陕西省西安中学2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题（含答案）

这是一份陕西省西安中学2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省西安中学高2022届高三第二次模拟考试理科数学试题第Ⅰ卷(选择题  共60分)一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为　　A． B． C．1 D．2．某几何体的三视图如图所示（单位：，则该几何体的体积（单位：是　　A．2          B．4             C．6            D．83．的展开式中，第5项为常数项，则　　A．8 B．6 C．7 D．104．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则　　A．16 B．8 C．4 D．25．现有语文、数学、英语、物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为　　A．18 B．24 C．30 D．366．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是　　A．    B．  C．  D．7．地铁某换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号，，，，疏散乘客时间120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　　A． B． C． D．8．已知直线与圆相交于，两点，点在圆上，且满足，则满足条件的点个数为　　A．1           B．2          C．3            D．49．某建筑工地因施工噪音过大，被居民投诉．环保局要求其整改，降低声强．已知声强（单位：表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级（单位：与声强的函数关系式为．已知时，．若整改后的施工噪音的声强为原声强的，整改后的施工噪音的声强级降低了　　A．      B．      C．   D．10．已知双曲线的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为　　A． B． C． D．11．已知函数，若方程有三个不等根，，，则的取值范围是　　 A．     B．      C．    D．12．已知数列满足，，则数列的前40项和　　A． B． C． D．第Ⅱ卷(非选择题  共90分)二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知单位向量，满足，则与的夹角为　    　．14．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则　　   ．15．如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且在轴的上方，过点作于，，则的面积为 　    　．16．已知在圆柱（,是圆柱上下底面圆心）内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8．若为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球的交线长为　    　．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①2sin（A+C）+2sin（B+C）cos（A+B）＝sin（A+B）；②tanA+tanB+tanC﹣tanBtanC＝0；③cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0，已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．（1）求A；（2）若a+2b＝3且a2bc，求△ABC的面积． 18．（本小题满分12分）在三棱锥中，底面为正三角形，平面平面，，为上一点，，为三角形的中心．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．  19.（本小题满分12分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中，．星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四视星等0.030.080.120.380.46绝对星等1.424.40.60.12.67赤纬（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（2）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；（3）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（写结论不需要证明）20．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．选做题：请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线交曲线于，两点，交轴于点，求的值．23．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|ax+1|+|3x﹣1|．（1）当a＝3时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若0＜a＜3，且对任意的x∈R，f（x）≥恒成立，求a的最小值．      陕西省西安中学高2022届高三第二次模拟考试理科数学答案一、选择题   1-5  ACBCC  6-10  BBDDB  11-12  CA二、填空题  　    　．　 2   　．　   8 　．　    　．1．【解答】解：由，得，   复数的虚部为．    故选：．2．【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：．故选：．3．【解答】解：第5项为，由得，故选：．4．【解答】解：设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，，．故选：．5．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将4本书分为3组，语文和数学不在同一个组，有种分组方法，②将分好的3组分别放到个抽屉，有种安排方法，则有种放法，故选：．6．【解答】解：函数的定义域为，排除，的定义域为，当时，，排除，当，，，排除，故选：．7．【解答】由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，由同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，同时开放，疏散1000名乘客所需的时间为，所以比疏散乘客快，综上所述：，，，，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是，故选：．8．【解答】解：圆化为，则圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，则弦长，设到的距离为，则，解得．而圆上两侧的动点到直线的最大距离分别为5和2，故满足条件的点共4个．故选：．9．【解答】解：由题意可知，，当时，，有，解得，故有，当变为原声强的时，，有，可得，由此可知降低了，故选：．10．【解答】解：双曲线的上、下顶点分别为，，点是上异于，的一点，可得，即有，设直线，的斜率分别为，，直线，的斜率乘积为，即．所以，则的渐近线方程为，故选：．11．【解答】解：因为函数，作出函数的图象如图所示，由图可知，，设，则，所以，又，所以，，又，故的取值范围是．故选：．12．【解答】解：数列满足，，，，，．．则数列的前40项和．故选：．13．【解答】解：，，，解得，，且，14．【解答】解：由题意，，，则．故答案为：2．15．【解答】解：因为抛物线的焦点，所以的坐标，准线为，因为抛物线的准线与轴的交点为，所以，可设，，则，，，因为，所以，解得或（舍去），可得，，可知为等腰直角三角形，且，所以．16．       三、解答题：17．【解答】解：（1）选①，2sin（A+C）+2sin（B+C）cos（A+B）＝sin（A+B），由诱导公式，得2sin（A+C）﹣2sinA cosC＝sinC，即2sinC cosA＝sinC，因为sinC≠0，所以，所以选②，由诱导公式，得，整理即有tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，又已知，且tanAtanBtanC≠0，所以，所以．选③，已知，由正弦定理，可得，所以，即，因为sinC≠0，所以，即，所以．（2）因为a2≤bc，所以由余弦定理，有a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≤bc，所以（b﹣c）2≤0，所以b＝c，又，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．又因为a+2b＝3，所以a＝b＝1，所以．18．【解答】（1）证明：连结并延长交于点，则为的中点，连结，如图所示，因为为正三角形的中心，所以，又，所以，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面；（2）解：由平面可知，，所以，所以，所以，由（1）可知，，，两两垂直，所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，由（1）可知，平面，故为平面的法向量，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件．，由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，所以；（Ⅱ）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于，有3颗恒星的“赤纬”数值小于．，所以随机变量的所有可能取值为：1，2，3，4，，，，，所以随机变量的分布列为：1234所以的数学期望为；  （Ⅲ）结论：．20．【解答】解：（1）由题意，点是椭圆上的一个动点，且的最小值为1，得，因为当垂直长轴时，，所以，即，又由，解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）假设存在斜率为的直线，设为，由（1）知，，，所以以线段为直径的圆为，由题意，圆心到直线的距离，得，所以，联立，得，由题意，△，解得，又，所以，设，，，，则，，所以，若，则，所以，解得，或，又，所以，即，故存在符合条件的直线，其方程为或．21．【解答】（Ⅰ）解：由，可得，则（1），又（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：的定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），而，所以，所以，得证．22．【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为，整理得，①②转化为直角坐标方程为，直线的极坐标方程，直角坐标方程为．（2）由于直线与轴的交点坐标为，所以直线的参数方程为为参数），代入，得到，所以，，则．23．【解答】解：（1）a＝3时，函数f（x）＝|3x+1|+|3x﹣1|＝，不等式f（x）＞3等价于或，解得x＜﹣或x＞，所以不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（2）0＜a＜3时，f（x）＝|ax+1|+|3x﹣1|＝，此时﹣（a+3）＜0，﹣（3﹣a）＜0，且a+3＞0，所以对任意的x∈R，f（x）≥f（）＝a+1，令a+1≥，化简得a2+3a﹣4≥0，解得a≥1或a≤﹣4（不合题意，舍去），所以a≥1，即a的最小值是1．