（通用版）中考数学一轮复习讲与练25《图形的相似与位似》精讲精练（教师版）

这是一份（通用版）中考数学一轮复习讲与练25《图形的相似与位似》精讲精练（教师版），共16页。试卷主要包含了下列四组图形中，一定相似的是等内容，欢迎下载使用。

图形相似的判定及性质
1.如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
,A) ,B)
,C) ,D)
2.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.
图① 图②
乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点，下列说法正确的是( A )
A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对
图形的位似
3.图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是( D )
A.点M B.点N C.点O D.点P
4.若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( A )
A.87° B.60° C.75° D.120°
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是( D )
①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；
④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似.
A.4 B.2 C.1 D.3
6.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )
A.5∶8 B.3∶8 C.3∶5 D.2∶5
7.如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4eq \r(2)，则△EFC的周长为( D )
A.11 B.10 C.9 D.8
8.在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似.这样的直线最多可以作( C )
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
9.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( D )
A.4 B.2 C.5 D.3
10.下列四组图形中，一定相似的是( D )
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形
C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
11.如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.
(1)求证：AC＝AD＋CE；
(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求eq \f(DP,PQ)的值.
解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.
∴∠ADB＝∠EBC.
又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)，
∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；
(2)过点Q作QH⊥BC于点H.
则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，
∴eq \f(AD,HP)＝eq \f(AP,HQ)，eq \f(BH,BC)＝eq \f(QH,EC).
设AP＝x，QH＝y，则有eq \f(BH,3)＝eq \f(y,5)，
∴BH＝eq \f(3y,5)，PH＝eq \f(3y,5)＋5－x，
∴eq \f(3,\f(3y,5)＋5－x)＝eq \f(x,y)，即(x－5)·(3y－5x)＝0.
又点P不与A，B重合，
∴x≠5，即x－5≠0.
∴3y－5x＝0，即3y＝5x.
∴eq \f(DP,PQ)＝eq \f(x,y)＝eq \f(3,5).
12.如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧.
(1)AE和ED的数量关系为________；
AE和ED的位置关系为________；
(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③.
①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD.
②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)
解：(1)AE＝ED；AE⊥ED；
(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°，
AB＝BE＝EC＝DC.
∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝eq \f(1,2)AB，EF＝eq \f(1,2)EB，
∴∠GFE＝∠C.
∵H是EC的中点，
∴EH＝HC＝eq \f(1,2)EC，
∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝eq \f(1,2)EB＋eq \f(1,2)EC＝eq \f(1,2)BC＝EC＝CD，
∴△HGF≌△DHC.
∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.
∵∠HDC＋∠DHC＝90°，
∴∠GHF＋∠DHC＝90°.
∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD；
②∵GH＝HD，GH⊥HD，
∴∠FHG＋∠DHC＝90°.
∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC.
在△FGH和△CHD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠FGH＝∠CHD，,∠GFH＝∠HCD，,GH＝HD，))
∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.
∵EF＝FG，∴EF＝CH.
∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，
∴BE＝EC＝1，
∴EF＝k，∴CH的长为k.
中考考点清单
比例的相关概念及性质
1.线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比.
2.比例中项：如果eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项.
3.比例的性质
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使eq \f(AC,AB)＝__eq \f(BC,AC)__，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__.
相似三角形的判定及性质
5.定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.
6.性质：
(1)相似三角形的__对应角__相等；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__.
7.判定：
(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；
(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似.
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]；
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例.
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案.
如：eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF)，此式正确.那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明.
相似多边形
8.定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.
9.性质：
(1)相似多边形的对应边__成比例__；
(2)相似多边形的对应角__相等__；
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__.
位似图形
10.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比.
11.性质：
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比_.
12.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__.
13.画位似图形的步骤：
(1)确定__位似中心__；
(2)确定原图形的关键点；
(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；
(4)作出原图形中各关键点的对应点；
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.
中考重难点突破
比例的性质
【例1】已知eq \f(a,5)＝eq \f(b,4)＝eq \f(c,3)，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为________.
【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可.
【答案】－6
1.若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则eq \f(2x＋y,z－y)的值是( A )
A.－5 B.－eq \f(10,3) C.eq \f(10,3) D.5
相似三角形的判定与性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时间为t seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0(1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值；
(2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值.
【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值.
解：(1)由题意知BA＝eq \r(62＋82)＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm，
∴BN＝(8－2t)cm.
①当△BMN∽△BAC时，有eq \f(BM,BA)＝eq \f(BN,BC)，
∴eq \f(3t,10)＝eq \f(8－2t,8)，解得t＝eq \f(20,11)；
②当△BMN∽△BCA时，有eq \f(BM,BC)＝eq \f(BN,BA)，
∴eq \f(3t,8)＝eq \f(8－2t,10)，解得t＝eq \f(32,23).
∴当△BMN与△ABC相似时，t的值为eq \f(20,11)或eq \f(32,23)；
(2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D.
由题意得BM＝3t cm，CN＝2t cm，
DM＝BM·sinB＝3t·eq \f(6,10)＝eq \f(9,5)t(cm)，
BD＝BM·csB＝3t·eq \f(8,10)＝eq \f(12,5)t(cm)，
∴CD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(12,5)t))cm.
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD.
∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM.∴eq \f(AC,CD)＝eq \f(CN,DM)，
∴eq \f(6,8－\f(12,5)t)＝eq \f(2t,\f(9,5)t)，解得t＝eq \f(13,12).
2.如图，不等长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B )
A.甲、丙相似，乙、丁相似
B.甲、丙相似，乙、丁不相似
C.甲、丙不相似，乙、丁相似
D.甲、丙不相似，乙、丁不相似
3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE綊eq \f(1,2)BC.
证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,2)，eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC).
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)，∠ADE＝∠B，
∴BC＝2DE，BC∥DE，
即DE綊eq \f(1,2)BC.
位似图形
【例3】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的eq \f(1,4)，那么点B′的坐标是( D )
A.(－2，3) B.(2，－3)
C.(3，－2)或(－2，3) D.(－2，3)或(2，－3)
【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.
【答案】D
4.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( B )
A.(1，2) B.(1，1) C.(eq \r(2)，eq \r(2)) D.(2，1)
第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
1.若eq \f(y,x)＝eq \f(3,4)，则eq \f(x＋y,x)的值为( D )
A.1 B.eq \f(4,7) C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)
2.在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为( A )
A.1 B.2 C.eq \f(1,3) D.3
3.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是( D )
A.∠ABP＝∠C B.∠APB＝∠ABC C.eq \f(AP,AB)＝eq \f(AB,AC) D.eq \f(AB,BP)＝eq \f(AC,CB)
4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若eq \f(AB,BC)＝eq \f(1,2)，则eq \f(DE,EF)＝( B )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.1
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B )
A.eq \f(1,2) B.2 C.3 D.4
6.△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( C )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶16
7.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( C )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )
A.4 B.4eq \r(2) C.6 D.4eq \r(3)
9.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(4,3)))__.
10.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，位似中心是点O，eq \f(OE,OA)＝eq \f(3,5)，则eq \f(FG,BC)＝__eq \f(3,5)__.
11.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为__5∶4__.
12.如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
①eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)；②eq \f(S△DOE,S△COB)＝eq \f(1,2)；③eq \f(AD,AB)＝eq \f(OE,OB)；④eq \f(S△ODE,S△ADC)＝eq \f(1,3).
其中正确的个数有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
14.如图，△ABC内接⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于( D )
A.1∶eq \r(2) B.1∶eq \r(3) C.1∶2 D.2∶3
15.如图，若A，B，C，P，Q和甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( C )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
16.如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.(结果保留根号)
解：(1)如图；(2)4＋6eq \r(2).
17.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？
解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等.
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA.
∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，
∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16.
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF＝7k.
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k，
∵EF＝9，∴DF＝7.
18.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且eq \f(AD,AC)＝eq \f(DF,CG).
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若eq \f(AD,AC)＝eq \f(1,2)，求eq \f(AF,FG)的值.
解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，
∴∠ADF＝∠C.
∵eq \f(AD,AC)＝eq \f(DF,CG)，∴△ADF∽△ACG；
(2)∵△ADF∽△ACG，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AF,AG)，
又∵eq \f(AD,AC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AF,AG)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AF,FG)＝1.性质
内容
性质1
eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔__ad__＝bc(a，b，c，d≠0).
性质2
如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么eq \f(a±b,b)＝eq \f(c±d,d).
性质3
如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，则eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝__eq \f(m,n)(不唯一)__.