（通用版）中考数学一轮复习讲与练08《一元二次方程及应用》精讲精练（教师版）

第二节　一元二次方程及应用

　一元二次方程的解法

1.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac>0的情况，她是这样做的：

由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：

x2＋x＝－，第一步

x2＋x＋（）2＝－＋（）2，第二步

（x+）2＝，第三步

x＋＝(b2－4ac＞0)，第四步

x＝.第五步

(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为__x＝__.

(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.解：x1＝6，x2＝－4.

2.在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，即(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(　A　)

A.甲错误，乙正确     B.甲正确，乙错误

C.甲、乙都正确       D.甲、乙都错误

3.现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x的值是(　B　)

A.－4或－1  B.4或－1     C.4或－2  D.－4或2

　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

4.若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是(　B　)

A.a<1      B.a>1     C.a≤1           D.a≥1

5.a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(　B　)

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.无实数根

D.有一根为0

6.已知关于x的方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝__1__，另一个根为__－__.

7.对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝例如：4*2，

因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.

(1)求(－5)*(－3)的值；

(2)若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，求x1*x2的值.

解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；

(2)方程x2－5x＋6＝0的两根为2或3；

①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3.

　一元二次方程的应用

8.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为(　D　)

A.48(1－x)2＝36      B.48(1＋x)2＝36

C.36(1－x)2＝48      D.36(1＋x)2＝48

9.为落实“两免一补”政策，某市2022年投入教育经费2 500万元，预计2024年要投入教育经费3 600万元.已知2022年至2024年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元.

10.某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比.经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了表中的数据.

(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m.

解：(1)由题意，设y＝a＋，

由表中数据得解得

∴y＝6＋，

由题意，若12＝18－(6＋)，则＝0，

∵x＞0，∴＞0，∴不可能；

(2)将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，

得120＝2－2k＋9k＋27，解得k＝13，

∴x＝2n2－26n＋144，

将n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也符合，

∴k＝13；

由题意，得18＝6＋，解得x＝50，

∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0，

∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，

∴方程无实数根，

∴不存在；

(3)设第m个月的利润为W，

W＝x(18－y)＝18x－x(6＋)＝12(x－50)＝24(m2－13m＋47)，

∴第(m＋1)个月的利润为W′＝24[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]

＝24(m2－11m＋35)，

若W≥W′，W－W′＝48(6－m)，m取最小值1时，W－W′取得最大值240；

若W＜W′，W′－W＝48(m－6)，

由m＋1≤12知m取最大值11时，W′－W取得最大值240；

∴m＝1或11.

中考考点清单　　　　 　　　

　一元二次方程的概念

1.只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程.其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__.

【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数.

　一元二次方程的解法

2.

【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：

(1)当b＝0，c≠0时，x2＝－，考虑用直接开平方法解；

(2)当c＝0，b≠0时，用因式分解法解；

(3)当a＝1，b为偶数时，用配方法解简便.

　一元二次方程根的判别式

3.根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由__b2－4ac__来判定，我们将__b2－4ac__称为根的判别式.

4.判别式与根的关系：

(1)b2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；

(2)b2－4ac<0⇔方程没有实数根；

(3)b2－4ac＝0⇔方程有__两个相等__的实数根.

【易错警示】

(1)一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0；

(2)当a，c异号时，Δ>0.

　一元二次方程的应用

5.列一元二次方程解应用题的步骤：

(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论.

6.一元二次方程应用问题常见的等量关系：

(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；

(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；

(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，

利润率＝利润÷进货价.

中考重难点突破

　一元二次方程的解法

【例1】解下列方程：

(1)(x－2)2＝；(2)x2－4x＋1＝0；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2＝2x.

【答案】

解：(1)直接开平方，得x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－；

(2)配方，得(x－2)2＝3，直接开平方，得x－2＝±，

即x1＝2＋，x2＝2－；

(3)∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5>0，

∴x＝，即x1＝，x2＝；

(4)分解因式，得x(x－2)＝0.即x1＝2，x2＝0.

1.方程(x－3)(x＋1)＝0的解是(　C　)

A.x＝3      B.x＝－1    C.x1＝3，x2＝－1  D.x1＝－3，x2＝1

2.用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为(　A　)

A.(x＋2)2＝9     B.(x－2)2＝9   C.(x＋2)2＝1     D.(x－2)2＝1

3.用公式法解方程：

(1)x2－3x＋2＝0；

解：x1＝1，x2＝2；

(2))x2－1＝2(x＋1).

解：x1＝－1，x2＝3.

　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

【例2】若关于x的不等式x－＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0根的情况是(　A　)

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.无实数根

D.无法确定

【解析】解不等式x－＜1得x＜1＋，而不等式x－＜1的解集为x＜1，

所以1＋＝1，解得a＝0，又因为Δ＝a2－4＝－4，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根.故选C.

【答案】C

4.方程x2－x＋3＝0根的情况是(　D　)

A.只有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

5.已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　C　)

A.a>2     B.a<2     C.a<2且a≠1     D.a<－2

6.已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　B　)

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法判断

　一元二次方程的应用

【例3】某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；

(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率.

【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可.

【答案】(1)2.6(1＋x)2；

(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.

解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去).

答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.

【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染(　A　)

A.17人      B.16人     C.15人      D.10人

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x＋1)人，每人传染x个人，则传染x(x＋1)人.两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x个人＋第二轮传染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2＝－17.因为x表示人数，所以x＝－17不合题意，应舍去；取x＝15，故选C.

【答案】C

【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？

【解析】设降价x元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x件，再由单件利润×数量＝2 100即可.

【答案】解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元.由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.

整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.

∵要尽快减少库存，

∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.

答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元.

【例6】如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m.

(1)用含a的式子表示花圃的面积；

(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时甬道的宽.

【解析】(1)用含a的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可.

【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)；

(2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝×60×40，

解得a1＝5，a2＝45(舍去).

答：此时甬道的宽为5 m.

7.某地2022年外贸收入为2.5亿元，2024年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为(　A　)

A.2.5(1＋x)2＝4            B.(2.5＋x%)2＝4

C.2.5(1＋x)(1＋2x)＝4     D.2.5(1＋x%)2＝4

8.公园有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(　C　)

A.(x＋1)(x＋2)＝18      B.x2－3x＋16＝0

C.(x－1)(x－2)＝18      D.x2＋3x＋16＝0

9.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人.如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染.

10.为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗.园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？

解：设该校共买了x棵树苗.

120×60＝7 200(元).

∵7 200＜8 800，

∴购买树苗超过60棵；

x[120－0.5(x－60)]＝8 800，

x1＝220，x2＝80，

当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，

∴x＝220舍去.∴x＝80.

答：该校共购买了80棵树苗.

第二节　一元二次方程及应用

1.下列方程中是一元二次方程的是(　D　)

A.x2－2xy＋3y2＝0         B.x2＋－3＝0

C.(y－3)(x－2)＝x2              D.x(x－2)＝1

2.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(　A　)

A.(x－3)2＝14  B.(x－3)2＝4   C.(x＋3)2＝14  D.(x＋3)2＝4

3.若关于x的方程x2＋2(k－1)x＋k2＝0有实数根，则k的取值范围是(　B　)

A.k＜     B.k≤     C.k＞      D.k≥

4.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(　D　)

A.x2＋1＝0      B.x2＋2x＋1＝0   C.x2＋2x＋3＝0    D.x2＋2x－3＝0

5.若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是(　D　)

A.k≥1     B.k>1         C.k<1        D.k≤1

6.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为(　D　)

A.4，－2    B.－4，－2     C.4，2      D.－4，2

7.关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，÷的值为(　B　)

A.1          B.－1       C.2          D.－2

8.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2 070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(　A　)

A.x(x－1)＝2 070         B.x(x＋1)＝2 070

C.2x(x＋1)＝2 070        D.＝2 070

9.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得(　A　)

A.10(1＋x)2＝16.9        B.10(1＋2x)＝16.9

C.10(1－x)2＝16.9        D.(1－2x)＝16.9

10.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(　A　)

A.x(x－1)＝45    B.x(x＋1)＝45

C.x(x－1)＝45     D.x(x＋1)＝45

11.广州市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿化面积增加44%，这两年平均每年绿化面积的增长率为__20%__.

12.解方程：3x(x－2)＝2(2－x).

解：x1＝－，x2＝2.

13.关于x的方程(a－1)x2＋x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(　B　)

A.a≥－1    B.a≥－1且a≠1    C.a≥1      D.a>1

14.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　B　)

A.9      B.10      C.9或10    D.8或10

15.如果关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是__k>－且k≠0__.

16.已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.

(1)若此方程的一个根为1，求m的值；

(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

解：(1)根据题意，将x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0，

得1＋m＋m－2＝0，解得m＝；

(2)∵Δ＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，

∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

17.某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？

解：由题意，得(a－21)(350－10a)＝400，

解得a1＝25，a2＝31.

∵31＞21×(1＋20%)，

∴a＝31舍去，∴a＝25.

∴400÷(25－21)＝100.

因此需卖出100件商品，每件的售价为25元.

18.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?

解：设矩形温室长2x m，宽x m，则

(x－2)(2x－4)＝288，x1＝14，x2＝－10(舍去).

答：矩形温室的长为28 m，宽为14 m.

19.如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米.

解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(100－4x)m.

根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.

则100－4x＝20或100－4x＝80.

∵80>25，∴x2＝5舍去.即AB＝20 m，BC＝20 m.

答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，20 m.

20.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.

(1)求该种商品每次降价的百分率；

(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，

依题意，得400×(1－x%)2＝324，解得x＝10或x＝190(舍去).

答：该种商品每次降价的百分率为10%；

(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，

第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；

第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件).

依题意得：

60m＋24×(100－m)＝36m＋2 400≥3 210，

解得m≥22.5.∴m≥23.

答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件.