13、功和能：轻绳和轻杆牵引物体问题-2021-2022年度高考二轮培优专题(解析版）

这是一份13、功和能：轻绳和轻杆牵引物体问题-2021-2022年度高考二轮培优专题(解析版），共14页。试卷主要包含了轻绳牵引物体问题等内容，欢迎下载使用。

例1、如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．环刚释放时轻绳中的张力等于2mg
B．环到达B处时，重物上升的高度为(eq \r(2)－1)d
C．环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为eq \f(\r(2),2)
D．环减少的机械能大于重物增加的机械能
【解析】：
环释放后重物加速上升，故绳中张力一定大于2mg，A项错误；环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(eq \r(2)－1)d，B项正确；如图所示，将B处环速度v进行正交分解，重物上升的速度与其分速度v1大小相等，v1＝vcs 45°＝eq \f(\r(2),2)v，所以，环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于eq \r(2)，C项错误；环和重物组成的系统机械能守恒，故D项错误．
【答案】B
练习1.1(多选)质量为2m的两个相同小球A、B穿在水平光滑细杆上，用两根长度为L的轻绳与C球相连，已知C的质量为m，一开始A、B相距2L，现将系统从静止释放，A与B相碰前瞬间，A、B球的速度大小分别为vA、vB，下列说法正确的是( )
A．vA＝vB＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)
B．vA＝vB＝eq \r(2gL)
C．从释放到A、B两球碰前，两轻绳对C球所做的总功为－mgL
D．当A、B间距为L的时候，A、B、C三球速度大小相等
【解析】由题图可知，在同一时刻两绳的拉力大小总相等，因此系统由静止释放到A、B相碰过程，绳分别对A、B做的功相等，A、B相碰前瞬间速度大小相等(即vA＝vB)，当A、B相碰瞬间，C的速度为零，从释放到碰前，两绳对C球所做的总功W＝－mgL，对系统由机械能守恒定律可得mgL＝2mveq \\al(2,A)，得vA＝vB＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，故A、C正确，B错误；当A、B间距为L，A球速度沿绳方向的分量与C球速度沿绳方向的分量相等，因此有vA′cs 60°＝vC′ cs 30°，得vA′＝eq \r(3)vC′，故D错误．
【答案】AC
练习1.2(多选)如图所示，质量均为m的两个物体A和B，其中物体A置于光滑水平台上，物体B穿在光滑竖直杆上，杆与平台有一定的距离，A、B两物体通过不可伸长的细轻绳连接跨过台面边缘的光滑小定滑轮，细线保持与台面平行．现由静止释放两物体，当物体B下落h时，B物体的速度为2v，A物体的速度为v.关于此过程下列说法正确的是( )
A．该过程中B物体的机械能损失了eq \f(1,5)mgh
B．该过程中绳对物体A做功为eq \f(1,2)mv2
C．物体A在水平面上滑动的距离为h
D．该过程中绳对系统做功eq \f(5,2)mv2
【解析】
在图中的虚线对应的位置，将物体B的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示：
物体A、B沿着绳子的分速度相等，故sin θ＝eq \f(v,2v)＝eq \f(1,2)，解得θ＝30°，该过程中A、B系统机械能守恒，则mgh＝eq \f(1,2)m·(2v)2＋eq \f(1,2)mv2，物体B的机械能减少量为ΔEB＝mgh－eq \f(1,2)m(2v)2，解得ΔEB＝eq \f(1,5)mgh，故选项A正确；根据动能定理，该过程中绳对物体A做功为WT＝eq \f(1,2)mv2－0＝eq \f(1,2)mv2，故选项B正确；结合几何关系，物体A滑动的距离Δx＝eq \f(h,sin 30°)－eq \f(h,tan 30°)＝(2－eq \r(3))h，故C错误；由于绳子不可伸长，故不能储存弹性势能，绳子对两个物体做功的代数和为零，该过程中绳对系统做功为零，故选项D错误．
【答案】AB
二、轻绳牵引物体问题
例2．(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为eq \r(2gh)
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【解析】由题意知，系统机械能守恒，设某时刻a、b的速度分别为va、vb，此时轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图所示。
因为轻杆不可伸长，所以沿轻杆的分速度v∥与v∥′是相等的，即vacs θ＝vb sin θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝eq \f(1,2)mva2，解得va＝eq \r(2gh)，选项B正确；由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即轻杆对b先做正功后做负功，选项A错误；轻杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到轻杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误；b的动能最大时，轻杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。
【答案】BD
练习2.1如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m.两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )
A.整个下滑过程中A球机械能守恒
B.整个下滑过程中B球机械能守恒
C.整个下滑过程中A球机械能的增加量为eq \f(2,3) J
D.整个下滑过程中B球机械能的增加量为eq \f(2,3) J
【解析】在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A球沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(h＋Lsin θ)＋mBgh＝eq \f(1,2)(mA＋mB)v2，解得：v＝eq \f(2,3)eq \r(6) m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为eq \f(1,2)mBv2－mBgh＝eq \f(2,3) J，故D正确；A球的机械能减少量为eq \f(2,3) J，C错误.
【答案】D
练习2.2.(多选)(2020·江苏苏北四市联考一模)如图所示，半径为R的竖直光滑圆弧轨道与光滑水平面相切，质量均为m的小球A、B与轻杆连接，置于圆弧轨道上，A位于圆心O的正下方，B与O等高．它们由静止释放，最终在水平面上运动．下列说法正确的是( )
A．下滑过程中重力对B做功的功率先增大后减小
B．当B滑到圆弧轨道最低点时，轨道对B的支持力大小为3mg
C．下滑过程中B的机械能增加
D．整个过程中轻杆对A做的功为eq \f(1,2)mgR
【解析】因为初位置速度为零，则重力的功率为零，最低点速度方向与重力的方向垂直，重力的功率为零，可知重力的功率先增大后减小，故A正确；A、B小球组成的系统在运动过程中机械能守恒，设B到达轨道最低点时速度为v，根据机械能守恒定律得eq \f(1,2)(m＋m)v2＝mgR，解得v＝eq \r(gR)，在最低点，根据牛顿第二定律得N－mg＝meq \f(v2,R)，解得N＝2mg，故B错误；下滑过程中，B的重力势能减小ΔEp＝mgR，动能增加量ΔEk＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mgR，所以B的机械能减小eq \f(1,2)mgR，故C错误；整个过程中，对A根据动能定理得W＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mgR，故D正确．
【答案】AD
针对训练
1.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。先将杆AB竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为eq \f(L,2)时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)( )
A．杆对小球A做功为eq \f(1,4)mgL
B．小球A和B的速度都为eq \f(1,2)eq \r(gL)
C．小球A、B的速度分别为eq \f(1,2)eq \r(3gL)和eq \f(1,2)eq \r(gL)
D．杆与小球A和B组成的系统机械能减少了eq \f(1,2)mgL
【解析】：
当小球A沿墙下滑距离为eq \f(L,2)时，设此时A球的速度为v1，B球的速度为v2，根据系统机械能守恒定律得：mg·eq \f(L,2)＝eq \f(1,2)mv12＋eq \f(1,2)mv22，两球沿杆方向上的速度相等，则有：v1cs 60°＝v2cs 30°，联立两式解得：v1＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，v2＝eq \f(1,2)eq \r(gL)，故C正确，B错误；对球A根据动能定理有mgeq \f(L,2)－W＝eq \f(1,2)mv12，可得W＝eq \f(1,8)mgL，A错误；杆与小球A和B组成的系统机械能守恒，因此D错误。
【答案】C
2．(多选)如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，A、B通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，B放在水平面上并紧靠竖直杆，A、B均静止．由于微小扰动，B开始沿水平面向右运动．不计一切摩擦，滑块A、B视为质点．在A下滑的过程中，下列说法中正确的是( )
A．A、B组成的系统机械能守恒
B．在A落地之前轻杆对B一直做正功
C．A运动到最低点时的速度为eq \r(2gL)
D．当A的机械能最小时，B对水平地面的压力大小为2mg
【解析】A、B组成的系统中只有动能和势能相互转化，故A、B组成的系统机械能守恒，选项A正确；分析B的受力情况和运动情况：B先受到竖直杆向右的推力，使其向右做加速运动，当B的速度达到一定值时，杆对B有向左的拉力作用，使B向右做减速运动，当A落地时，B的速度减小为零，所以杆对B先做正功，后做负功，选项B错误；由于A、B组成的系统机械能守恒，且A到达最低点时B的速度为零，根据机械能守恒定律可知选项C正确；B先做加速运动后做减速运动，当B的速度最大时其加速度为零，此时杆的弹力为零，故B对水平面的压力大小为mg，由于A、B组成的系统机械能守恒，故此时A机械能最小，选项D错误．
【答案】AC
3.(多选)(2020·江苏清江中学月考)如图所示，长为3L的轻杆ab可绕水平轴O自由转动，Oa＝2Ob，杆的上端固定一质量为m的小球(可视为质点)，质量为M的正方体物块静止在水平面上，不计一切摩擦阻力．开始时，竖直轻细杆右侧紧靠着正方体物块，由于轻微的扰动，杆逆时针转动，带动物块向右运动，当杆转过60°角时杆与物块恰好分离．重力加速度为g，当杆与物块分离时，下列说法正确的是( )
A．小球的速度大小为 eq \r(\f(8mgL,4m＋M))
B．小球的速度大小为 eq \r(\f(32mgL,16m＋M))
C．物块的速度大小为 eq \r(\f(2mgL,4m＋M))
D．物块的速度大小为 eq \r(\f(2mgL,16m＋M))
【解析】设轻杆的a端(小球)、b端、物块的速度分别为va、vb、vM.根据系统的机械能守恒得
mg·2L(1－cs 60°)＝eq \f(1,2)mva2＋eq \f(1,2)MvM2①
a端与b端的角速度相等，由v＝rω，得va＝2vb.
b端的线速度沿水平方向的分速度等于物块的速度，即vbcs 60°＝vM，
所以vb＝2vM，va＝4vM②
联立①②式解得va＝eq \r(\f(32mgL,16m＋M))，vM＝eq \r(\f(2mgL,16m＋M))，故选B、D.
【答案】BD
4、如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.eq \f(5R,3) C.eq \f(4R,3) D.eq \f(2R,3)
【解析】设B球质量为m，则A球质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，得v2＝eq \f(2,3)gR，B球继续上升的高度h＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(R,3)，B球上升的最大高度为h＋R＝eq \f(4,3)R，故选C.
【答案】 C
5、如图所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m的轻杆相连，两球质量相等，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个2 m/s的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是( )
A．杆对小球A做负功
B．小球A的机械能守恒
C．杆对小球B做正功
D．小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m
【解析】选D.由题意可知，A、B两球在上升中受重力做功而做减速运动；假设没有杆连接，则A上升到斜面时，B还在水平面上运动，即A在斜面上做减速运动，B在水平面上做匀速运动，因有杆存在，所以是B推着A上升，因此杆对A做正功，故A错误；因杆对A球做正功，故A球的机械能不守恒，故B错误；由以上分析可知，杆对球B做负功，故C错误；设小球B速度为零时距水平面的高度为h，根据系统机械能守恒，可得：mgh＋mg(h＋Lsin 30°)＝eq \f(1,2)×2mv2，解得：h＝0.15 m，故D正确．
【答案】D
6. (多选)(2020·高密模拟)如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m＝2 kg的小球A。半径R＝0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m＝2 kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现给小球A一个水平向右的恒力F＝50 N。(取g＝10 m/s2)则( )
A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F做功为20 J
B．小球B运动到C处时的速度大小为0
C．小球B被拉到与小球A速度大小相等时，sin∠OPB＝eq \f(3,4)
D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J
【解析】对于F的做功过程，由几何知识得到：力F作用点的位移x＝PB－PC＝eq \r(0.42＋0.32) m－(0.4 m－0.3 m)＝0.4 m
则力F做的功W＝Fx＝50×0.4 J＝20 J，故A正确；
由于B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时小球A的速度为零，考察两球及绳子组成的系统的能量变化过程，由功能关系得：W＝eq \f(1,2)mv2＋mgR
代入已知量得：20＝eq \f(1,2)×2×v2＋2×10×0.3，解得小球B速度的大小v＝eq \r(14) m/s，故B错误；
当绳与轨道相切时两球速度相等，如图所示，
由三角形知识得：sin∠OPB＝eq \f(R,OP)＝eq \f(3,4)，故C正确；
设最低点势能为0，小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加，
ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝eq \f(1,2)mv2＋mgR＝20 J，故D错误。
【答案】AC
7．[多选]如图所示，一弹性轻绳(绳的弹力与其伸长量成正比)穿过固定的光滑圆环B，左端固定在A点，右端连接一个质量为m的小球，A、B、C在一条水平线上，弹性绳自然长度为AB。小球穿过竖直固定的杆，从C点由静止释放，到D点时速度为零，C、D两点间距离为h。已知小球在C点时弹性绳的拉力为eq \f(mg,2)，g为重力加速度，小球和杆之间的动摩擦因数为0.5，弹性绳始终处在弹性限度内，下列说法正确的是( )
A．小球从C点运动到D点的过程中克服摩擦力做功为eq \f(mgh,2)
B．若在D点给小球一个向上的速度v，小球恰好回到C点，则v＝eq \r(gh)
C．若仅把小球质量变为2m，则小球到达D点时的速度大小为eq \r(gh)
D．若仅把小球质量变为2m，则小球向下运动到速度为零时的位置与C点的距离为2h
【解析】
选BC 设小球向下运动到某一点E时，如图所示，弹性绳伸长量为BE＝x，BC＝x0，弹性绳劲度系数为k，∠BEC＝θ，则弹力为kx，弹力沿水平方向的分力为kxsin θ＝kx0＝eq \f(mg,2)，故在整个运动过程中，小球受到的摩擦力恒为μ·eq \f(mg,2)＝eq \f(mg,4)，从C点运动到D点的过程中克服摩擦力做功为eq \f(mgh,4)，A项错误。若在D点给小球一个向上的速度v，小球恰好回到C点，则小球从C点到D点，再从D点返回C点的过程中，根据功能关系可知，克服摩擦力做的功等于在D点给小球的动能，即eq \f(mgh,4)×2＝eq \f(mv2,2)，解得v＝eq \r(gh)，B项正确。从C点到D点的过程，小球质量为m时，有mgh－W弹－eq \f(mgh,4)＝0，小球质量为2m时，有2mgh－W弹－eq \f(mgh,4)＝eq \f(2mv12,2)，v1＝eq \r(gh)，C项正确。由于弹性绳的弹力在竖直方向的分力越来越大，则小球向下运动到速度为零时的位置与C点的距离应小于2h，D项错误。
【答案】BC
8．[2020·湖北八校二联]如图所示，半径为R的光滑圆环竖直放置，直径MN为竖直方向，环上套有两个小球A和B，A、B之间用一长为eq \r(3)R的轻杆相连，小球可以沿环自由滑动，开始时杆处于水平状态，已知A的质量为m，重力加速度为g。
(1)若B球质量也为m，求此时杆对B球的弹力大小；
(2)若B球的质量为3m，由静止释放轻杆，求B球由初始位置到达N点的过程中，轻杆对B球所做的功。
【解析】
(1)受力分析如图，由于杆为轻杆，合力为零，所以杆对B的力水平向右，OB＝R
BC＝eq \f(\r(3),2)R，如图θ＝30°
tan30°＝eq \f(mg,F)
F＝eq \r(3)mg
(2)B从初始位置到N点过程中，B下降eq \f(R,2)，由几何关系可知A上升R。由系统机械能守恒定律得：
3mgeq \f(R,2)－mgR＝eq \f(1,2)×3mveq \\al(2,B)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)
由于A、B的角速度相同，半径也相同，因此vA＝vB＝ωR
解得：vA＝vB＝eq \f(\r(gR),2)
对B由动能定理得：3mgeq \f(R,2)＋WB＝eq \f(1,2)×3mveq \\al(2,B)
解得：WB＝－eq \f(9,8)mgR。
【答案】 (1)eq \r(3)mg (2)－eq \f(9,8)mgR
9、[2020·厦门期中]如图所示，两根长直轨道与一半径为R的半圆型圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道最低点，O为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内。质量均为m的两小环P、Q用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上。将P、Q两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
(1)当P环运动到A点时的速度v；
(2)在运动过程中，P环能达到的最大速度vm。
【解析】(1)从P到A据系统机械能守恒得：
mgR＋mgR＝eq \f(1,2)×2mv2，得：v＝eq \r(2gR)
(2)当系统重心下降到最低处时，即PQ等高时速度最大，此时杆离O的竖直高度为eq \f(\r(3),2)R，PQ系统机械能守恒有：

mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2R＋\f(\r(3),2)R))＋mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋\f(\r(3),2)R)) ＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,P)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,Q)
沿杆速度相等
vPcs30°＝vQcs30°，
∴vP＝vQ
联立解得vm＝vP＝eq \r(3＋\r(3)gR)。
【答案】(1)eq \r(2gR) (2) eq \r(3＋\r(3)gR)
10、如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2.开始时m1恰在碗口水平直径右端A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．
(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s；
(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为eq \f(R,2)，求eq \f(m1,m2).(结果保留两位有效数字)
当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开．
【解析】 (1)设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时，m1、m2速度大小分别为v1、v2
如图所示，由运动的合成与分解得v1＝eq \r(2)v2
对m1、m2组成的系统由机械能守恒定律得
m1gR－m2gh＝eq \f(1,2)m1veq \\al( 2,1)＋eq \f(1,2)m2veq \\al( 2,2)
h＝eq \r(2)Rsin 30°
联立以上三式得
v1＝ eq \r(2\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，v2＝ eq \r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)
设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′，对m2由机械能守恒定律得m2gs′sin 30°＝eq \f(1,2)m2veq \\al( 2,2)
小球m2沿斜面上升的最大距离s＝eq \r(2)R＋s′
联立以上两式并代入v2得
s＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R＝eq \f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R
(2)对m1由机械能守恒定律得：
eq \f(1,2)m1veq \\al( 2,1)＝m1geq \f(R,2)
代入v1得eq \f(m1,m2)＝eq \f(2\r(2)＋1,2)≈1.9.
【答案】 (1)eq \f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R (2)1.9
11.(2020·济南质检)如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s2)
【解析】A、B组成的系统只有动能和重力势能的转化，机械能守恒。设θ2＝53°时，A、B的速度分别为vA、vB，B下降的高度为h1，则有mgh1＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2
其中h1＝eq \f(h,sin θ1)－eq \f(h,sin θ2)
vAcs θ2＝vB
代入数据解得vA≈1.1 m/s。
由于细线的拉力对A做正功，使A加速至左滑轮正下方时速度最大，此时B的速度为零，设整个过程B下降高度为h2，则由机械能守恒定律得mgh2＝eq \f(1,2)mvmA2
其中h2＝eq \f(h,sin θ1)－h
代入数据解得vmA≈1.6 m/s。
【答案】1.1 m/s 1.6 m/s
12、（2020石家庄二模）左侧竖直墙面上固定半径为R=0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma=100g的小球a套在半圆环上，质量为mb=36g的小球b套在直杆上。二者之间用长为l=0.4m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小球a滑到与圆环的圆心O等高的P点时向心力的大小；
(2) 小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功。
【解析】
（1当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切向向下，b的速度为零，
由机械能守恒定律可得：
解得：
对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：（2）（8分）杆与圆相切时，如图所示，a的速度沿杆方向，设此时b的速度为vb，根据杆不可伸长和缩短，有：（2分）
由几何关系可得： （1分）
在图中，球a下降的高度 （1分）
a、b系统机械能守恒： （2分）
对滑块b，由动能定理得： （2分）