绝对值
在数轴上表示实数
二次根式的性质与化简
【解析】
首先能根据数轴看出：a<0，b>0，且a的绝对值大于b的绝对值，化简a−b和a2即可．
【解答】
解：根据数轴可知：
a<0，b>0，且|a|>|b|，
∴ |a−b|−a2，
=−(a−b)−(−a)，
=b，
故答案为：b．
【答案】
2018
【考点】
勾股定理
规律型：图形的变化类
【解析】
利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案．
【解答】
解：∵△OAA1为直角三角形，OA=1，AA1=1，
∴OA1=12+12=2；
∵△OA1A2为直角三角形，A1A2=1，
OA1=2，
∴OA2=(2)2+1=3；
⋯，
∴OA2017=(2017)2+1=2018．
故答案为：2018．
【答案】
−12
【考点】
二次根式的性质与化简
【解析】
根据二次根式的值是整数，可得二次根式的被开方数是能开方的非负数，可得答案．
【解答】
解：32n+16=16(2n+1)
当n=−12时，32n+16=0，
故答案为：−12．
【答案】
14
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
利用平行四边形的性质得出结论
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=8，BD=10，AB=5，
∴OA=OC=4，OB=OD=5，AB=CD=5，
∴C△OCD=CD+OC+OD=14.
故答案为：14.
【答案】
163或83
【考点】
勾股定理
平行四边形的面积
含30度角的直角三角形
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可．
【解答】
解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中， ∠A=30∘，AD=43，
∴ DE=12AD=23，AE=AD2−DE2=6，
在Rt△BDE中，BD=4，
∴ BE=BD2−DE2=42−232=2，
当△ABD为锐角三角形时，如图1，
AB=6+2=8，
∴ 平行四边形ABCD的面积
=AB⋅DE=8×23=163；
当△ABD为锐角三角形时，如图2，
AB=6−2=4，
∴ 平行四边形ABCD的面积
=AB⋅DE=4×23=83．
故答案为： 163或83．
【答案】
32
【考点】
三角形中位线定理
等腰三角形的性质
勾股定理
【解析】
延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=12AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
【解答】
解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵ DE平分△ABC的周长，
∴ ME=EB.
又AD=DB，
∴ DE=12AM，DE // AM.
∵ ∠ACB=60∘，
∴ ∠ACM=120∘.
∵ CM=CA，
∴ ∠ACN=60∘，AN=MN，
∴ ∠CAN=30∘，
∴ CN=12AC=12，
根据勾股定理得AN=32，
∴ AM=3，
∴ DE=32.
故答案为：32.
三、解答题
【答案】
解：(1)2021−30+|3−12|−63
=1+12−3−23
=1+23−3−23
=−2．
(2)1−1x2−2x+1÷x2−2x−1−2
=1−1x−12÷x2−2−2x+2x−1
=xx−2x−12⋅x−1xx−2
=1x−1.
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
二次根式的性质与化简
绝对值
分式的混合运算
【解析】
(1)利用零指数幂，根式和绝对值的运算求解即可；
(2)利用分式的运算法则求解即可.
【解答】
解：(1)2021−30+|3−12|−63
=1+12−3−23
=1+23−3−23
=−2．
(2)1−1x2−2x+1÷x2−2x−1−2
=1−1x−12÷x2−2−2x+2x−1
=xx−2x−12⋅x−1xx−2
=1x−1.
【答案】
解：(yx−y−y2x2−y2)÷xxy+y2
=[y(x+y)(x+y)(x−y)−y2(x+y)(x−y)]÷xy(x+y)
=xy(x+y)(x−y)⋅y(x+y)x
=y2x−y，
当x=3+1，y=3−1时，
原式=(3−1)22=2−3．
【考点】
列代数式求值
分式的化简求值
【解析】
根据分式四则运算的顺序和法则进行计算，最后代入求值即可．
【解答】
解：(yx−y−y2x2−y2)÷xxy+y2
=[y(x+y)(x+y)(x−y)−y2(x+y)(x−y)]÷xy(x+y)
=xy(x+y)(x−y)⋅y(x+y)x
=y2x−y，
当x=3+1，y=3−1时，
原式=(3−1)22=2−3．
【答案】
解：(1)∵ ∠B=90∘，AB=15，AC=17，
∴ BC=172−152=8，
∵ D是AC的中点，且DE⊥BC，
∴ DE // AB，则点E是BC的中点，
∴ EC=BE=12BC=4.
(2)△ABE的面积为：12×BE×AB=12×4×15=30.
(3)在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=152+42=241．
【考点】
勾股定理
三角形中位线定理
三角形的面积
【解析】
(1)直接利用勾股定理得出BC的长，进而利用平行线分线段成比例定理得出EC的长.
(2)直接利用直角三角形面积求法得出答案.
(3)直接利用勾股定理得出AE的长．
【解答】
解：(1)∵ ∠B=90∘，AB=15，AC=17，
∴ BC=172−152=8，
∵ D是AC的中点，且DE⊥BC，
∴ DE // AB，则点E是BC的中点，
∴ EC=BE=12BC=4.
(2)△ABE的面积为：12×BE×AB=12×4×15=30.
(3)在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=152+42=241．
【答案】
解：(1)水平方向为7米，且梯子长度为25米，
则在梯子与底面、墙面构成的直角△ABC中，
梯子顶端与地面距离为AC=252−72=24米.
答：这个梯子顶端离地面有24米高.
(2)设梯子的底部在水平方向滑动了x米，
则24−42+7+x2=252，
7+x2=252−202=225，
∴7+x=15，则x=8，
答：梯子在水平方向移动了8米．
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
在直角三角形中，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求出另一条直角边；
根据求得的数值减去下滑的4米即可求得新直角三角形中直角边，根据梯子长度不变的等量关系即可解题．
【解答】
解：(1)水平方向为7米，且梯子长度为25米，
则在梯子与底面、墙面构成的直角△ABC中，
梯子顶端与地面距离为AC=252−72=24米.
答：这个梯子顶端离地面有24米高.
(2)设梯子的底部在水平方向滑动了x米，
则24−42+7+x2=252，
7+x2=252−202=225，
∴7+x=15，则x=8，
答：梯子在水平方向移动了8米．
【答案】
解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
即BC=CA，设AC为x，则OC=45−x，
由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵ OA=45，OB=15，即152+45−x2=x2，
解方程得出x=25cm.
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的长．
【解答】
解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
即BC=CA，设AC为x，则OC=45−x，
由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵ OA=45，OB=15，即152+45−x2=x2，
解方程得出x=25cm.
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．
【答案】
解：如图，作DE⊥AB于E， CF⊥AB于F．
在Rt△ADE中，
∵ AD=2，∠DAE=45∘， ∠AED=90∘，
∴ AE=ED=2，
∵ AB=4，∴ BE=4−2，
∵ ∠DBC=90∘，
∴ ∠DBE+∠EDB=90∘，
∠CBF+∠DBE=90∘,
∠EDB=∠CBF，
在△EDB和△FBC中，
∠EDB=∠CBF,∠DEB=∠CFB,BD=BC,
∴ △EDB≅△FBC，
∴ BF=DE=2，
CF=EB=4−2，
∴ AF=4+2，
在Rt△ACF中，AC=AF2+CP2
=4+22+4−22=6．
【考点】
勾股定理
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
作DE⊥AB于E， CF⊥AB于F．首先求出DE、EB，再证明△EDB≅△FBC，推出BF=DE=2，CF=EB=4−2，推出AF=4+2，在Rt△ACF中，根据AC=AF2+CF2即可解决问题．
【解答】
解：如图，作DE⊥AB于E， CF⊥AB于F．
在Rt△ADE中，
∵ AD=2，∠DAE=45∘， ∠AED=90∘，
∴ AE=ED=2，
∵ AB=4，∴ BE=4−2，
∵ ∠DBC=90∘，
∴ ∠DBE+∠EDB=90∘，
∠CBF+∠DBE=90∘,
∠EDB=∠CBF，
在△EDB和△FBC中，
∠EDB=∠CBF,∠DEB=∠CFB,BD=BC,
∴ △EDB≅△FBC，
∴ BF=DE=2，
CF=EB=4−2，
∴ AF=4+2，
在Rt△ACF中，AC=AF2+CP2
=4+22+4−22=6．
【答案】
5−3,5−3
(2)原式=3−1(3+1)(3−1)+5−3(5+3)(5−3)+7−5(7+5)(7−5)
+...+2n+1−2n−1(2n+1+2n−1)(2n+1−2n−1)
=3−12+5−32+7−52+...+2n+1−2n−12
=2n+1−12．
【考点】
分母有理化
平方差公式
【解析】
(1)中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的.
(2)中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
【解答】
解：(1)25+3=2(5−3)(5+3)(5−3)=2(5−3)(5)2−(3)2=5−3，
25+3=(5)2−(3)25+3=(5+3)(5−3)5+3=5−3.
故答案为：5−3；5−3.
(2)原式=3−1(3+1)(3−1)
+5−3(5+3)(5−3)+7−5(7+5)(7−5)
+...+2n+1−2n−1(2n+1+2n−1)(2n+1−2n−1)
=3−12+5−32+7−52+...+2n+1−2n−12
=2n+1−12．
【答案】
解：(1)∵ AC⊥CB，AC=15，AB=25，
∴ BC=AB2−AC2=20.
(2)∵ AC⊥CB，AC=15，AB=25，
∴ BC=20.
∵ AE平分∠CAB，
∴ ∠EAC=∠EAD.
∵ AC⊥CB，DE⊥AB，
∴ ∠EDA=∠ECA=90∘.
∵ AE=AE，
∴ △ACE≅△AED(AAS)，
∴ CE=DE，AC=AD=15.
设CE=x，则BE=20−x，BD=25−15=10，
在Rt△BED中，∴ x2+102=20−x2，
∴ x=7.5，∴ CE=7.5.
(3)①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形，
∵ AC=15，
∴ AD=AC=15；
②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形，
∴ ∠DCA=∠CAD.
∵ ∠CAB+∠B=90∘，
∴ ∠DCA+∠BCD=90∘，
∴ ∠B=∠BCD，
∴ BD=CD，
∴ CD=BD=DA=12AB=12.5；
③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形，
如图，作CH⊥BA于点H，
则12AB×CH=12AC×BC，
∵ AC=15，BC=20，AB=25，
∴ CH=12.
在Rt△ACH中，AH=AC2−CH2=9.
∵ CD=AC，CH⊥BA，
∴ DH=HA=9，
∴ AD=18.
【考点】
勾股定理
角平分线的性质
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的判定与性质
【解析】
(1)利用勾股定理求解BC
（2）在Rt△ABC中，AC=15，AB=25，由勾股定理得BC=20，根据角平分线的性质得DE=DC，证得
ΔACE=ΔAED，AD=AC=15，BD=25−15=10，设CE=x，则BE=20−x，在在Rt△BED中，由勾股定理得x？+102=20−x2，解
得x=7.5，即CE=7.5．
（3）若△ACD为等腰三角形，分三种情况，即CD=AC、CD=AD或AD=AC，利用等腰三角形的三线合一性
质和三角形面积即可解答，难度不大
【解答】
解：(1)∵ AC⊥CB，AC=15，AB=25，
∴ BC=AB2−AC2=20.
(2)∵ AC⊥CB，AC=15，AB=25，
∴ BC=20.
∵ AE平分∠CAB，
∴ ∠EAC=∠EAD.
∵ AC⊥CB，DE⊥AB，
∴ ∠EDA=∠ECA=90∘.
∵ AE=AE，
∴ △ACE≅△AED(AAS)，
∴ CE=DE，AC=AD=15.
设CE=x，则BE=20−x，BD=25−15=10，
在Rt△BED中，∴ x2+102=20−x2，
∴ x=7.5，∴ CE=7.5.
(3)①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形，
∵ AC=15，
∴ AD=AC=15；
②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形，
∴ ∠DCA=∠CAD.
∵ ∠CAB+∠B=90∘，
∴ ∠DCA+∠BCD=90∘，
∴ ∠B=∠BCD，
∴ BD=CD，
∴ CD=BD=DA=12AB=12.5；
③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形，
如图，作CH⊥BA于点H，
则12AB×CH=12AC×BC，
∵ AC=15，BC=20，AB=25，
∴ CH=12.
在Rt△ACH中，AH=AC2−CH2=9.
∵ CD=AC，CH⊥BA，
∴ DH=HA=9，
∴ AD=18.