（通用版）中考数学一轮复习讲与练23《多边形与平行四边形》精讲精练（教师版）

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第五节 多边形与平行四边形　平行四边形的判定及性质的相关计算1.平面内，如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；(2)当tan∠ABP∶tanA=3∶2时，求点Q与点B间的距离；(结果保留根号)(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π)解：(1)如答图①，①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°－∠Q′P′B－∠Q′P′D=180°－90°－10°=80°；②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°－(∠QPB－∠QPD)=180°－(90°－10°)=100°；综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°；(2)如答图②，连接BQ，作PE⊥AB于E.∵tan∠ABP∶tanA=3∶2，tanA=，∴tan∠ABP=2.在Rt△APE中，tanA==，设PE=4k，则AE=3k.在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，∴EB=2k，∴AB=5k=10，∴k=2，∴PE=8，EB=4，∴PB==4.∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BQ=PB=4；(3)①如答图③，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F.则四边形BEPF是矩形.在Rt△AEB中，∵tanA==，AB=10，∴BE=8，AE=6，∴PF=BE=8.∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，∴PB=PQ=8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π.②如答图④，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F.设PE=x.易证△PBE≌△QPF，∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE＋PE＋PF－AD=x－1.∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，∴tan∠FDQ=tanA==，∴=，∴x=4，∴PE=4，PB==4，∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π.③如答图⑤，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π.综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.   2.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证.已知：如图所示，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=__CD__.求证：四边形ABCD是__平行__四边形.(1)在方框中填空，以补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明；证明：连接BD.在△ABD和△CDB中.∵AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB，∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为__平行四边形的两组对边分别相等__.　多边形性质的相关计算3.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是(　C　)A.1.4  B.1.1  C.0.8  D.0.5 4.)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为(　D　)A.5       B.5或6    C.5或7    D.5或6或75.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是(　D　)A.OE=DC  B.OA=OC    C.∠BOE=∠OBA  D.∠OBE=∠OCE6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于E，∠CBD=90°，BC=4，DE=3，则平行四边形ABCD的面积为(　D　)A.6  B.12  C.20  D.247.如图，正六边形ABCDEF中，P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心.若AF=2，则PQ的长度为(　C　)A.1    B.2     C.2－2       D.4－28.平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一 边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2=__24__°.9.如图，在四边形ABCD中，∠A=45°.直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2=__225°__.中考考点清单　多边形1.正多边形n边形(n≥3)内角和定理n边形的内角和为__(n－2)·180°__外角和定理n边形的外角和为__360°__对角线过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有条对角线正n边形(n≥3)定义在平面内，边相等，角也相等的多边形叫做正多边形性质(1)正n边形的每一个内角为(2)正(2n－1)边形是轴对称图形，对称轴有(2n－1)条；正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有2n条　平行四边形的性质与判定2.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图①所示.图①3.性质文字描述字母表示[参考图①](1)对边__平行且相等__AB綊CD，AD綊BC(2)对角__相等__∠DAB=∠DCB，∠ADC=∠ABC(3)对角线__互相平分__OA=OC，OB=OD(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，O为对称中心4.判定文字描述字母表示[参考图①](1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形⇒(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形⇒(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形⇒(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形⇒四边形ABCD是平行四边形(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形⇒  中考重难点突破　多边形的相关计算【例1】若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(　　　)A.6　　　　B.12　　　　C.16　　　　D.18【解析】设多边形的边数为n，则有(n－2)×180°=n×150°，解得n=12.故选B.【答案】B1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　C　)A.四边形  B.五边形    C.六边形  D.八边形2.若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是(　C　)A.13  B.14  C.15  D.163.若凸多边形的内角和为1 260°，则该多边形的对角线有__27__条.  　平行四边形的相关计算【例2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=，AC=2，BD=4，则AE的长为(　A　)A.  B.      C.  D.【解析】根据平行四边形的对角线互相平分，可由平行四边形ABCD，AC=2，BD=4，得到AO=1，BO=2，再根据勾股定理的逆定理，由AB=得到△ABO是直角三角形，∠BAO=90°，最后根据勾股定理可得BC===，因此，在Rt△ABC中，S△ABC=AB·AC=BC·AE，即×2=·AE，解得AE=.【答案】D4.如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为(　C　)A.14  B.13  C.12  D.105.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　A　)A.AB∥DC，AD=BC     B.AB∥DC，AD∥BCC.AB=DC，AD=BC     D.OA=OC，OB=OD6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为(　B　)A.13  B.17  C.20  D.267.如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.求证：AF=CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∠ADB=∠CBD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB，AE∥CF.∴△AED≌△CFB.∴AE=CF.∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE. 第五节　多边形与平行四边形1.如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为(　B　)A.30°  B.36°  C.54°  D.72°2.下列说法错误的是(　D　)A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形3.如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是(　D　)A.∠E=∠CDF   B.EF=DF   C.AD=2BF  D.BE=2CF4.如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC长是(　C　)A.  B.2  C.2  D.45.在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(　B　)①AC=5；②∠A＋∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD.A.①②③  B.①②④   C.②③④  D.①③④6.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为(　D　)A.3  B.5    C.2或3  D.3或57.平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，那么∠BAE的大小是(　A　)A.75°  B.70°  C.65°  D.60° 　　　8.如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=__360°__.9.如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__50°__.10.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF=60°，则∠B=__60°__.11.如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为__1__800°__.12.如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF=DE，求证：AE=CF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EDA=∠FBC.在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB(SAS)，∴AE=CF.13.如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，△FCB的周长为28，则FC的长为(　C　)A.4  B.5  C.6  D.714.如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，给出下列结论：①∠AME=108°；②AN2=AM·AD；③MN=3－；④S△EBC=2－1.其中正确结论的个数是(　C　)A.1个  B.2个  C.3个  D.4个15.如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC.(1)求证：AB=BC；(2)若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积. 解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA.∴AB=BC；(2)连接BD交AC于点O，∵AB=BC，且四边形ABCD为平行四边形.∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∵BO2＋=AB2，∴BO2＋=22.∴BO=1，BD=2BO=2.∴S▱ABCD=BD·AC=×2×2=2.16.如图①，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E.(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；(2)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.解：(1)∵在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD=OB，OD=BD=OB，DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°，∵∠EOA=∠DOC＋∠DOA=90°，∴∠AEO=60°.又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE.∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；(2)在Rt△ABO中，∵∠AOB=30°，OB=8，∴AB=4，AO=4.∵△COB是等边三角形，∴CO=OB=8.设OG=x，则由折叠知AG=CG=8－x.在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2＋OG2=AG2，即(4)2＋x2=(8－x)2，解得x=1，即OG=1.17.已知M，N分别为△ABC的边AC，BC的中点，AN，BM交于点O，E为OB的中点.(1)如图①，若F为OA的中点，求证：MF(2)如图②，若AB=BC，AM=6，NE=，求AB的长.图①　　　　　　　　　图②解：(1)连接OC.∵点M是AC的中点，∴点F是AO的中点.∴MF是△AOC的中位线，∴MF瘙綊OC，同理可证，NE瘙綊OC.∴MF瘙綊NE；(2)易证NE=OC，∴OC=2.∵BA=BC，CM=AM=6.∴BM⊥AC，∴OM===4.取OA的中点F，易证四边形MFEN为平行四边形.∴OM=OE=4，∵E为OB的中点，∴BE=4，∴BM=12，∴AB=6.