人教版 (新课标)必修1第四章 牛顿运动定律6 用牛顿定律解决问题（一）导学案

用牛顿运动定律解决问题(一)

一、牛顿第二定律的应用

物体的运动方向是否一定与物体所受合力的方向一致，为什么？

提示：不一定。物体的运动情况由物体所受的合外力和物体的初始状态共同决定。如物体以某一初速度v0冲上光滑斜面，合力方向沿斜面向下，而物体的运动方向沿斜面向上。所以受力情况决定了加速度，但与速度没有任何关系。

确定了运动和力的关系，把物体的运动情况与受力情况联系起来。

二、两类动力学问题

如图为小孩非常喜欢的滑梯，已知小孩与滑梯间的动摩擦因数和滑梯的倾角，小孩从滑梯上下滑过程中，小孩的加速度与小孩的质量有关吗？

提示：没有关系。

1．已知物体的受力情况，由牛顿第二定律求出物体的加速度，再通过运动学规律确定物体的运动情况。

2．已知物体的运动情况，根据运动学公式求出物体的加速度，再根据牛顿第二定律确定物体所受的力。

(1)根据物体加速度的方向可以判断物体所受合外力的方向。(√)

(2)根据物体加速度的方向可以判断物体受到的每个力的方向。(×)

(3)物体运动状态的变化情况是由它的受力决定的。(√)

(4)物体运动状态的变化情况是由它对其他物体的施力情况决定的。(×)

知识点一　从受力确定运动情况

1．由受力情况确定运动情况的基本思路：

分析物体的受力情况，求出物体所受的合外力，由牛顿第二定律求出物体的加速度；再由运动学公式及物体运动的初始条件确定物体的运动情况。流程图如下：

2．由受力情况确定运动情况的解题步骤：

(1)确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力分析图。

(2)根据力的合成与分解，求合力(包括大小和方向)。

(3)根据牛顿第二定律列方程，求加速度。

(4)结合物体运动的初始条件，选择运动学公式，求运动学量——任意时刻的位移和速度，以及运动时间等。

如图，汽车在高速公路上做匀加速直线运动，已知汽车与地面之间的动摩擦因数，如何计算汽车的运动情况？

提示：通过分析汽车的受力情况，根据牛顿第二定律求得加速度，然后由运动学公式求出汽车运动的位移、速度及时间等。

【典例】可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏。如图所示，有一企鹅在倾角为37°的倾斜冰面上，先以加速度a＝0.5 m/s2 从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，t＝8 s时，突然卧倒以肚皮贴着冰面向前滑行，最后退滑到出发点，完成一次游戏(企鹅在滑动过程中姿势保持不变)。若企鹅肚皮与冰面间的动摩擦因数μ＝0.25，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。g取10 m/s2，求：

(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小；

(2)企鹅在冰面滑动的加速度大小；

(3)企鹅退滑到出发点时的速度大小。(计算结果可用根式表示)

【解析】(1)在企鹅向上奔跑过程中：

x＝at2，解得x＝16 m。

(2)在企鹅卧倒以后将进行两个过程的运动，第一个过程从卧倒到最高点做匀减速运动，第二个过程是从最高点匀加速滑到最低点，两次过程根据牛顿第二定律分别有：mgsin37°＋μmgcos37°＝ma1，mgsin37°－μmgcos37°＝ma2，解得a1＝8 m/s2，a2＝4 m/s2。

(3)上滑位移x1＝＝1 m

退滑到出发点的速度v＝，

解得v＝2 m/s。

答案：(1)16 m

(2)上滑过程8 m/s2，下滑过程4 m/s2

(3)2 m/s

一个人从静止开始沿山坡向下滑雪(如图所示)，山坡的倾角θ＝30°，滑雪板与雪地的动摩擦因数是0.04，人不用雪杖，求5 s内滑下的路程和5 s末的速度大小。(g取10 m/s2，结果保留三位有效数字)

【解析】以人(包括滑雪板)为研究对象，受力情况如图所示。

将重力mg沿垂直于山坡方向和沿山坡方向分解，据平衡条件和牛顿第二定律列方程FN－mg cos θ＝0①

mg sin θ－Ff＝ma②

又因为Ff＝μFN③

由①②③式可得：a＝g(sin θ－μcos θ)

故x＝at2＝g(sin θ－μcos θ)t2＝×10×(－0.04×)×52 m≈58.2 m

v＝at＝10×(－0.04×)×5 m/s≈23.3 m/s。

答案：58.2 m　23.3 m/s

【加固训练】

1．A、B两物体以相同的初速度滑上同一粗糙水平面，若两物体的质量为mA>mB，两物体与粗糙水平面间的动摩擦因数相同，则两物体能滑行的最大距离xA与xB相比(　　)

A．xA＝xB　　 B．xA>xB

C．xA<xB      D．不能确定

【解析】选A。通过分析物体在水平面上滑行时的受力情况可以知道，物体滑行时受到的滑动摩擦力μmg为合外力，由牛顿第二定律知：μmg＝ma得：a＝μg，可见：aA＝aB，物体减速到零时滑行的距离最大，由运动学公式可得：v＝2aAxA，v＝2aBxB，又因为vA＝vB，aA＝aB，所以xA＝xB，A正确，B、C、D错误。

2．质量为4 kg的物体放在与水平面成30°角、足够长的粗糙斜面底端，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝，作用在物体上的外力与斜面平行，随时间变化的图象如图所示，外力作用在物体上的时间共8 s，根据所给条件(sin 30°＝，

cos 30°＝，g取10 m/s2)求：

(1)物体所受的摩擦阻力为多大？

(2)物体在0～4 s内的加速度为多少？运动的位移为多少？

(3)物体从运动到停止走过的总位移为多少？

【解析】(1)如图，对物体进行受力分析可得：

G1＝mg sin 30°＝20 N，

FN＝G2＝mg cos 30°＝20 N，

Ff＝μFN＝×20N＝20 N。

(2)由牛顿第二定律可得，0～4 s内物体的加速度：

a＝＝5 m/s2，

4 s时的速度：

v1＝at＝20 m/s，

0～4 s内位移：

x1＝at2＝40 m。

(3)4～6 s内拉力为0，物体匀减速运动，加速度：

a′＝＝m/s2＝－10 m/s2，

物体运动2 s速度恰好减为0，通过的位移：

x2＝t＝×2 m＝20 m，

6～10 s和0～4 s运动相同，

x3＝x1＝40 m，

10～12 s和4～6 s运动相同，

x4＝x2＝20 m，

由于G1＝Ff，故12 s后物体将静止在斜面上；

物体运动的总位移：x＝x1＋x2＋x3＋x4＝120 m。

答案：(1)20 N　(2)5 m/s2　40 m　(3)120 m

知识点二　从运动情况确定受力

1．由运动情况确定受力情况的基本思路：

分析物体的运动情况，由运动学公式求出物体的加速度，再由牛顿第二定律求出物体所受的合外力；再分析物体的受力情况，求出物体受到的作用力。流程图如下：

2．由运动情况确定受力情况的解题步骤：

(1)确定研究对象，对物体进行受力分析和运动分析，并画出物体的受力示意图。

(2)选择合适的运动学公式，求出物体的加速度。

(3)根据牛顿第二定律列方程，求出物体所受的合力。

(4)选择合适的力的合成与分解的方法，由合力和已知力求出待求的力。

在海滨游乐场里有一种滑沙运动。某人坐在滑板上从斜坡的高处由静止开始滑下，滑到斜坡底端后，沿水平的滑道再滑行一段距离停下来，相同的滑道、相同的装备、相同的姿势，不同体重的人在相同的位置加速度大小关系。

提示：沿斜面向下列方程为mg sin θ－μmg cos θ＝ma

得a＝g sin θ－μg cos θ

与体重无关，加速度相同

【典例】一辆汽车在恒定牵引力作用下由静止开始沿直线运动，4 s 内通过8 m的距离，此后关闭发动机，汽车又运动了2 s停止，已知汽车的质量m＝2×

103 kg，汽车运动过程中所受的阻力大小不变，求：

(1)关闭发动机时汽车的速度大小。

(2)汽车运动过程中所受到的阻力大小。

(3)汽车牵引力的大小。

【解析】(1)汽车开始做匀加速直线运动，则x0＝t1

解得v0＝＝4 m/s。

(2)汽车滑行减速过程中加速度a2＝＝－2 m/s2，

由牛顿第二定律得－Ff＝ma2

解得Ff＝4×103 N

(3)开始加速过程中加速度为a1，则x0＝a1t

由牛顿第二定律得F－Ff＝ma1

解得F＝Ff＋ma1＝6×103 N

答案：(1)4 m/s　(2)4×103 N　(3)6×103 N

　从运动情况确定受力的两点提醒

(1)由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合外力的方向，不能将速度的方向和加速度的方向混淆。

(2)题目中所求的力可能是合力，也可能是某一特定的力，求合力时，则F合＝ma，求某一分力时根据力的合成或分解列式求解。

质量为4 kg的物体在一恒定水平外力F作用下，沿水平面做直线运动，其速度与时间关系图象如图所示。g取10 m/s2，试求：

(1)恒力F的大小。

(2)物体与地面间的动摩擦因数μ。

【解析】由图象可知物体0～2 s做匀减速直线运动，设加速度大小为a1，2～4 s做反向匀加速直线运动，设加速度大小为a2。且水平恒力F与初速度方向相反。

由v ­ t图象得加速度大小分别为：

a1＝5 m/s2，a2＝1 m/s2

由牛顿第二定律得：

F＋μmg＝ma1，

F－μmg＝ma2

联立解得：F＝＝12 N

动摩擦因数μ＝＝0.2

答案：(1)12 N　(2)0.2

【加固训练】

某研究性学习小组利用力传感器研究小球与竖直挡板间的作用力，实验装置如图所示，已知斜面倾角为45°，光滑小球的质量m＝3 kg，力传感器固定在竖直挡板上。求：(g取10 m/s2)

(1)当整个装置静止时，力传感器的示数。

(2)当整个装置向右做匀加速直线运动时，力传感器示数为36 N，此时装置的加速度大小。

(3)某次整个装置在水平方向做匀加速直线运动时，力传感器示数恰好为0，此时整个装置的运动方向如何？加速度为多大？

【解析】(1)以小球为研究对象，设小球与力传感器静止时的作用力大小为F，小球与斜面间的作用力大小为FN，对小球受力分析如图所示，由几何关系可知：

F＝mg＝3×10 N＝30 N。

(2)竖直方向FNcos 45°＝mg；

水平方向F′－FNsin 45°＝ma；

解得：a＝2 m/s2。

(3)要使力传感器示数为0，则有：

FNcos 45°＝mg；FNsin 45°＝ma。

解得：a＝10 m/s2，方向向左

答案：(1)30 N　(2)2 m/s2

(3)方向向左，加速度大小为10 m/s2

【拓展例题】考查内容：牛顿第二定律与运动图象综合问题

【典例】如图甲，一物体以一定的初速度从斜面底端沿斜面向上运动，上升到最高点后又沿斜面滑下，某段时间的速度－时间图象如图乙所示，g取

10 m/s2，由此可知斜面倾角为(　　)

A．30°　　　 B．37°

C．53°      D．60°

【解析】选B。速度—时间图象的斜率表示加速度，则由图可知，沿斜面上升时的加速度大小为

a1＝m/s2＝8 m/s2①

沿斜面下滑时的加速度大小为

a2＝m/s2＝4 m/s2②

根据牛顿第二定律得：

上升时，有：a1＝③

下滑时，有：a2＝④

由①②③④解得：θ＝37°

B正确。

在游乐场，有一种大型游乐设施跳楼机，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，上升到离地面最大高度64 m处，然后由静止释放，开始下落过程可认为是自由落体运动，然后受到一恒定阻力而做匀减速运动，且下落到离地面4 m高处速度恰好减为零。已知游客和座椅总质量为1 500 kg，下落过程中最大速度为20 m/s，重力加速度g取10 m/s2。

探究：(1)游客下落过程的总时间。

(2)恒定阻力的大小。

【解析】(1)设下落的最大速度为vm＝20 m/s

由v＝2gh1，vm＝gt1

可知，游客下落过程中自由落体过程对应的时间t1＝2 s

下落高度h1＝20 m

设游客匀减速下落过程的高度为h2，加速度为a2

则v＝2a2h2，

h2＝64 m－4 m－h1＝40 m

可得a2＝5 m/s2

由vm－a2t2＝0可得游客匀减速下落的时间t2＝4 s

游客下落过程的总时间

t＝t1＋t2＝6 s。

(2)设匀减速过程中所受阻力大小为Ff

由牛顿第二定律可得：Ff－mg＝ma2

解得Ff＝m(a2＋g)＝2.25×104 N。

答案：(1)6 s　(2)2.25×104 N

粉刷墙壁是我们装修房子的一个必要环节，如图所示，楼梯口一倾斜的天花板与水平地面成θ＝37°角，一装潢工人手持木杆绑着刷子粉刷天花板，工人所持木杆对刷子的作用力始终保持竖直向上，使刷子沿天花板以a＝2 m/s2的加速度向上运动。刷子的质量为m＝0.5 kg，刷子可视为质点，刷子与天花板间的动摩擦因数μ＝0.5，已知sin37°＝0.6，g取10 m/s2，

探究：(1)刷子和天花板摩擦力为多大？

(2)工人所加的外力F是多大？

【解析】对刷子进行受力分析，正交分解，如图所示，

由于刷子匀加速运动，列方程可得

x轴：F sin θ－mg sin θ－Ff＝ma

y轴：mg cos θ＋FN＝F cos θ

Ff＝μFN

联立可得Ff＝2 N，F＝10 N。

答案：(1)2 N　(2)10 N

1．一小球从空中由静止下落，已知下落过程中小球所受阻力与速度的平方成正比，设小球离地足够高，则(　　)

A．小球先加速后匀速　　 B．小球一直在做加速运动

C．小球在做减速运动     D．小球先加速后减速

【解析】选A。设小球受到的阻力为Ff＝kv2，在刚开始下落一段时间内阻力是从零增加，mg>Ff，向下做加速运动，过程中速度在增大，所以阻力在增大，当mg＝Ff时，合力为零，做匀速直线运动，速度不再增大，故小球的速度先增大后匀速，A正确。

【加固训练】

如图所示为两个等高的光滑斜面AB、AC，将一可视为质点的滑块由静止在A点释放。沿AB斜面运动，运动到B点时所用时间为tB；沿AC斜面运动，运动到C点所用时间为tC，则(　　)

A．tB＝tC　　　 B．tB>tC

C．tB<tC      D．无法比较

【解析】选C。设斜面倾角为θ，对m利用牛顿第二定律解得加速度a＝g sin θ，解几何三角形得位移x＝，据x＝at2得t＝＝＝，C正确。

2.如图所示，质量m0＝60 kg的人通过定滑轮将质量为m＝10 kg的货物提升到高处。滑轮的质量和摩擦均不计，货物获得的加速度a＝2 m/s2，则人对地面的压力为(g取10 m/s2)(　　)

A．120 N　　　B．480 N　　　C．600 N　　　D．720 N

【解析】选B。对货物，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，对人根据平衡条件有F＋FN＝m0g，由以上两式得FN＝480 N。

3.如图所示，弹簧测力计外壳质量为m0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩处吊着一质量为m的重物，现用一方向竖直向上的外力F拉着弹簧测力计，使其向上做匀加速运动，则弹簧测力计的示数为(　　)

A．mg       B．mg

C．F     D．F

【解析】选D。设弹簧测力计的示数为FT，以弹簧测力计和重物为研究对象，根据牛顿第二定律有F－(m＋m0)g＝(m＋m0)a，解得a＝－g。以重物为研究对象，根据牛顿第二定律有FT－mg＝ma，由以上几式可得FT＝F

4．(教材二次开发·【问题与练习】T3变式题)民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外情况的客机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面迅速滑行到地面上来。若某型号的客机紧急出口离地面高度为4.0 m，构成斜面的气囊长度为5.0 m。要求紧急疏散时，

乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过2.0 s(g取10 m/s2)，则：

(1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？

(2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？

【解析】(1)由题意可知，h＝4.0 m，L＝5.0 m，t＝2.0 s。

设斜面倾角为θ，则sin θ＝

乘客沿气囊下滑过程中，由L＝at2得a＝，代入数据得a＝2.5 m/s2。

(2)在乘客下滑过程中，对乘客受力分析如图所示，沿x轴方向有

mg sin θ－Ff＝ma

沿y轴方向有FN－mg cos θ＝0

又Ff＝μFN，联立方程解得

μ＝≈0.92。

答案：(1)2.5 m/s2　(2)0.92