（通用版）中考数学一轮复习讲与练26《锐角三角函数及解直角三角形的应用》精讲精练（教师版）

这是一份（通用版）中考数学一轮复习讲与练26《锐角三角函数及解直角三角形的应用》精讲精练（教师版），共11页。试卷主要包含了已知，8，解得等内容，欢迎下载使用。

1.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为( D )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
2.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若BD∶CD=3∶2，则tanB=( D )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(6),3)
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果csB=eq \f(1,2)，那么sinA的值是( B )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12.则下列三角函数表示正确的是( A )
A.sinA=eq \f(12,13) B.csA=eq \f(12,13) C.tanA=eq \f(5,12) D.tanB=eq \f(12,5)
5.已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( D )
,A) ,B)
,C) ,D)
6.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为( D )
A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里
7.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为__2eq \r(2)__.
8.芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①)，图②是从图①引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2 m，两拉索底端距离AD为20 m，请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1 m，eq \r(3)≈1.732)
解：设DH=x m.
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH·tan60°=eq \r(3)x，
∴BH=BC＋CH=2＋eq \r(3)x.
∵∠A=30°，
∴AH=eq \r(3)BH=2eq \r(3)＋3x.
∵AH=AD＋DH=20＋x，
∴2eq \r(3)＋3x=20＋x，
解得x=10－eq \r(3)，
∴BH=2＋eq \r(3)(10－eq \r(3))=10eq \r(3)－1≈16.3(m).
答：立柱BH的长约为16.3 m.
9.保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm. 图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC. 已知BC=30 cm，AC=22 cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由. (参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求.
理由：过点B作BD⊥AC于点D.
∵BC=30 cm，∠ACB=53°，
∴sin53°=eq \f(BD,BC)=eq \f(BD,30)≈0.8，解得：BD=24，
cs53°=eq \f(DC,BC)≈0.6，解得DC=18,
∴AD=AC－DC=22－18=4(cm)，
∴AB=eq \r(AD2＋BD2)=eq \r(42＋242)=eq \r(592)∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求.
中考考点清单
锐角三角函数的概念
特殊角的三角函数值
解直角三角形
解直角三角形的应用
【规律总结】解直角三角形的方法：
(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；
(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题.
中考重难点突破
锐角三角函数及特殊角三角函数值
【例1】在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csB－\f(1,2)))eq \s\up12(2)=0，
那么∠C=________.
【解析】先根据非负性，得tanA=1，csB=eq \f(1,2)，求出∠A及∠B的度数，
进而可得出结论.∵在△ABC中，tanA=1，csB=eq \f(1,2)，∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°－∠A－∠B=75°.
【答案】75°
1.在△ABC中，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinA－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csB－\f(1,2)))eq \s\up12(2)=0，则∠C的度数是( D )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.cs60°的值等于( D )
A.eq \r(3) B.1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为( B )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)
4.式子2cs30°－tan45°－eq \r(（1－tan60°）2)的值是( B )
A.2eq \r(3)－2 B.0 C.2eq \r(3) D.2
解直角三角形的实际应用
【例2】如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6 m的B处安置高为1.5 m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长.(结果保留小数点后一位，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意，可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6.
在Rt△ACH中，tan∠CAH=eq \f(CH,AH)，
∴CH=AH·tan∠CAH=6tan30°=6×eq \f(\r(3),3)=2eq \r(3)(m).
∵DH=1.5，∴CD=2eq \r(3)＋1.5.
在Rt△CDE中，∠CED=60°，sin∠CED=eq \f(CD,CE)，
∴CE=eq \f(CD,sin60°)=4＋eq \r(3)≈5.7(m)，∴拉线CE的长约为5.7 m.
5.如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( C )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(13,12)
6.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1∶5，则AC的长度是__210__cm.
7.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为__2.7__cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
8.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2 km.有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°的方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向.
(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处.此时，从B处测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离.(上述2小题的结果都保留根号)
解：(1)过点P作PD⊥AB于点D.
设PD=x km.
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°－45°=45°，
∴BD=PD=x.
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，
∠PAD=90°－60°=30°，
∴AD=eq \r(3)PD=eq \r(3)x.
∵BD＋AD=AB，∴x＋eq \r(3)x=2，x=eq \r(3)－1.
∴点P到海岸线l的距离为(eq \r(3)－1)km；
(2)过点B作BF⊥AC于点F.
根据题意，得∠ABC=105°.
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=eq \f(1,2)AB=1.
在△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°.
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=eq \r(2)BF=eq \r(2)，
∴点C与点B之间的距离为eq \r(2) km.
第二节 锐角三角函数及解直角三角形的应用
1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( D )
A.2 B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(1,2)
2.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则csB的值是( A )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
3.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cs∠CDB=eq \f(4,5)，BD=5，则OH的长度为( D )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(5,6) C.1 D.eq \f(7,6)
4.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4 m，楼梯宽度1 m，则地毯的面积至少需要( D )
A.eq \f(4,sinθ) m2 B.eq \f(4,csθ) m2 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(4,tanθ)))m2 D.(4＋4tanθ)m2
5.一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )
A.斜坡AB的坡度是10°
B.斜坡AB的坡度是tan10°
C.AC=1.2tan10° m
D.AB=eq \f(1.2,cs10°) m
6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=( D )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
7.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2 h后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.927 2，sin46°≈0.719 3，sin22°≈0.374 6，sin44°≈0.694 7)( B )
海里 海里 海里 海里
8.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC=6 m，CD=4 m，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度.(结果保留根号)
解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F.
∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF=eq \r(CD2－DF2)=2eq \r(3).
由题意得∠E=30°，∴EF=eq \f(DF,tanE)=2eq \r(3)，
∴BE=BC＋CF＋EF=6＋4eq \r(3)，
∴AB=BE×tanE=(6＋4eq \r(3))×eq \f(\r(3),3)=(2eq \r(3)＋4)m.
答：电线杆的高度为(2eq \r(3)＋4)m.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的
正弦
sinA=eq \f(∠A的对边,斜边)=①__eq \f(a,c)__
余弦
csA=eq \f(∠A的邻边,斜边)=②__eq \f(b,c)__
正切
tanA=eq \f(∠A的对边,∠A的邻边)=③__eq \f(a,b)__
三角函数
30°
45°
60°
sinα
eq \f(1,2)
④__eq \f(\r(2),2)__
eq \f(\r(3),2)
csα
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(2),2)
⑤__eq \f(1,2)__
tanα
⑥__eq \f(\r(3),3)__
1
eq \r(3)
解直角三角形常用的关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则
三边关系
⑦__a2＋b2=c2__
两锐角关系
⑧__∠A＋∠B=90°__
边角关系
sinA=csB=eq \f(a,c)
csA=sinB=eq \f(b,c)
tanA=eq \f(a,b)
仰角、俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__.如图①
坡度(坡比)、坡角
坡面的铅直高度h和⑪__水平宽度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角.i=tanα=⑫__eq \f(h,l)__.如图②
方位角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做⑬__方位角__，如图③，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)