（通用版）中考数学一轮复习讲与练09《分式方程及应用》精讲精练（教师版）

第三节　分式方程及应用

　解分式方程

1.若＝________＋，则________中的数是(　B　)

A.－1  B.－2  C.－3  D.任意实数

　分式方程的实际应用

2.在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(　B　)

A.＝－5  B.＝＋5    C.＝8x－5  D.＝8x＋5

3.甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路x m.依题意，下面所列方程正确的是(　A　)

A.＝  B.＝  C.＝  D.＝

4.端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同).已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同.粽子与咸鸭蛋的价格各是多少？

解：设咸鸭蛋的价格是x元，则粽子的价格是(x＋1.8)元.

依题意，得＝.

解得x＝1.2，经检验，x＝1.2是原方程的解.

∴x＋1.8＝3.

答：粽子与咸鸭蛋的价格分别是3元和1.2元.

中考考点清单

　分式方程的概念

1.分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程.

【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据.

　分式方程的解法

2.解法步骤：

(1)去分母：将方程两边都乘以__最简公分母__，把它化为整式方程；

(2)解这个整式方程；

(3)__检验__.

【温馨提示】找最简公分母的方法：

(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；

(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；

(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母.

3.检验方法：

(1)利用方程的解的概念进行检验；

(2)将解得的整式方程的根代入__最简公分母__，看计算结果__是否为0__，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；

(3)增根：当分母的值为0时，分式方程__无解__，这样的根叫做分式方程的__增根__.

【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根.

　分式方程的应用

4.列分式方程解应用题的六个步骤：

(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；

(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；

(3)列：根据等量关系，列出方程；

(4)解：求出所列方程的解；

(5)验：双检验.①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；

(6)答：写出答案.

5.常见关系：

分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系.

如：工作时间＝____，时间＝____.

【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”.

中考重难点突破

　分式方程的解法

【例1】小明解方程－＝1的过程如图.

解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.①

去括号，得1－x－2＝1.②

合并同类项，得－x－1＝1.③

移项，得－x＝2.④

解得x＝－2.⑤

∴原方程的解为x＝－2.⑥

请指出他解答过程中的错误.并写出正确的解答过程.

【解析】本题考查了分式方程的解法，注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意，去分母时切勿漏乘；(2)解分式方程一定要验根.

【答案】解：小明的解法有三处错误.

步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验.

正确解法为：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.

去括号，得1－x＋2＝x.

移项，得－x－x＝－1－2.

合并同类项，得－2x＝－3.

系数化为1，得x＝.

经检验，x＝是分式方程的解.

1.分式方程＝的解是(　A　)

A.x＝1     B.x＝－1      C.x＝2       D.x＝－2

2.分式方程＝的解是__x＝4__.

　含参数的分式方程

【例2】若分式方程－＝2无解，则这个无解是________.

【答案】x＝1

3.若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是(　A　)

A.m＝－1  B.m＝0    C.m＝3    D.m＝0或m＝3

4.若关于x的分式方程＝1的解为正数，则m的取值范围是(　D　)

A.m>3     B.m≠－2   C.m>－3且m≠1    D.m>－3且m≠－2

5.已知方程＝1的解是k，求关于x的方程x2＋kx＝0的解.

解：由＝1，解得x＝2，

经检验x＝2是原方程的解，

∴k＝2，

∴x2＋2x＝0，

解得x1＝0，x2＝－2.

6.已知是二元一次方程组的解，求方程－＝的解.

解：将代入方程组，

得解得将

代入所求方程，得－＝，

去分母，得3－2x＝x－2，

解得x＝，经检验，x＝是原分式方程的解.

　分式方程的应用

【例3】从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180 km，乘坐普通列车的路程为240 km.高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍.高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2 h.高速列车的平均速度是每小时多少千米？

【解析】抓住等量关系t高速＝t普－2用代数式表达好相应的量即可.

【答案】解：设高速列车平均速度为3x km/h，普通列车平均速度为x km/h.

依题意，得－2＝，

去分母，得240－2x＝60，解得x＝90，

∴3x＝90×3＝270.

答：高速列车的平均速度是每小时270 km.

7.甲种污水处理器处理25 t的污水与乙种污水处理器处理35 t的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20 t的污水，求两种污水处理器的污水处理效率.设甲种污水处理器的污水处理效率为x t/h，依题意列方程正确的是(　B　)

A.＝    B.＝   C.＝    D.＝

8.甲、乙两人做某种机器零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做多少个.设甲每小时做x个零件，则列出的方程为__＝__.

9.甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗.已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，甲、乙每小时各做多少面彩旗？

解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做(x＋5)面彩旗.

依题意，得＝，解得x＝25.经检验，x＝25是原方程的解.

x＋5＝25＋5＝30.

答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗.

10.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元.

解：设第一批盒装花的进价是每盒x元.则

2×＝，解得x＝30.

经检验，x＝30是原方程的解.

答：第一批盒装花每盒的进价是30元.

第三节　分式方程及应用

1.方程＝0的解是(　D　)

A.±1    B.－1      C.0      D.1

2.分式方程－1＝的解为(　C　)

A.x＝1  B.x＝－1   C.无解  D.x＝－2

3.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个.如果设乙每小时做x个，那么所列方程是(　B　)

A.＝  B.＝   C.＝  D.＝

4.若关于x的分式方程＝－3有增根，则实数m的值是__1__.

5.有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1 500 kg和2 100 kg.已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200 kg.若设第一块试验田每亩的产量为x kg，则根据题意列出的方程是__＝__.

6.解方程：

－＝1.

解：两边乘x(x－3)，得3－x＝x2－3x，

∴x2－2x－3＝0，

∴(x－3)(x＋1)＝0，

∴x＝3或－1，

经检验，x＝3是原方程的增根，

∴原方程的解为x＝－1.

7.为了继续美化城市，计划在路旁栽树1 200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵.

解：设原计划每天栽树x棵，则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)x.

由题意，得－＝2，解得x＝100.

经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意.

答：原计划每天栽树100棵.

8.从－3，－1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程－＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是(　B　)

A.－3       B.－2       C.－        D.

9.A，B两地相距180 km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，从而A地到B地的时间缩短了1 h.若设原来的平均车速为x km/h，则根据题意可列方程为(　A　)

A.－＝1     B.－＝1

C.－＝1      D.－＝1

10.若关于x的方程－1＝无解，则a的值是__1或2__.