2020-2021学年湖北省荆州市某校初三（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省荆州市某校初三（下）4月月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在实数3，1，0，−3中，无理数是( )
A.3B.1C.0D.−3

2. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40∘ ，则∠2的度数为（ ）

A.40∘B.50∘C.140∘D.130∘

3. 如图所示的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）

A.仅主视图不同
B.仅俯视图不同
C.仅左视图不同
D.主视图、左视图和俯视图都相同

4. 用换元法解方程3xx−1+x−13x=2时，若设3xx−1=t，则原方程可化为关于t的方程是（ ）
A.t2−2t+1=0B.t2+2t+1=0C.t2−2t+2=0D.t2−t+2=0

5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≅△NOC的依据是( )

A.AASB.SASC.ASAD.SSS

6. 一次函数y=−3x+1的图象过点(x1, y1)，(x1+1, y2)，(x1+2, y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y1
7. 解方程组x+2y=m+2，x−3y=6m−3时，用含m的代数式表示y的值为（ ）
A.−m−1B.m−1C.−m+1D.m+1

8. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90∘，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是( )

A.DB=DEB.AB=AE
C.∠EDC=∠BACD.∠DAC=∠C

9. 如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点， ∠OBC=30∘，则点C的坐标为( )

A.0,10B.0,5C.0,53D.0,52

10. 直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0的实数解的个数是( )
A.0B.1C.2D.1或2
二、填空题

化简x+y2−x−yx+y的结果是________.

上电脑课时，有一排桌上放有四台电脑，同学A先坐在如图的一台电脑前的座位上，B，C，D三位同学随机坐到其他三个座位上，则A与B两同学坐在相邻电脑前座位上的概率为________．


如图，将一块含30∘角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA=2，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）


如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60∘方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30∘方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60∘方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点 N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为________米．


如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60∘，点E在边AD上，且AE=2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为________．


如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1∼8的整数)．函数y=kxx<0 的图象为曲线L，若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m=_______.

三、解答题

若计算23+62×13−13−1+−20210的结果为k，请估算k的值最接近于哪两个整数之间．

若关于x的一元一次不等式组x−144a−2≤12，3x−12
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点(格点)上．

(1)在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在格点上；

(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在格点上，且△CDG的周长为10+10．连接EG，请直接写出线段EG的长．

每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水；珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x<85，B．85≤x<90，C．90≤x<95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82.
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中a，b，c的值；

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；

(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是多少？

函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y=−2|x|的图象时，经历了分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
经历同样的过程画函数y=−2|x|+2和y=−2|x+2|的图象如图所示．

(1)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．直接写出点A，B的坐标和函数y=−2|x+2|的对称轴；

(2)探索思考：平移函数y=−2|x|的图象可以得到函数y=−2|x|+2和y=−2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离；

(3)拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y=−2|x−3|+1的图象．若点x1,y1和x2,y2在该函数图象上，且x2>x1>3，比较y1，y2的大小．

一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
(1)写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？

如图1，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．

(1)求证：①△AEF≅△BEC；②△BEC∼△ABD；

(2)如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值．

如图①，解析式为y=mx+nm<0,n>0 的直线l与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90∘得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

(1)①若l的解析式为y=−2x+2，求P表示的函数解析式；②若P的解析式为y=−x2−3x+4，求l表示的函数解析式；

(2)求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；

(3)如图②，若l的解析式为y=mx−4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=10，直接写出l，P表示的函数解析式．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省荆州市某校初三（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
无理数的判定
【解析】
根据无理数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：在实数3，1，0，−3中，
有理数为：1，0，−3，
无理数为：3 .
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
三角形的外角性质
平行线的性质
【解析】
根据矩形性质得出EF//GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．
【解答】
解：如图：
∵ EF//GH，
∴ ∠FCD=∠2，
∵ ∠1=40∘，∠A=90∘，
∴ ∠FCD=∠1+∠A=40∘+90∘=130∘，
∴ ∠2=∠FCD=130∘.
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
换元法解分式方程
【解析】
方程的两个分式具备倒数关系，设3xx−1=t，则原方程化为t+1t=2，再转化为整式方程t2−2t+1=0即可求解．
【解答】
解：把3xx−1=t代入原方程得： t+1t=2，
转化为：t2−2t+1=0.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA、SSS对△MOC和△NOC进行分析，即可作出正确选择．
【解答】
解：在△MOC和△NOC中
OM=ON，CM=CN，OC=OC，
∴ △MOC≅△NOC(SSS)．
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
【解析】
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1【解答】
解：在一次函数y=−3x+1中，k=−3<0，
∴ y随着x的增大而减小．
∵ 一次函数y=−3x+1的图象过点(x1, y1)，(x1+1, y2)，(x1+2, y3)，
且x1∴ y3故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
加减消元法解二元一次方程组
【解析】
两个方程相减即可.
【解答】
解：由题意得，x+2y=m+2，①x−3y=6m−3，②
①−②，得，5y=−5m+5，
则y=−m+1.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
作图—基本作图
线段垂直平分线的性质
作线段的垂直平分线
全等三角形的性质与判定
【解析】
证明△ADE≅△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
【解答】
解：由作图可知，∠DAE=∠DAB，∠DEA=∠B=90∘，
∵ AD=AD，
∴ △ADE≅△ADB(AAS)，
∴ DB=DE，AB=AE，故选项AB正确；
∵ ∠AED+∠B=180∘，
∴ ∠BAC+∠BDE=180∘，
∵ ∠EDC+∠BDE=180∘，
∴ ∠EDC=∠BAC，故选项C正确；
不存在条件可证明∠DAC=∠C，故选项D错误.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
含30度角的直角三角形
【解析】
首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90∘，根据90∘的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标．
【解答】
解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，
∵ ∠COD=90∘，
∴ CD是⊙A的直径，
即CD=10，
∵ ∠OBC=30∘，
∴ ∠ODC=30∘，
∴ OC=12CD=5，
∴ 点C的坐标为：0,5.
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
一次函数的性质
【解析】
利用一次函数的性质得到a≤0，再判断△＝22−4a>0，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：∵ 直线y=x+a不经过第二象限，
∴ a≤0，
当a=0时，关于x的方程为2x+1=0，
解得x=−12.
当a<0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是二次方程，
∵ Δ=22−4a>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选C.
二、填空题
【答案】
2xy+2y2
【考点】
完全平方公式
平方差公式
【解析】
利用完全平方公式和平方差公式化简求解即可.
【解答】
解： x+y2−x−yx+y
=x2+2xy+y2−(x2−y2)
=x2+2xy+y2−x2+y2
=2xy+2y2.
故答案为：2xy+2y2.
【答案】
23
【考点】
等可能事件的概率
【解析】
根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】
解：依题意，B，C，D三个同学在所剩位置上从左至右就坐的方式有：
BCD，BDC，CBD，CDB，DBC，DCB，共6种情况，
其中A与B相邻而坐的是CBD，CDB，DBC，DCB，
∴ A与B两同学坐在相邻电脑前座位上的概率是46=23．
故答案为：23．
【答案】
4π3+32
【考点】
切线的性质
扇形面积的计算
【解析】
图中阴影部分的面积＝扇形BOD的面积+△BOC的面积．
【解答】
解：设点B是斜边与半圆相切的切点，如图，
∴ ∠EBO=90∘．
又∵ ∠E=30∘，
∴ ∠EOB=∠EBC=60∘．
∴ ∠BOD=120∘，∠CBO=30∘.
∵ OA=OB=2，
∴ OC = 12OB=1，则BC=3．
∴ S阴影=S扇形BOD+S△BOC
=120π×22360+12×1×3
=4π3+32．
故答案为：43π+32.
【答案】
1500
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
勾股定理
【解析】
首先过点M作MN⊥AC于点N，由题意可求得∠MAN=30∘ ∠MCN=60∘，然后设MN=x，由三角函数的性质，可表示出AN与CN继而可得方程：3x+33x=1000 ，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：如图，过点M作MN⊥AC于点 N，
根据题意得：∠MAN=60∘−30∘=30∘，
∠BCM=60∘，∠DCA=60∘，
∴∠MCN=180∘−60∘−60∘=60∘，
设MN=x ，
在Rt△AMN中，AN=MNtan30∘=3x ，
在Rt△CMN中，CN=MNtan60∘=33x ，
∵ AC=2000米，
∴ 3x+33x=2000，
解得：x=5003.
∴ AN=3x=500×3=1500（米）.
故答案为：1500.
【答案】
27
【考点】
菱形的性质
等边三角形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
过点A和点E作4G⊥BCEH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB=6 ,∠B=60∘，可得EH，由题意可得，FH=FC−HC=2−1=1，进而根据勾股定理可得EF的长．
【解答】
解：如图，过点A和点E分别作AG⊥BC，EH⊥BC于点G，H，
则可得矩形AGHE，则GH=AE=2，
在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60∘，
∴ BG=3，AG=33=EH，
∴ HC=BC−BG−GH=6−3−2=1.
∵ EF平分菱形面积，
∴ FC=AE=2，
∴ FH=FC−HC=2−1=1.
在Rt△EFH中，根据勾股定理，
得EF=EH2+FH2=27+1=27.
故答案为：27.
【答案】
5
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】
由题意可求T1∼T8这些点的坐标，将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解.
【解答】
解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1−16,1，T2−14,2，T3−12,3，T4−10,4，
T5−8,5，T6−6,6，T7−4,7，T8(−2,8).
∵L过点T4，
∴k=−10×4=−40，
∴反比例函数解析式为：y=−40x.
当x=−8时，y=5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m=5.
故答案为：5.
三、解答题
【答案】
解：根据题意得：
k=23×13+62×33−3+1
=2+26−3+1
=26.
∵ 26=24，4<24<5，
∴ k介于整数4与5之间．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
估算无理数的大小
二次根式的混合运算
【解析】
无
【解答】
解：根据题意得：
k=23×13+62×33−3+1
=2+26−3+1
=26.
∵ 26=24，4<24<5，
∴ k介于整数4与5之间．
【答案】
解：由不等式组得：x≤a，x<5.
∵ 该不等式的解集为x≤a，
∴ a<5．
由分式方程解得：y=a+32．
∵ y为非负整数且y≠1，
∴ 0≤a+32<4且a+32≠1，
∴ y=0或2或3，符合题意．
【考点】
解一元一次不等式组
分式方程的解
【解析】
无
【解答】
解：由不等式组得：x≤a，x<5.
∵ 该不等式的解集为x≤a，
∴ a<5．
由分式方程解得：y=a+32．
∵ y为非负整数且y≠1，
∴ 0≤a+32<4且a+32≠1，
∴ y=0或2或3，符合题意．
【答案】
(1)如图，正方形ABEF即为所求．
(2)如图， △CDG即为所求．
则EG=12+22=5．
【考点】
作图—应用与设计作图
勾股定理
【解析】
(1)画出边长为10的正方形即可．
(2)画出两腰为10，底为10的等腰三角形即可．
【解答】
解：(1)如图，正方形ABEF即为所求．
(2)如图， △CDG即为所求．
则EG=12+22=5．
【答案】
解：(1)a=(1−20%−10%−310)×100=40，
∵ 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴ b=94+942=94；
∵ 在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴ c=99.
(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由（写出一条即可）：
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93；
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99.
(3)参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数：720×1320=468人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是468人．
【考点】
众数
中位数
扇形统计图
用样本估计总体
【解析】
（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】
解：(1)a=(1−20%−10%−310)×100=40，
∵ 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴ b=94+942=94；
∵ 在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴ c=99.
(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由（写出一条即可）：
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93；
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99.
(3)参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数：720×1320=468人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是468人．
【答案】
解：(1)由图可得，A0,2，B−2,0，
函数y=−2|x+2|的对称轴为x=−2．
(2)将函数y=−2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y=−2|x|+2的图象．
将函数y=−2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y=−2|x+2|的图象．
(3)将函数y=−2|x|的图象向上平移1个单位，
再向右平移3个单位得到函数y=−2|x−3|+1的图象．
所画图象如图所示，
当x2>x1>3时，y1>y2．
【考点】
函数的图象
平移的性质
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)由图可得，A0,2，B−2,0，
函数y=−2|x+2|的对称轴为x=−2．
(2)将函数y=−2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y=−2|x|+2的图象．
将函数y=−2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y=−2|x+2|的图象．
(3)将函数y=−2|x|的图象向上平移1个单位，
再向右平移3个单位得到函数y=−2|x−3|+1的图象．
所画图象如图所示，
当x2>x1>3时，y1>y2．
【答案】
解：(1)由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，
则y与x是一次函数关系，
则y与x的函数关系式为：y=100−0.5x−120=−0.5x+160，
又销售单价不低于120元/kg且不高于180元/kg,
则自变量x的取值范围为：120≤x≤180.
(2)设销售利润为w元，
则w=x−80−0.5x+160
=−12x2+200x−12800
=−12x−2002+7200.
∵ a=−12<0，
∴ 当x<200时，w随x的增大而增大，
∴ 当x=180时，销售利润最大，
最大利润是：w=−12180−2002+7200=7000（元），
答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
二次函数的应用
【解析】
（1）首先由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，即可得y与x是一次函数关系，则可求得答案；
（2）首先设销售利润为w元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．
【解答】
解：(1)由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，
则y与x是一次函数关系，
则y与x的函数关系式为：y=100−0.5x−120=−0.5x+160，
又销售单价不低于120元/kg且不高于180元/kg,
则自变量x的取值范围为：120≤x≤180.
(2)设销售利润为w元，
则w=x−80−0.5x+160
=−12x2+200x−12800
=−12x−2002+7200.
∵ a=−12<0，
∴ 当x<200时，w随x的增大而增大，
∴ 当x=180时，销售利润最大，
最大利润是：w=−12180−2002+7200=7000（元），
答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．
【答案】
(1)证明：①在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，
∴ ∠ABC=60∘．
在等边△ABD中，∠BAD=60∘，
∴ ∠BAD=∠ABC=60∘．
∵ E为AB中点，
∴ AE=BE，
又∵ ∠AEF=∠BEC，
∴ △AEF≅△BEC．
②在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，E为AB中点
∴ BC=EC=BE，
∴ △BEC为等边三角形，
而△ABD为等边三角形，
∴ ∠CBE=∠DAB=∠ECB=∠ABD=60∘，
∴ △BEC∼△ABD．
(2)解：∵ ∠BAD=60∘，∠CAB=30∘，
∴ ∠CAH=90∘．
在Rt△ABC中，∠CAB=30∘，
设BC=a，
∴ AB=2BC=2a，
∴ AD=AB=2a，
设AH=x，
则HC=HD=AD−AH=2a−x．
在Rt△ABC中，AC2=2a2−a2=3a2．
在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，
即x2+3a2=2a−x2．
解得：x=14a，
即AH=14a，
∴ HC=2a−x=2a−14a=74a，
∴ sin∠ACH=AHHC=14a74a=17．
【考点】
直角三角形全等的判定
相似三角形的判定
勾股定理
锐角三角函数的定义
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：①在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，
∴ ∠ABC=60∘．
在等边△ABD中，∠BAD=60∘，
∴ ∠BAD=∠ABC=60∘．
∵ E为AB中点，
∴ AE=BE，
又∵ ∠AEF=∠BEC，
∴ △AEF≅△BEC．
②在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，E为AB中点
∴ BC=EC=BE，
∴ △BEC为等边三角形，
而△ABD为等边三角形，
∴ ∠CBE=∠DAB=∠ECB=∠ABD=60∘，
∴ △BEC∼△ABD．
(2)解：∵ ∠BAD=60∘，∠CAB=30∘，
∴ ∠CAH=90∘．
在Rt△ABC中，∠CAB=30∘，
设BC=a，
∴ AB=2BC=2a，
∴ AD=AB=2a，
设AH=x，
则HC=HD=AD−AH=2a−x．
在Rt△ABC中，AC2=2a2−a2=3a2．
在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，
即x2+3a2=2a−x2．
解得：x=14a，
即AH=14a，
∴ HC=2a−x=2a−14a=74a，
∴ sin∠ACH=AHHC=14a74a=17
【答案】
解：(1)①若l:y=−2x+2，则A(1,0)，B(0,2) .
∵ 将△AOB绕点O逆时针旋转90∘，得到△COD，
∴ D−2,0 .
设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
将点A，B，D坐标代入得：
a+b+c=0，c=2，4a−2b+c=0，解得a=−1，b=−1，c=2，
∴ P表示的函数解析式为：y=−x2−x+2 .
②若P的解析式为y=−x2−3x+4=−x+4x−1，
则D−4,0，A(1,0)，B0,4 .
设l表示的函数解析式为：y=kx+b，
将点A，B坐标代入得：
k+b=0，b=4，解得k=−4，b=4，
∴ l表示的函数解析式为：y=−4x+4 .
(2)直线l:y=mx+nm<0,n>0，
令y=0，即mx+n=0，得x=−nm；
令x=0，得y=n .
∴ A−nm,0，B0,n，
∴ D−n,0 .
设抛物线对称轴与x轴的交点为Nx,0，
∵ DN=AN，
∴ −nm−x=x−−n，
∴ 2x=−n−nm，
∴ P的对称轴为直线x=−mn+n2m .
(3)如图所示，连接OG，OH，
∵ 点G，H为斜边中点，
∴ OG=12AB，OH=12CD．
由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴ △OGH为等腰直角三角形．
∵ 点M为GH中点，
∴ △OMG为等腰直角三角形，
∴ OG=2OM=2⋅10=25，
∴ AB=2OG=45，
∵ l:y=mx−4m，
∴ A(4,0)，B(0,−4m)．
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2+OB2=AB2，
即42+(−4m)2=(45)2，
解得：m=−2或m=2，
∵ 点B在y轴正半轴，
∴ m=2舍去，则m=−2，
∴ l表示的函数解析式为：y=−2x+8，
∴ B0,8，D−8,0 .
又A(4,0)，
利用待定系数法求得P:y=−14x2−x+8.
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式
二次函数综合题
勾股定理
【解析】



【解答】
解：(1)①若l:y=−2x+2，则A(1,0)，B(0,2) .
∵ 将△AOB绕点O逆时针旋转90∘，得到△COD，
∴ D−2,0 .
设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
将点A，B，D坐标代入得：
a+b+c=0，c=2，4a−2b+c=0，解得a=−1，b=−1，c=2，
∴ P表示的函数解析式为：y=−x2−x+2 .
②若P的解析式为y=−x2−3x+4=−x+4x−1，
则D−4,0，A(1,0)，B0,4 .
设l表示的函数解析式为：y=kx+b，
将点A，B坐标代入得：
k+b=0，b=4，解得k=−4，b=4，
∴ l表示的函数解析式为：y=−4x+4 .
(2)直线l:y=mx+nm<0,n>0，
令y=0，即mx+n=0，得x=−nm；
令x=0，得y=n .
∴ A−nm,0，B0,n，
∴ D−n,0 .
设抛物线对称轴与x轴的交点为Nx,0，
∵ DN=AN，
∴ −nm−x=x−−n，
∴ 2x=−n−nm，
∴ P的对称轴为直线x=−mn+n2m .
(3)如图所示，连接OG，OH，
∵ 点G，H为斜边中点，
∴ OG=12AB，OH=12CD．
由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴ △OGH为等腰直角三角形．
∵ 点M为GH中点，
∴ △OMG为等腰直角三角形，
∴ OG=2OM=2⋅10=25，
∴ AB=2OG=45，
∵ l:y=mx−4m，
∴ A(4,0)，B(0,−4m)．
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2+OB2=AB2，
即42+(−4m)2=(45)2，
解得：m=−2或m=2，
∵ 点B在y轴正半轴，
∴ m=2舍去，则m=−2，
∴ l表示的函数解析式为：y=−2x+8，
∴ B0,8，D−8,0 .
又A(4,0)，
利用待定系数法求得P:y=−14x2−x+8.x
⋯
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
⋯
−6
−4
−2
0
−2
−4
−4
…
销售单价x(元/kg)
120
130
⋯
180
每天销量y（kg）
100
95
⋯
70