数学17.2 勾股定理的逆定理导学案

这是一份数学17.2 勾股定理的逆定理导学案，共24页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

17.2 勾股定理的逆定理（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如）.
（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、判断三边能否构成直角三角形
1．已知a，b，c是△ABC的三边长，如果，试判断△ABC的形状．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据非负数的性质求得a、b、c的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC的形状．
解：△ABC是直角三角形．理由：
∵，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是以a为斜边的直角三角形；
【点拨】本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理，解题的关键是利用非负数的性质确定三个未知数的值．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，，，．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若AD平分∠BAC，求AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）只需要利用勾股定理的逆定理验证即可；
（2）过D作于E，由角平分线的性质可得，即可利用勾股定理推出，则，设，则，，在Rt△DEC中，，则，由此求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过D作于E．
∵AD平分∠BAC，，
∴，
在Rt△ABD中，，
同理，
∴，
∴，
设，则，，
在Rt△DEC中，，
∴，
解得，
∴．

【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键在于能够根据题意判断出∠B=90°．
【变式2】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，．
【答案】是，理由见详解
【分析】由于，因此为最大边，只需看是否等于即可求解．
解：∵，，，即，
∴，，，
∴，
∴以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．
【点拨】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
2．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.

【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置.
解：过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②.

【点拨】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理.
举一反三：
【变式1】已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状．
【答案】ABC是等腰直角三角形，见解析
【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题．
解：利用两点的距离公式，可得
AB= ，
AC= ，
BC= ，
所以AC=BC，AB2=AC2+BC2
所以△ABC是直角三角形，
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
【答案】点的坐标为或
【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标
解：设点的坐标为，分两种情况：
①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，
作轴于，轴于，轴于，如图所示：

由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：

由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．
【点拨】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式
类型三、网络中判断直角三角形
3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，2），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1）．
（1）请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
（2）试判定△ABC的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析
【分析】（1）补充成网格结构，找出点A、B、C的位置，再找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形．
解：（1）△ABC以及它关于y轴对称的图形△A′B′C′如图所示；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理得，AB=，
BC=，
AC=，
∵AB2+BC2=（2）2+（）2=10，
AC2=（）2=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理和勾股定理逆定理，补充成网格结构并准确确定出对应点的位置是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．
已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．

【分析】(1) 根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据全等三角形的判定和性质解答即可．
解：（1）10，20，AB2＋BC2＝AC2，勾股定理的逆定理
（2）证明：如图，在△ABD与△BCE中，
∵∠ADB＝∠BEC＝90°，AD＝BE，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE.
∴∠ABD＝∠BCE .
∵∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠ABD＋∠CBE＝90° .
∴∠ABC ＝90°

【点拨】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答．
【变式2】如图，网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形的面积；
（2）求的度数．

【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用图形的割补法可得四边形的面积等于长方形的面积减去四边形周边的三角形与长方形的面积，从而可得答案；
（2）连，利用勾股定理分别求解，，，证明是直角三角形，从而可得答案.
解：（1）
（2）连接，

∵，，
∴
∴是直角三角形，∴
【点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用割补法求网格多边形的面积，掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键.
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
4．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．


【分析】在直角△ACD和直角△BCD中，运用勾股定理得到AC2=5、BC2=20，结合AB2=25，易得AC2+BC2=AB2，则∠ACB=90°．
解：证明：∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵AD=1，BD=4，CD=2，
∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
举一反三：
【变式1】 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．

【答案】四边形ABCD的面积为36．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
解：连接AC，如图所示：

∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四边形ABCD的面积为36．
【点拨】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
【变式2】如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．
（1）判断△ACH的形状，并说明理由；
（2）求路线AB的长．

【答案】（1）△ACH是直角三角形，理由见解析；（2）路线AB的长为km．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
解：（1）△ACH是直角三角形，
理由是：在△ACH中，
∵CH2+AH2=0.62+0.82=1，
AC2=1，
∴CH2+AH2=AC2，
∴△ACH是直角三角形且∠AHC=90°；
（2）设BC=AB=x km，则BH=BC-CH=（x-0.6）km，
在Rt△ABH中，由已知得AB=x，BH=x-0.6，AH=0.8，
由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，
∴x2=（x-0.6）2+0.82，
解这个方程，得x=，
答：路线AB的长为km．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
5．今年暑假，河南郑州遭遇暴雨，山东人民自愿捐助物资救灾，找了一个空闲的四边形空地ABCD用于集中物资，其中AB⊥AC，AB＝8米，CD＝9米，BC＝17米，AD＝12米，求这块四边形空地ABCD的面积．

【答案】这块四边形空地ABCD的面积为114平方米．
【分析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
解：在Rt△ABC中，AB＝8米，BC＝17米，
∴AC=15(米)，
∵AD2+CD2=122+92=144+81=225=152=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴S四边形=S△ABC+S△ADC=AB•AC+AD•DC
=×8×15+×12×9
=114(平方米)．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成解三角形的问题再解答．
举一反三：
【变式1】 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请写出航行方向，并说明理由．

【答案】能，“海天”号沿西北方向航行，理由见解析．
【分析】先根据速度和时间求出的长，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据角的和差可得，由此即可得出答案．
解：能，“海天”号沿西北方向航行，理由如下：
由题意得：，，，
，
，
是直角三角形，且，
“远航”号沿东北方向航行，
，
，
“海天”号沿西北方向航行．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
【变式2】一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC应为直角，工人师傅测得∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13，请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么．

【答案】这个零件符合要求，理由见解析
【分析】先根据勾股定理求AC的长，再利用勾股定理的逆定理，判断出△ABC的形状，从而判断这个零件是否符合要求．
解：这个零件符合要求，理由如下：
连接AC．

∵∠ADC=90°，AD=3，CD=4，
∴AC==5，
∵AB=12，BC=13，且,
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
故这个零件符合要求．
【点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是先求出AC的长，结合BC和AB的长可判断出△ABC的形状．
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
6．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：

2
3
4
5
6
…






…

4
6
8
10
12
…





…

（1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ．
（2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
【答案】（1）；； （2）是直角三角形；证明见解析
【分析】（1）根据题意找到规律即可写出；
（2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝
故答案为：；；
（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形
证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1 ．
∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1
b2＝（2n）2＝4n2
c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1．
又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1
∴ a2＋b2＝c2
∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
举一反三：
【变式1】[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积．
小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；

[思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:

[探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)．
【答案】（1）5（2）3.5a2（3）4mn．
【分析】（1）依据图像的特点用割补法进行计算即可；
（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，3a的直角三角形的斜边；是直角边长为2a，3a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）是以2m，n为直角边的直角三角形的斜边长；是以2m，3n为直角边的直角三角形的斜边长；是以4m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积．
解：（1）△ABC的面积＝3×4−×2×2−×1×4−×2×3＝5，
故答案为：5；
（2）如图：由图可得，S△ABC＝3a×3a−×a×2a−×2a×3a−×a×3a＝3.5a2；

（3）如图，AB=，AC=，BC=
∴S△ABC＝4m×3n−×2m×n−×2m×3n−×4m×2n＝4mn．

【点拨】此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键．
【变式2】探究题：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B出发向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直．

【答案】当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．
【分析】利用勾股定理求出AD的长，再利用勾股定理逆定理即可证明垂直.
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D.

∵AB＝AC，BC＝8 cm，
∴BD＝CD＝BC＝4 cm.
由勾股定理，得AD＝＝3(cm)．
分两种情况：(1)如图，当点P运动t秒后有PA⊥AC（P在线段BD上）时，
∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，
∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25 cm，
∴BP＝4－2.25＝1.75，
∴0.25t＝1.75，解得t＝7.
(2)当点P运动t秒后有PA⊥AB（P在线段CD上）时，同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，
∴0.25t＝6.25，解得t＝25.
综上所述，当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．
【点拨】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的应用，熟悉概念是解题关键.