2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）3月月考数学试卷 (1)

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）3月月考数学试卷 (1)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中，为无理数的是（ ）
A.38B.4C.13D.2

2. 如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是( )

A.B.C.D.

3. 如图，BD // AC，BE平分∠ABD，交AC于点E．若∠A=50∘，则∠1的度数为( )

A.65∘B.60∘C.55∘D.50∘

4. 下列运算正确的是( )
A.3a−a=2B.(a2)3=a5C.a2⋅a3=a5D.a6÷a3=a2

5. 某班30名男生的跳远成绩如下表：这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是( )
，2.05，2.10，2.10，2.05

6. 下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是( )
A.对角线相等B.对角相等C.对边相等D.对边平行

7. 小英买苹果花了16元钱，小丽买桃子花了10元钱，已知每千克苹果比桃子贵2元，结果小丽买的桃子比小英买的苹果还多1千克，设每千克桃子售价为x元，根据题意可列出的方程为( )
A.16x+2−10x=1B.10x−16x+2=1
C.16x−10x−2=1D.10x−16x−2=1

8. 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=27，CD=1，则BE的长是（ ）

A.5B.6C.7D.8

9. 下列各正方形里的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值是( )

A.153B.135C.189D.170

10. 如图，等边三角形OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上， △ABD的面积是4，反比例函数y=kxk>0的图像经过点B，则k=( )

A.3B.4C.8D.2
二、填空题

已知x2+3x+5的值为3，则代数式3x2+9x−1的值为________.

如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC与BD相交于点O，且AC:BD=3:4，AE⊥CD于点E，则AE的长是________.


某校为了解本校学生足球训练情况，随机抽查该校若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A，B，C，D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．表示D等级的扇形的圆心角是________度．


规定：对于任意实数a，b都有：a⊕b=aa−b+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如： 2⊕5=2×2−5+1=2×−3+1=−5，那么等式3⊕x+1=16的解是________.

如图所示，在扇形BAD中，点C在BD上，且∠BDC=30∘，AB=22，∠BAD=105∘，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为________.


如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90∘，BC=8，AC=20，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为________.

三、解答题

计算：18−12−1−|1−2|．

先化简，再求值：(x2+xx2−1−11−x)÷(x2+3xx−1−1)，其中x=2．

如图武汉绿地中心，中心主楼BC高636m，是目前湖北省第二高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα=337，在顶端E点测得A的仰角为45∘，AE=1402m．

(1)求两楼之间的距离CD；

(2)求发射塔AB的高度．

2021年我省开始实施“3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．
(1)小丽选到物理的概率为________；

(2)请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门选到化学、生物的概率．

关于x的方程x2−2k+1x+k2=0方程有实数根．
(1)求k的取值范围；

(2)设x1，x2是方程的两根，且x12+x22=6+x1x2，求k的值．

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的直径为3，sin∠CBF=33，求BC和BF的长．

贫困户老王在精准扶贫工作队的帮扶下，在一片土地上种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：第1天卖出20千克；以后每天比前一天多卖4千克，销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如表：（其中，x，y均为整数）

(1)试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为________；

(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润w最大？最大利润是多少元？

(3)求试销的30天中，当天利润w不低于870元的天数共有几天？

已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90∘，点F是AE的中点，连接DF，CF．

(1)如图1，点D，E分别在AB，BC边上，CF与DF的关系是________；

(2)如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转α∘得到图2，请判断(1)中CF与DF的关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；

(3)如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90∘得到图3，如果BD=2，AC=32，求出CF的长．

如图，直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C，与x轴交于另一点B1,0，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第二象限的抛物线上一有点M，当S△ACM =12S△ACD ，求点M的坐标；

(3)过A点作射线AE交直线AC下方的抛物线上于点E，交y轴于点F0,1,N是线段AC上一点，在抛物线上是否存在点M，使△AMN与△ACF相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
无理数的判定
【解析】
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】
解：38=2，4=2，13为无限循环小数，均为有理数.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．
【解答】
解：如图所示，
可知左视图上层靠右由一个正方形，下层有两个正方形，
故该几何体的左视图是：
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
平行线的性质
角平分线的定义
【解析】
根据平行线的性质，得到∠ABD＝140∘，再根据BE平分∠ABD，即可得到∠1的度数．
【解答】
解：∵ BD // AC，∠A=50∘，
∴ ∠ABD=180∘−∠A=130∘.
又∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠1=12∠ABD=65∘.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
合并同类项
同底数幂的乘法
同底数幂的除法
幂的乘方及其应用
【解析】
分别利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除法运算法则分别化简求出答案．
【解答】
解：A，3a−a=2a，故此选项错误；
B，(a2)3=a6，故此选项错误；
C，a2⋅a3=a5，故此选项正确；
D，a6÷a3=a3，故此选项错误.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
中位数
众数
【解析】
中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的
数据，注意众数可以不止一个．
【解答】
解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；
由于一共调查了30人，
所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即2.10．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
矩形的性质
平行四边形的性质
【解析】
根据矩形的性质以及平行四边形的性质进行做题．
【解答】
解：矩形的性质有：四个角都是直角，对角线相等且平分，对边平行且相等；
平行四边形的性质有：对角相等，对边相等且平行，对角线互相平分.
故矩形具有但平行四边形不一定具有的性质是对角线相等.
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
设每千克桃子售价为x元，则每千克苹果的售价为x+2元，根据小丽买的桃子比小英买的苹果还多1千克列出分式方程求解.
【解答】
解：设每千克桃子售价为x元，则每千克苹果的售价为x+2元，
根据题意，可列方程10x−16x+2=1.
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
垂径定理
三角形中位线定理
勾股定理
【解析】
根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】
解：∵ 半径OC垂直于弦AB，
∴ AD=DB=12AB=7，
在Rt△AOD中，
OA2=(OC−CD)2+AD2，
即OA2=(OA−1)2+(7)2，
解得，OA=4
∴ OD=OC−CD=3，
∵ AO=OE，AD=DB，
∴ OD是△ABE的中位线，
∴ BE=2OD=6，
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：观察分析可知，每个正方形内右上角的数=2×左下角的数，
即2×2=4，2×3=6，2×4=8，
∴ 2b=18，解得b=9.
又观察发现，每个正方形内左上角的数为左下角的数减1，
∴ a=b−1=8.
∵ 每个正方形内右下角的数为2×4+1=9，
3×6+2=20，4×8+3=35，⋯⋯，
∴ x=18b+a，即x=18×9+8=170.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积
等边三角形的性质
反比例函数系数k的几何意义
菱形的性质
【解析】
连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60∘，根据平行线的性质得至∠DEO=∠AOB=60∘，推出△DEO是等边三角形，得到∠DOE=∠BAO=60∘，得到OD//AB，求得S△BDQ=S△AOD，推出S△AOB=S△ABD=4，过B作BH⊥OA于H，由等边三角形的性质得到OH=AH，求得S△OBH=2，于是得到结论．
【解答】
解：连接OD，过B作BH⊥OA于H，如图，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60∘.
∵ 四边形OCDE是菱形，
∴ DE//OB，
∴∠DEO=∠AOB=60∘，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠DOE=∠BAO=60∘，
∴OD//AB，
∴S△BDO =S△AOD .
∵S四边形ABDO=S△ADO +S△ABD
=S△BDO +S△AOB ，
∴S△AOB =S△ABD =4，
∵OH=AH，
∴S△OBH =2，
∵反比例函数y=kxx>0的图象经过点B，
∴12OH⋅BH=12xy=12k=2，
∴k=4.
故选B.
二、填空题
【答案】
−7
【考点】
列代数式求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ x2+3x+5的值为3，
∴ x2+3x+5=3，
即x2+3x=−2，
∴ 3x2+9x−1=3x2+3x−1=3×−2−1=−7.
故答案为：−7．
【答案】
245
【考点】
菱形的判定与性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AO=12AC，OB=12BD，AC⊥BD.
∵ AC:BD=3:4，
∴ AO:OB=3:4.
设AO=3x，OB=4x.
由勾股定理，得AO2+OB2=AB2，即(3x)2+(4x)2=52，
解得x=1，
∴ AO=3，OB=4，
即AC=6，BD=8，
∴ S菱形ABCD=12AC⋅BD=CD⋅AE，
即12×6×8=5AE，
解得AE=245．
故答案为：245.
【答案】
28.8
【考点】
扇形统计图
条形统计图
【解析】
根据A等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后用该年级学生总数乘以足球测试成绩为D等的人数所占百分比即可求解．
【解答】
解：∵ 总人数为14÷28%=50（人），
∴ 表示D等级的扇形圆心角是360∘×450=28.8∘.
故答案为：28.8
【答案】
x=−53
【考点】
定义新符号
解一元一次方程
【解析】
根据定义新运算公式列出一元一次方程即可求出结论．
【解答】
解：∵ 3⊕x+1=16，
∴ 3×3−x+2=16，
解得x=−53.
故答案为： x=−53.
【答案】
π−2
【考点】
扇形面积的计算
三角形的面积
求阴影部分的面积
【解析】
阴影部分的面积＝S扇形ACD−S△ACE，根据面积公式计算即可．
【解答】
解：∵ ∠BDC=30∘，
∴ ∠BAC=60∘.
∵ AC=AB，
∴ △ABC是等边三角形，
∵ ∠BAD=105∘，
∴ ∠CAE=105∘−60∘=45∘.
∵ CE⊥AD，AC=AB=22，
∴ AE=CE=2，
∴ S△ACE=2，S扇形ACD=45⋅π×(22)2360=π，
∴ 阴影部分的面积为S扇形ACD−S△ACE=π−2.
故答案为：π−2.
【答案】
426−4
【考点】
勾股定理
三角形三边关系
圆周角定理
【解析】
连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，证明∠CEB=90∘，说明E点始终在⊙F上，再由在整个变化过程中，AE≤AF−EF，当A、E、F三点共线时，AE取最小值，求出此时的值即可．
【解答】
解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，如图，
∵BC=8，
∴CF=4.
∵∠ACB=90∘，AC=20，
∴AF= AC2+CF2=202+42 =426.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=∠CEB=90∘，
∴E点在⊙F上，
∵在D的运动过程中，AE≥AF−EF，且A，E，F三点共线时等号成立，
∴当A，E，F三点共线时，AE取最小值AF−EF=426−4．
故答案为：426−4．
三、解答题
【答案】
解：原式=32−2−2−1
=32−2−2+1
=22−1.
【考点】
绝对值
二次根式的混合运算
零指数幂、负整数指数幂
【解析】

【解答】
解：原式=32−2−2−1
=32−2−2+1
=22−1.
【答案】
解：原式=[x(x+1)(x+1)(x−1)+1x−1]÷[x2+3xx−1−x−1x−1]
=x+1x−1÷x2+3x−x+1x−1
=x+1x−1÷x2+2x+1x−1
=x+1x−1⋅x−1(x+1)2
=1x+1，
当x=2时，原式=12+1=13．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】
解：原式=[x(x+1)(x+1)(x−1)+1x−1]÷[x2+3xx−1−x−1x−1]
=x+1x−1÷x2+3x−x+1x−1
=x+1x−1÷x2+2x+1x−1
=x+1x−1⋅x−1(x+1)2
=1x+1，
当x=2时，原式=12+1=13．
【答案】
解：(1)作EF⊥AC于F，如图，
在Rt△AEF中，∵ ∠AEF=45∘ ，
∴ EF=AF=22AE=140.
∵ EF⊥AC，ED⊥DC，FC⊥DC，
∴ 四边形EDCF为矩形，
∴ CD=EF=140m，
即两楼之间的距离CD为140m.
(2)在Rt△ADC中，∵ tan∠ADC=ACDC，
即AC140=337，解得AC=660，
∴ AB=AC−BC=660−636=24m，
即发射塔AB的高度为24m．
【考点】
矩形的性质
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
锐角三角函数的定义
【解析】


【解答】
解：(1)作EF⊥AC于F，如图，
在Rt△AEF中，∵ ∠AEF=45∘ ，
∴ EF=AF=22AE=140.
∵ EF⊥AC，ED⊥DC，FC⊥DC，
∴ 四边形EDCF为矩形，
∴ CD=EF=140m，
即两楼之间的距离CD为140m.
(2)在Rt△ADC中，∵ tan∠ADC=ACDC，
即AC140=337，解得AC=660，
∴ AB=AC−BC=660−636=24m，
即发射塔AB的高度为24m．
【答案】
12
(2)设政治为A，地理为B，化学为C，生物为D，
画出树状图如下：
共有12种等可能情况，选中化学、生物的有2种，
则选中化学、生物的概率为P=212=16.
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
(1)由题意可知小丽只有两种可选择：物理或历史，即可求解.
(2)从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】
解：(1)∵ 在物理和历史两个科目中任选1门，
∴ 小丽选到物理的概率为12.
故答案为：12.
(2)设政治为A，地理为B，化学为C，生物为D，
画出树状图如下：
共有12种等可能情况，选中化学、生物的有2种，
则选中化学、生物的概率为P=212=16.
【答案】
解：(1)根据题意，得Δ=2k+12−4k2≥0，
解得k≥−14，
∴ k的取值范围为k≥−14.
(2)根据题意，得x1+x2=2k+1，x1x2=k2，
∵ x12+x22=6+x1x2，
∴ x1+x22=6+3x1x2
∴ 2k+12=6+3k2，
整理，得k2+4k−5=0，
解得k1=1，k2=−5．
∵ k≥−14，
∴ k的值为1.
【考点】
根的判别式
根与系数的关系
【解析】


【解答】
解：(1)根据题意，得Δ=2k+12−4k2≥0，
解得k≥−14，
∴ k的取值范围为k≥−14.
(2)根据题意，得x1+x2=2k+1，x1x2=k2，
∵ x12+x22=6+x1x2，
∴ x1+x22=6+3x1x2
∴ 2k+12=6+3k2，
整理，得k2+4k−5=0，
解得k1=1，k2=−5．
∵ k≥−14，
∴ k的值为1.
【答案】
(1)证明：连接AE，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AEB=90∘，
∴ ∠1+∠2=90∘．
∵ AB=AC，
∴ 2∠1=∠CAB．
∵ ∠BAC=2∠CBF，
∴ ∠1=∠CBF，
∴ ∠CBF+∠2=90∘，
即∠ABF=90∘，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ 直线BF是⊙O的切线；
(2)解：过点C作CH⊥BF于H．
∵ sin∠CBF=33，∠1=∠CBF，
∴ sin∠1=33，
∵ 在Rt△AEB中，∠AEB=90∘，AB=3，
∴ BE=AB⋅sin∠1=3×33=3，
∵ AB=AC，∠AEB=90∘，
∴ BC=2BE=23，
∵ sin∠CBF=CHBC=33，
∴ CH=2，
∵ CH // AB，
∴ CFAF=CHAB，即CFCF+3=23，
∴ CF=6，
∴ AF=AC+CF=9，
∴ BF=AF2−AB2=62．
【考点】
相似三角形的性质
圆周角定理
解直角三角形
切线的判定
等腰三角形的性质
【解析】
（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90∘．
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】
(1)证明：连接AE，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AEB=90∘，
∴ ∠1+∠2=90∘．
∵ AB=AC，
∴ 2∠1=∠CAB．
∵ ∠BAC=2∠CBF，
∴ ∠1=∠CBF，
∴ ∠CBF+∠2=90∘，
即∠ABF=90∘，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ 直线BF是⊙O的切线；
(2)解：过点C作CH⊥BF于H．
∵ sin∠CBF=33，∠1=∠CBF，
∴ sin∠1=33，
∵ 在Rt△AEB中，∠AEB=90∘，AB=3，
∴ BE=AB⋅sin∠1=3×33=3，
∵ AB=AC，∠AEB=90∘，
∴ BC=2BE=23，
∵ sin∠CBF=CHBC=33，
∴ CH=2，
∵ CH // AB，
∴ CFAF=CHAB，即CFCF+3=23，
∴ CF=6，
∴ AF=AC+CF=9，
∴ BF=AF2−AB2=62．
【答案】
P=4x+16
(2)①当1≤x<20时，
w=−0.5x+38−184x+16=−2x−182+968，
∴ 当x=18时，w最大值为968元；
②当20≤x≤30时，w=(25−18)(4x+16)=28x+112，
∵ 28>0，w随x的增大而增大，
∴ 当x=30时，w最大值为952元，
综上可知，第18天时，当天的利润最大，最大利润为968元．
答：第18天时，当天的利润最大，最大利润为968元.
(3)①当1≤x<20时，
令−2x−182+968=870，
解得x1=11，x2=25，
∵ 抛物线w=−2x2+72x+320的开口向下，
∴ 11≤x≤25时，w≥870，
∴ 11≤x<20,
∵ x为正整数，
∴ 有9天利润不低于870元；
②当20≤x≤30时，
令28x+112≥870，
解得x≥27114，
∴ 27114≤x≤30，
∵ x为正整数，
∴ 有3天的利润不低于870元，
综上可知，试销的30天中，当天利润w不低于870元的
天数共有9+3=12（天）．
答：试销的30天中，当天利润w不低于870元的天数共有12天.
【考点】
根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题列二次函数关系式
二次函数的最值
二次函数的应用
【解析】
(1)根据“第1天卖出20千克；以后每天比前一天多卖4千克“即可求出结论.
(2)根据x的取值范围分类讨论，分别根据“总利润=每千克利润×千克数”求出w与x的函数关系式，最后利用二次函数的顶点式和一次函数的增减性即可分别求出w最大值.
（3）根据x的取值范围分类讨论，分别求出当1≤x<20时和当20≤x≤30时满足题意的天数，即可得出结论．
【解答】
解：(1)根据题意，得P=20+4x−1=4x+16.
故答案为：P=4x+16.
(2)①当1≤x<20时，
w=−0.5x+38−184x+16=−2x−182+968，
∴ 当x=18时，w最大值为968元；
②当20≤x≤30时，w=(25−18)(4x+16)=28x+112，
∵ 28>0，w随x的增大而增大，
∴ 当x=30时，w最大值为952元，
综上可知，第18天时，当天的利润最大，最大利润为968元．
答：第18天时，当天的利润最大，最大利润为968元.
(3)①当1≤x<20时，
令−2x−182+968=870，
解得x1=11，x2=25，
∵ 抛物线w=−2x2+72x+320的开口向下，
∴ 11≤x≤25时，w≥870，
∴ 11≤x<20,
∵ x为正整数，
∴ 有9天利润不低于870元；
②当20≤x≤30时，
令28x+112≥870，
解得x≥27114，
∴ 27114≤x≤30，
∵ x为正整数，
∴ 有3天的利润不低于870元，
综上可知，试销的30天中，当天利润w不低于870元的
天数共有9+3=12（天）．
答：试销的30天中，当天利润w不低于870元的天数共有12天.
【答案】
CF=DF，CF⊥DF
(2)CF⊥DF，CF=DF成立.
理由如下：如图，连接CD，
延长DF于点H使得DF=HF，连接AH，
延长AB于点I，作EI⊥AI，
∵ F为AE的中点，
∴ AF=FE，
∵ HF=DF，∠AFH=∠DFE，
∴ △AFH≅∠EFD(SAS)，
∴ ∠FAH=∠DEF，AH=DE.
∵ ∠CAH=∠CAB+∠FAH−∠BAF，
∠BAF=∠EBI−∠AEB，
∠FAH=∠DEF=∠BED−∠AEB，
∴ ∠CAH=90∘−∠EBI，
∵ ∠CBE+∠EBI+∠CBA=180∘，
∴ ∠CAH=∠CBE−45∘=∠CBD，
∵ △ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴ CA=CB，DB=DE=AH，
∴ △CAH≅△CBD(SAS)，
∴ CD=CH，∠ACH=∠BCD，
∴ ∠HCD=90∘，
∴ △CHD为等腰直角三角形，
∴ CF⊥DF，CF=DF.
(3)如图，延长DF交AB于H，连接CH，CD．
∵ ∠ABD=∠BDE=90∘，
∴ DE // AB，
∴ ∠FED=∠FAH.
∵ ∠AFH=∠EFD，FA=FE，
∴ △AFH≅△EFD(ASA)，
∴ DF=FH，AH=DE=DB.
∵ ∠CAH=∠CBA=∠CBD=45∘，CA=CB，
∴ △CAH≅△CBD(SAS)，
∴ CH=CD，∠ACH=∠BCD，
∴ ∠HCD=∠ACB=90∘.
∵ FH=FD，
∴ CF⊥DF，CF=FH=DF．
∵ AC=CB=32，
∴ AB=2AC=6，
∵ AH=BD=2，
∴ BH=6−2=4，
在Rt△BDH中，DH=BD2+BH2=25，
∴ CF=DF=FH=5．
【考点】
直角三角形斜边上的中线
等腰三角形的性质
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
旋转的性质
【解析】
（1）如图1中，结论：CF＝DF，CF⊥DF．利用直角三角形的斜边中线的性质即可解决问题．
（2）成立．如图2中，延长DF交AC于H．证明△AFH≅△EFD(ASA)，即可解决问题．
（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．证明△AFH≅△EFD(ASA)，推出DF＝FH，AH＝DE＝DB，再证明△CAH≅△CBD(SAS)，即可解决问题．
【解答】
解：(1)∵ ∠ACE=∠ADE=90∘，AF=FE，
∴ CF=AF=FE=12AE，DF=AF=FE=12AE，
∴ CF=DF，
∴ ∠FAC=∠FCA，∠FAD=∠FDA.
∵ CA=CB，∠ACB=90∘，
∴ ∠CAB=45∘，
∵ ∠CFE=∠FAC+∠FCA=2∠FAC，
∠EFD=∠FAD+∠FDA=2∠FAD，
∴ ∠CFD=∠CFE+∠EFD
=2(∠FAC+∠FAD)=2∠CAD=90∘，
∴ CF⊥DF．
故答案为：CF=DF，CF⊥DF．
(2)CF⊥DF，CF=DF成立.
理由如下：如图，连接CD，
延长DF于点H使得DF=HF，连接AH，
延长AB于点I，作EI⊥AI，
∵ F为AE的中点，
∴ AF=FE，
∵ HF=DF，∠AFH=∠DFE，
∴ △AFH≅∠EFD(SAS)，
∴ ∠FAH=∠DEF，AH=DE.
∵ ∠CAH=∠CAB+∠FAH−∠BAF，
∠BAF=∠EBI−∠AEB，
∠FAH=∠DEF=∠BED−∠AEB，
∴ ∠CAH=90∘−∠EBI，
∵ ∠CBE+∠EBI+∠CBA=180∘，
∴ ∠CAH=∠CBE−45∘=∠CBD，
∵ △ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴ CA=CB，DB=DE=AH，
∴ △CAH≅△CBD(SAS)，
∴ CD=CH，∠ACH=∠BCD，
∴ ∠HCD=90∘，
∴ △CHD为等腰直角三角形，
∴ CF⊥DF，CF=DF.
(3)如图，延长DF交AB于H，连接CH，CD．
∵ ∠ABD=∠BDE=90∘，
∴ DE // AB，
∴ ∠FED=∠FAH.
∵ ∠AFH=∠EFD，FA=FE，
∴ △AFH≅△EFD(ASA)，
∴ DF=FH，AH=DE=DB.
∵ ∠CAH=∠CBA=∠CBD=45∘，CA=CB，
∴ △CAH≅△CBD(SAS)，
∴ CH=CD，∠ACH=∠BCD，
∴ ∠HCD=∠ACB=90∘.
∵ FH=FD，
∴ CF⊥DF，CF=FH=DF．
∵ AC=CB=32，
∴ AB=2AC=6，
∵ AH=BD=2，
∴ BH=6−2=4，
在Rt△BDH中，DH=BD2+BH2=25，
∴ CF=DF=FH=5．
【答案】
解：(1)∵ 直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点C，
∴ 点A的坐标为−3,0，点C的坐标为0,3，
将A−3,0，B1,0，C0,3代入y=ax2+bx+c，
得9a−3b+c=0,a+b+c=0,c=3,解得a=−1,b=−2,c=3,
∴ 抛物线的解析式为y=−x2−2x+3．
(2)由(1)知可得S△ACD=3，
设动点M(x,−x2−2x+3)，
过点M作x轴的垂线，与AC交于点E，如图所示，
故点E坐标为(x,x+3)，
S△ACM=12|yM−yE|⋅|AO|=12S△ACD=32，
即12[(−x2−2x+3)−(x+3)]×3=32，
x2+3x+1=0，
解得x1=−3+52，x2=−3−52，
当x1=−3+52时，y1=5+52，
当x2=−3−52时，y2=5−52，
故点M的坐标为−3+52,5+52
或−3−52,5−52.
(3)设直线AE的解析式为y=kx+dk≠0，
将A−3,0,F0,1 代入y=kx+d，
得 −3k+d=0,d=1,，解得k=13,d=1,
∴ 直线AE的解析式为y=13x+1，
联立直线AE、抛物线的解析式成方程组，
得y=13x+1,y=−x2−2x+3,解得x1=−3,y1=0,或x2=23,y2=119,
∴ 点E的坐标为23,119，
∵ A−3,0，C0,3，F0,1，
∴ CF=2，AC=32，AF=10，
分∠MAN=∠ACF，∠MAN=∠CAF及∠MAN=∠AFC三种情况考虑．
①当∠MAN=∠ACF时，点M与点B重合，如图2，
∵ 点B1,0，
∴ 点M的坐标为 1,0，AM=4，
∴ AMAN=CFAC或AMAN=ACCF，
即4AN=232或4AN=322，
∴ AN=62或AN=423，
∵ 点N在直线y=x+3上，点A−3,0，
∴ 点N的坐标为3,6或−53,43，
又∵ 点N为线段AC上的点，
∴ 点N1的坐标为−53,43，点M1的坐标为1,0；
②当∠MAN=∠CAF时，点M与点E重合，如图3，
∵ 点E23,119，
∴ 点M的坐标为23,119，AM=11109，
∵ AMAN=AFAC或AMAN=ACAF，
即1191032=1032或11910AN=3210，
∴ AN=1132或AN=55272，
∵ 点N在直线y=x+3上，点A−3,0，
∴ 点N的坐标为23,113或−2627,5527，
又∵ 点N为线段AC上的点，
∴ 点N的坐标为−2627,5527，
过点C作CM//x轴，交抛物线于点M，连接AM，如图4，
∠ACF=45∘∴ ∠ACM=45∘=∠ACF，
当y=3时， −x2−2x+3=3，
解得x1=−2，x2=0，
∴ 点M的坐标为−2,3，
∴ CM=CF=2，
在△ACF和△ACM中，
AC=AC,∠ACF=∠ACM,CF=CM,
∴ △ACF≅△ACMSAS，
∴ 点M的坐标为−2,3，点N的坐标为0,3
∵ 当点M的坐标为 −2,3 时，∠MAC=∠FAC，
∴ 在AC上还存在一点N，使得△AMN∽△ACF，
∵ 点A的坐标为−3,0，
∴ AM=10，
∵ AMAC=ANAF，即1032=AN10，
∴ AN=523，
∴ 点N的坐标为−43,53，
∴ 点M223,119，点N2−2627,5527，
∴ 点M3−2,3，点N30,3，N4−43,53；
③当∠MAN=∠AFC时，如图5，此时点N在AC的延长线上，
∵ 点N在线段AC上，∴ 该情况不存在．
综上，在抛物线上存在点M，使△AMN与△ACF相似，
当点M的坐标为1,0 时，点N的坐标为 −53,43，
当点M的坐标为23,119 时，点N的坐标为−2627,5527，
当点M的坐标为−2,3 时，点N的坐标为0,3或−43,53．
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
待定系数法求二次函数解析式
三角形的面积
二次函数综合题
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点C，
∴ 点A的坐标为−3,0，点C的坐标为0,3，
将A−3,0，B1,0，C0,3代入y=ax2+bx+c，
得9a−3b+c=0,a+b+c=0,c=3,解得a=−1,b=−2,c=3,
∴ 抛物线的解析式为y=−x2−2x+3．
(2)由(1)知可得S△ACD=3，
设动点M(x,−x2−2x+3)，
过点M作x轴的垂线，与AC交于点E，如图所示，
故点E坐标为(x,x+3)，
S△ACM=12|yM−yE|⋅|AO|=12S△ACD=32，
即12[(−x2−2x+3)−(x+3)]×3=32，
x2+3x+1=0，
解得x1=−3+52，x2=−3−52，
当x1=−3+52时，y1=5+52，
当x2=−3−52时，y2=5−52，
故点M的坐标为−3+52,5+52
或−3−52,5−52.
(3)设直线AE的解析式为y=kx+dk≠0，
将A−3,0,F0,1 代入y=kx+d，
得 −3k+d=0,d=1,，解得k=13,d=1,
∴ 直线AE的解析式为y=13x+1，
联立直线AE、抛物线的解析式成方程组，
得y=13x+1,y=−x2−2x+3,解得x1=−3,y1=0,或x2=23,y2=119,
∴ 点E的坐标为23,119，
∵ A−3,0，C0,3，F0,1，
∴ CF=2，AC=32，AF=10，
分∠MAN=∠ACF，∠MAN=∠CAF及∠MAN=∠AFC三种情况考虑．
①当∠MAN=∠ACF时，点M与点B重合，如图2，
∵ 点B1,0，
∴ 点M的坐标为 1,0，AM=4，
∴ AMAN=CFAC或AMAN=ACCF，
即4AN=232或4AN=322，
∴ AN=62或AN=423，
∵ 点N在直线y=x+3上，点A−3,0，
∴ 点N的坐标为3,6或−53,43，
又∵ 点N为线段AC上的点，
∴ 点N1的坐标为−53,43，点M1的坐标为1,0；
②当∠MAN=∠CAF时，点M与点E重合，如图3，
∵ 点E23,119，
∴ 点M的坐标为23,119，AM=11109，
∵ AMAN=AFAC或AMAN=ACAF，
即1191032=1032或11910AN=3210，
∴ AN=1132或AN=55272，
∵ 点N在直线y=x+3上，点A−3,0，
∴ 点N的坐标为23,113或−2627,5527，
又∵ 点N为线段AC上的点，
∴ 点N的坐标为−2627,5527，
过点C作CM//x轴，交抛物线于点M，连接AM，如图4，
∠ACF=45∘∴ ∠ACM=45∘=∠ACF，
当y=3时， −x2−2x+3=3，
解得x1=−2，x2=0，
∴ 点M的坐标为−2,3，
∴ CM=CF=2，
在△ACF和△ACM中，
AC=AC,∠ACF=∠ACM,CF=CM,
∴ △ACF≅△ACMSAS，
∴ 点M的坐标为−2,3，点N的坐标为0,3
∵ 当点M的坐标为 −2,3 时，∠MAC=∠FAC，
∴ 在AC上还存在一点N，使得△AMN∽△ACF，
∵ 点A的坐标为−3,0，
∴ AM=10，
∵ AMAC=ANAF，即1032=AN10，
∴ AN=523，
∴ 点N的坐标为−43,53，
∴ 点M223,119，点N2−2627,5527，
∴ 点M3−2,3，点N30,3，N4−43,53；
③当∠MAN=∠AFC时，如图5，此时点N在AC的延长线上，
∵ 点N在线段AC上，∴ 该情况不存在．
综上，在抛物线上存在点M，使△AMN与△ACF相似，
当点M的坐标为1,0 时，点N的坐标为 −53,43，
当点M的坐标为23,119 时，点N的坐标为−2627,5527，
当点M的坐标为−2,3 时，点N的坐标为0,3或−43,53．成绩/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人数
2
3
9
8
5
3
时间x（天）
(1≤x<20)
(20≤x≤30)
销售价格y（元/千克）
−0.5x+38
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