2020-2021学年湖北省襄阳市某校九年级（下）3月周考测试数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省襄阳市某校九年级（下）3月周考测试数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 与−−2互为倒数的是（ ）
A.2B.−2C.12D.−12

2. 如图，直线l1 // l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45∘，∠1=65∘，则∠2的度数为( )

A.45∘B.65∘C.70∘D.80∘

3. 下列运算正确的是( )
A.a4+a5=a9B.2a4⋅3a5=6a9
C.−a42=a6D.−a−1=1a

4. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )
A. B.C.D.

5. 不等式组 x+13≤1,x+2>1 的最小整数解为（ ）
A.−1B.0C.1D.2

6. 下列说法中错误的是( )
A.必然事件发生的概率为1
B.不可能事件发生的概率为0
C.随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1
D.概率很小的事件不可能发生

7. 下列四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

8. 函数y=x+1x2−1中，自变量x的取值范围是( )
A.x≥−1B.x≥−1且x≠1C.x>−1且x≠1D.x≥1

9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：“一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？”经过计算，你的结论是：长比宽多( )
A.12步B.24步C.36步D.48步

10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=−1，下列结论不正确的是( )

A.b2>4ac
B.abc>0
C.a−c<0
D.am2+bm≥a−b（m为任意实数）
二、填空题

我国已有4款新冠病毒疫苗附条件上市，并且为全国民众免费接种．截至3月14日，全国累计接种人数近6500万，请将“6500万”用科学记数法表示记为________．

已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是________．

一个不透明的口袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4，随机抽取一张卡片不放回，再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字都是偶数的概率是________．

如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50∘，则∠ACD=________​∘.


某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面203米，则水流下落点B离墙的距离OB是________m．


如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连接EF交AD于点P．若AB=4，AE=3，则AP的长等于________．

三、解答题

先化简，再求值：x2−1x2−x+2+x2+1x，其中x=2−1.

某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
(说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70−79分为生产技能良好，60−69为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格)
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
得出结论
(1)上表中m=________，n=________；

(2)甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是________部门，估计乙部门生产技能优秀的员工人数为________；

(3)可以推断出________部门员工的生产技能水平较高，理由为________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

如图，在▱ABCD中，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，
(1)利用尺规作∠BCD的平分线CF，交AD于点E，交BA的延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)若AB=6，BC=8，求AE+AF的值．

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A，B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60∘的方向上，C位于B的北偏东27∘的方向上，且A，B的距离是12.3km．为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长(参考数据： sin27∘≈0.45，cs27∘≈0.89，tan27∘≈0.50，3≈1.73)．


九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=6|x|的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=________；
描点：根据表中各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；

(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：①________；②________．

如图，AB是⊙O的直径，AC，BC，CE是⊙O的弦，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC于点D，且交⊙O于点E．
(1)求证： ∠P=∠AEC；

(2)若AC=BE，CE=2，求图中由线段PB，PE及BE所围成的阴影部分的面积．

某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球．

(1)求该商场采购费用y(单位：元)与x(单位：个)的函数关系式，并写出自变最x的取值范围；

(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；

(3)受原材料和工艺等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了3mm>0元/个，同时排球的批发价上调了2m元/个，发现将100个球全部售出最低利润是2300元，求m的值．

如图，在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE=90∘，点P为射线BD，CE的交点．
(1)问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．求证①∠ABD=∠ACE；②求∠BPC的度数．

(2)猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30∘，则(1)中的结论是否成立？请说明理由．

(3)拓展延伸：在(1)的条件中，若AB=2，AD=1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90∘时，直接写出PB的长．

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−43x+c经过A0,−2，B3,0两点，该抛物线与x轴的另一个交点为C，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式及C，D两点的坐标；

(2)动点P，Q均在x轴下方，点P在抛物线上，点Q在抛物线对称轴上，且∠BQP=90∘ ．若以B，P，Q为顶点的三角形与以A，O，C为顶点的三角形相似，求点P的坐标；

(3)当m≤x≤m+1时，−52≤y≤−76，求m的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省襄阳市某校九年级（下）3月周考测试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
相反数
倒数
【解析】
根据相反数和倒数的定义即可作出判断．
【解答】
解：−−2=2互为倒数的数是12.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
平行线的判定与性质
三角形内角和定理
【解析】
根据平行线的性质求出∠AEF，根据三角形内角和定理求出∠AFE，即可得出答案．
【解答】
解：∵ 直线l1 // l2，∠1=65∘，
∴ ∠AEF=∠1=65∘.
∵ ∠A=45∘，
∴ ∠2=∠AFE=180∘−∠A−∠AEF=70∘.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
幂的乘方与积的乘方
零指数幂、负整数指数幂
同底数幂的乘法
合并同类项
【解析】
根据同底数幂的乘法，积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整指数幂可得答案．
【解答】
解：A，不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故A错误；
B，2a4⋅3a5=6a9，故B正确；
C，−a42=a8，故C错误；
D，−a−1=−1a，故D错误.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
简单几何体的三视图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，主视图由三列小正方体构成，从左到右小正方体的个数为1, 2, 1，左视图由一列两行小正方体构成，不符合题意；
B，主视图是由三行小正方体构成，从上到下小正方体的个数为1, 1, 2，且上面两行小正方体位于最后一行小正方体的中央，左视图由一列三行小正方体构成，不符合题意；
C，主视图、左视图都是由两列小正方体构成，主视图从左到右小正方体的个数为1, 2，左视图从左到右小正方体的个数为2, 1，不符合题意.
D，主视图、左视图都是由两列小正方体构成，从左到右小正方体的个数为2, 1，符合题意；
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
解一元一次不等式组
一元一次不等式组的整数解
【解析】
根据解不等式组的方法，先求得原不等式组的解集，然后即可得到不等式组的最小整数解．
【解答】
解： x+13≤1①,x+2>1②,
由不等式①，得x≤2，
由不等式②，得x>−1，
故原不等式组的解集是−1故不等式组的最小整数解为0.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
可能性的大小
【解析】
解答此题的关键在于理解可能性的大小的相关知识，掌握一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
【解答】
解：A，必然事件发生的概率为1，故A不符合题意；
B，不可能事件发生的概率为0，故B不符合题意；
C，随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1，故C不符合题意；
D，概率很小的事件发生的可能性小，但也可能发生，故D符合题意；
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
中心对称图形
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解．
【解答】
解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形；
B，不是轴对称图形，是中心对称图形；
C，不是轴对称图形，是中心对称图形；
D，既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
函数自变量的取值范围
【解析】
依据二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零列不等式组求解即可．
【解答】
解：由题意得：x+1≥0，x2−1≠0，
解得x>−1且x≠1，
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设田地长x步，则宽为(60−x)步，
则由x>60−x得x>30，
由题意得x(60−x)=864，
解得x=36或x=24（舍去），
所以60−x=60−36=24，
所以长比宽多36−24=12(步).
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：由图象可得：a>0，c>0，
Δ=b2−4ac>0，−b2a=−1，
∴ b=2a>0，b2>4ac，故A选项不合题意，
∴ abc>0，故B选项不合题意，
当x=−1时，y<0，
∴ a−b+c<0，
∴ −a+c<0，即a−c>0，故C选项符合题意，
当x=m时，y=am2+bm+c，
当x=−1时，y有最小值为a−b+c，
∴ am2+bm+c≥a−b+c，
∴ am2+bm≥a−b，故D选项不合题意.
故选C.
二、填空题
【答案】
6.5×107
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：6500万=65000000=6.5×107．
故答案为：6.5×107．
【答案】
24cm2
【考点】
菱形的面积
菱形的性质
勾股定理
【解析】
先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x，6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【解答】
解：∵ 菱形的周长是20cm，
∴ 边长为20÷4=5cm，
∵ 两条对角线的比是4:3，
∴ 设菱形的两对角线分别为8x，6x，
则对角线的一半分别为4x，3x，
根据勾股定理得，(4x)2+(3x)2=52，
解得x=1，
所以，两对角线长度分别为8cm，6cm，
所以，这个菱形的面积=12×8×6=24cm2．
故答案为：24cm2．
【答案】
16
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
首先列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两个球上的数字都是偶数的情况，利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：列表如下：
∵ 由上表可知，所有等可能结果共有12种，
两次抽取的卡片上数字都是偶数的结果共2种，
∴ 两次抽取的卡片上数字都是偶数的概率=212=16．
故答案为：16．
【答案】
40
【考点】
圆周角定理
【解析】
欲求么∠ACD，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】
解：∵ AB为圆的直径，
∴ADB=90∘，
∵ ∠BAD=50∘，
∴ ∠ABD=40∘，
∴ ∠ACD=40∘，
故答案为：40．
【答案】
3
【考点】
二次函数的应用
【解析】
由题意可以知道M1,203A0,5用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【解答】
解：根据题意建立如图所示的坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax−12+203，
由题意，得：当x=0时，5=a+203，
解得：a=−53，
∴ 抛物线的解析式为：y=−53x−12+203，
当y=0时，0=−53x−12+203，
解得：x1=−1（舍去），x2=3，
∴ OB=3m，
故答案为：3.
【答案】
635
【考点】
相似三角形的性质与判定
平行线分线段成比例
直角三角形斜边上的中线
等腰直角三角形
【解析】
根据相似三角形的性质得到AD:CA=AE:AD，推出AD2=AC⋅AE即可解决问题；利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF//AC，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】
解：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC=∠AED=90∘，
∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∼△CAD，
∴AD:CA=AE:AD，
∴AD2=AC⋅AE，
∵AC=AB，
∴AD2=AB⋅AE=4×3=12，
∴AD=23，
如图，连接DF．
∵AB=4，∠ADB=90∘，BF=AF，
∴DF=12AB=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴DF//AC，
∴DFAE=DPAP=23，
∴ADAP=53，
∴AP=635．
故答案为：635．
三、解答题
【答案】
解：x2−1x2−x+2+x2+1x
=x−1x+1xx−1+x2+2x+1x
=x+1x+x2+2x+1x
=x2+3x+2x
=(x+1)(x+2)x，
当x=2−1时，
原式=(2−1+1)(2−1+2)2−1
=2(2+1)2−1
=2(2+1)2(2−1)(2+1)
=4+32．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先将分式化简，再利用分式的运算和分母有理化进行求值即可.
【解答】
解：x2−1x2−x+2+x2+1x
=x−1x+1xx−1+x2+2x+1x
=x+1x+x2+2x+1x
=x2+3x+2x
=(x+1)(x+2)x，
当x=2−1时，
原式=(2−1+1)(2−1+2)2−1
=2(2+1)2−1
=2(2+1)2(2−1)(2+1)
=4+32．
【答案】
75,80.5
甲,240
甲,①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
【考点】
众数
中位数
方差
用样本估计总体
【解析】
a．众数是指一组数据出现次数最多的数据；偶数个数据的中位数是指中间两个数据相加再除以2,据此结合表中数据可解；
b．方差小的数据均衡，则比较两组数据的方差即可得出生产技能水平比较均衡的部门；用400乘以样本数据中乙部门的优秀率即可；
c．从平均分及有无不合格的员工可推断出甲部门员工的生产技能水平较高．
【解答】
解：(1)由题中第一个表格可知：
甲中出现次数最多的是75，则众数为75，即m=75;
由第二个表格可知：乙的第10和11个数据在80≤x≤89范围内,
再观察第一个表可知，第10个数为80，第11个数为81，
故中位数为80+812=80.5，即n=80.5,
故答案为：75，80.5．
(2)∵ 甲的方差为33.61，乙的方差为117.5，
∴甲的方差<乙的方差，
∴甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是甲部门；
∵ 成绩80分及以上为生产技能优秀，乙符合此条件的有10+2=12 （人），
∴ 估计乙部门生产技能优秀的员工人数为： 400×1220=240 （人）．
故答案为：甲；240．
(3)可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，
理由：①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
故答案为：甲；①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
【答案】
解：(1)如图所示，CF即为所求．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD=BC=8，
CD=AB=6，
∴∠F=∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCB=∠DCF，
∴∠F=∠FCB，
∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，
∴AF=BF−AB=8−2=2，
AE=AD−DE=8−6=2，
∴AE+AF=2+2=4．
【考点】
作图—复杂作图
角平分线的定义
平行四边形的性质
等腰三角形的性质
【解析】
(1)根据要求作图．
(2)由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF−AB=2，AE=AD，DE=2，即可得出结果．
【解答】
解：(1)如图所示，CF即为所求．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD=BC=8，
CD=AB=6，
∴∠F=∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCB=∠DCF，
∴∠F=∠FCB，
∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，
∴AF=BF−AB=8−2=2，
AE=AD−DE=8−6=2，
∴AE+AF=2+2=4．
【答案】
解：过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm，
在△ACD中，∠ADC=90∘，∠CAD=30∘，
∴AD=3CD≈1.73xkm，
在△BCD中， ∠BDC=90∘，∠DCB=27∘，
∴BD=CD⋅tan27∘≈0.50xkm，
∵AD−BD=AB，
∴1.73x−0.50x=12.3，
∴x=10．
故这条最短公路的长约为10km．
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm ．先解直角△ACD，得出AD=3CD≈1.73xkm，再解直角△BCD，得出BD=CD⋅tan27∘≈0.50xkm，然后根据AD−BD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】
解：过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm，
在△ACD中，∠ADC=90∘，∠CAD=30∘，
∴AD=3CD≈1.73xkm，
在△BCD中， ∠BDC=90∘，∠DCB=27∘，
∴BD=CD⋅tan27∘≈0.50xkm，
∵AD−BD=AB，
∴1.73x−0.50x=12.3，
∴x=10．
故这条最短公路的长约为10km．
【答案】
解：(1)当x<0时， xy=−6，
而当x>0时，xy=6，
∴ m=66=1，
故答案为：1；
补全图象如图所示：
2根据1中的图象可得：①函数的图象关于y轴对称，
②当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
【考点】
反比例函数的应用
反比例函数的性质
函数的图象
【解析】
（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x<0时， y=−2，而当x>0时， xy=2，求出m的值；补全图象；
2根据1中的图象，得出两条图象的性质；
【解答】
解：(1)当x<0时， xy=−6，
而当x>0时，xy=6，
∴ m=66=1，
故答案为：1；
补全图象如图所示：
2根据1中的图象可得：①函数的图象关于y轴对称，
②当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
【答案】
(1)证明：∵PB是⊙O的切线，OB⊥PB，
∴∠OBP=90∘，
∴∠BOP+∠P=90∘.
∵OP⊥BC，
∴∠BOP+∠ABC=90∘，
∴∠ABC=∠P.
∵∠ABC=∠AEC，
∴∠AEC=∠P.
(2)解：连接OC.
∵AC=BE，
∴∠ABC=∠BAE.
由圆周角定理得，∠BOE=2∠BAE，
∴∠BOE=2∠ABC，
∴∠BOE+∠ABC=90∘，
∴∠BOE=60∘，∠ABC=30∘.
∵AC=BE，
∴∠AOC=∠BOE=60∘，
∴∠COE=60∘.
∵OC=OE，
∴△COE为等边三角形，
∴OE=CE=2.
在Rt△POB中，∠POB=60∘，
∴OP=4，PB=23，
∴阴影部分的面积=12×2×23−60π×22360=23−23π.
【考点】
切线的性质
圆周角定理
三角形内角和定理
等边三角形的性质与判定
求阴影部分的面积
【解析】
(1)根据切线的性质得到OB⊥PB，根据圆周角定理得到∠ABC=∠AEC，等量代换证明结论；
(2)连接OC，根据圆周角定理、三角形内角和定理求出∠BOE=60∘，∠ABC=30∘，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】
(1)证明：∵PB是⊙O的切线，OB⊥PB，
∴∠OBP=90∘，
∴∠BOP+∠P=90∘.
∵OP⊥BC，
∴∠BOP+∠ABC=90∘，
∴∠ABC=∠P.
∵∠ABC=∠AEC，
∴∠AEC=∠P.
(2)解：连接OC.
∵AC=BE，
∴∠ABC=∠BAE.
由圆周角定理得，∠BOE=2∠BAE，
∴∠BOE=2∠ABC，
∴∠BOE+∠ABC=90∘，
∴∠BOE=60∘，∠ABC=30∘.
∵AC=BE，
∴∠AOC=∠BOE=60∘，
∴∠COE=60∘.
∵OC=OE，
∴△COE为等边三角形，
∴OE=CE=2.
在Rt△POB中，∠POB=60∘，
∴OP=4，PB=23，
∴阴影部分的面积=12×2×23−60π×22360=23−23π.
【答案】
解：(1)根据题意得，
y=120x+100100−x=20x+10000，
又∵ x≥100−x，120x+100100−x≤11200，解得50≤x≤60，
∴ y=20x+1000050≤x≤60，
答：采购费用y与x的函数关系式为y=20x+1000050≤x≤60．
(2)设总利润为W，根据题意得：
W=150−120x+120−100100−x=10x+2000，
∵ k=10>0，
∴ W随x的增大而增大，
∴ x=60时， W最大=600+2000=2600元，
答：商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元．
(3)由题意得：
W=30−3mx+20−2m100−x
=10−mx−200m+2000，
①当10−m>0时，即m<10时，W随x的增大而增大，
又∵ 50≤x≤60，
∴ 当x=50时，W最小=2300，
即10−m×50−200m+2000=2300，
解得 m=45；
②当10−m<0时，即m>10时，W随x的增大而减小，
又∵ 50≤x≤60，
∴ 当x=60时，W最小=2300，
即：10−m×60−200m+2000=2300，
解得m=1513，舍去．
综上所述，将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元时，m的值为45元．
【考点】
一次函数的应用
一元一次不等式组的应用
【解析】
(1)设该商场采购x个篮球，(100−x)个排球，根据表格写出函数关系式即可，根据题意列出关于x的不等式组，进一步确定自变量x的取值范围；
(2)设该商场获得利润元，先求出一个篮球及排球各自所获利润，再乘以数量即可，根据函数的变化情况即可确定最大利润.
(3)先列出利润W关于m的表达式，分情况讨论一次性系数的取值，根据最低利润确定m的值.
【解答】
解：(1)根据题意得，
y=120x+100100−x=20x+10000，
又∵ x≥100−x，120x+100100−x≤11200，解得50≤x≤60，
∴ y=20x+1000050≤x≤60，
答：采购费用y与x的函数关系式为y=20x+1000050≤x≤60．
(2)设总利润为W，根据题意得：
W=150−120x+120−100100−x=10x+2000，
∵ k=10>0，
∴ W随x的增大而增大，
∴ x=60时， W最大=600+2000=2600元，
答：商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元．
(3)由题意得：
W=30−3mx+20−2m100−x
=10−mx−200m+2000，
①当10−m>0时，即m<10时，W随x的增大而增大，
又∵ 50≤x≤60，
∴ 当x=50时，W最小=2300，
即10−m×50−200m+2000=2300，
解得 m=45；
②当10−m<0时，即m>10时，W随x的增大而减小，
又∵ 50≤x≤60，
∴ 当x=60时，W最小=2300，
即：10−m×60−200m+2000=2300，
解得m=1513，舍去．
综上所述，将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元时，m的值为45元．
【答案】
(1)证明：①∵ △ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴ ∠BAC=∠DAE=90∘，
AB=AC，AD=AE，
又∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，
即∠DAB=∠CAE，
∴△ADB≅△AECSAS，
∴∠ABD=∠ACE，
②∵ ∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP
=180∘−∠ABC−∠BCP+∠ACE
=180∘−45∘−45∘=90∘．
(2)解：(1)中结论成立，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ABC=30∘，
∴AB=3AC，
在Rt△ADE中， ∠ADE=30∘,
∴ AD=3AE，
∴ ADAB=AEEC，
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ADB∼△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP
=180∘−30∘−∠BCP+∠ACE，
∴∠BPC=90∘．
(3)解：①当点E在AB上时，BE=AB−AE=1，
∵∠EAC=90∘，
∴CE=AE2+AC2=5，
同(1)可证△ADB≅△AEC，
∴∠DBA=∠ECA，
又∵ ∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∼△AEC，即PBAC=BECE，
∴ PB2=15，∴PB=255．
②当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=3，
∵∠EAC=90∘，∴CE=5，
同(1)可证△ADB≅△AEC，
∴∠DBA=∠ECA，
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∼△AEC，
∴PBAC=BECE，即PB2=35，
∴PB=655，
综上所述，PB的长为655或255．
【考点】
等腰直角三角形
全等三角形的性质与判定
三角形内角和定理
相似三角形的性质与判定
旋转的性质
【解析】
(1)①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据“SAS”可证明△ADB≅△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；
②由三角形内角和定理可求∠BPC的度数；
(2)先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；
(3)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
【解答】
(1)证明：①∵ △ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴ ∠BAC=∠DAE=90∘，
AB=AC，AD=AE，
又∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，
即∠DAB=∠CAE，
∴△ADB≅△AECSAS，
∴∠ABD=∠ACE，
②∵ ∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP
=180∘−∠ABC−∠BCP+∠ACE
=180∘−45∘−45∘=90∘．
(2)解：(1)中结论成立，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ABC=30∘，
∴AB=3AC，
在Rt△ADE中， ∠ADE=30∘,
∴ AD=3AE，
∴ ADAB=AEEC，
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ADB∼△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BPC=180∘−∠ABD−∠ABC−∠BCP
=180∘−30∘−∠BCP+∠ACE，
∴∠BPC=90∘．
(3)解：①当点E在AB上时，BE=AB−AE=1，
∵∠EAC=90∘，
∴CE=AE2+AC2=5，
同(1)可证△ADB≅△AEC，
∴∠DBA=∠ECA，
又∵ ∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∼△AEC，即PBAC=BECE，
∴ PB2=15，∴PB=255．
②当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=3，
∵∠EAC=90∘，∴CE=5，
同(1)可证△ADB≅△AEC，
∴∠DBA=∠ECA，
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∼△AEC，
∴PBAC=BECE，即PB2=35，
∴PB=655，
综上所述，PB的长为655或255．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线y=ax2−43x+c经过A(0,−2)，B(3,0)两点，
∴ 9a−4+c=0,c=−2,解得a=23,c=−2,
∴ 抛物线的解析式为y=23x2−43x−2，
当y=0时，23x2−43x−2=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴ 点C的坐标是(−1,0)．
∵ y=23x2+43x−2=23(x−1)2−83，
∴ 点D的坐标是1,−83．
(2)设抛物线的对称轴交x轴于点E．
过点P作PF⊥DE于点F，
设点P的坐标为(ℎ,k)．
则OA=2，OC=1，BE=2，
DE=83，PF=|ℎ−1|，EF=−k．∴ OAOC=2．
易证△QFP∼△BEQ，则FQBE=PFEQ=PQBQ．
∴ 当△BQP∼△COA时，PQBQ=OAOC=2．
∴ FQBE=2，则有FQ=2BE=4．
而FQ∴ △BQP∼△AOC，BQPQ=OAOC=2．
∴ FQBE=PFEQ=12，
即FQ=12BE=1，EQ=2PF=2|ℎ−1|．
①如图，当点P在对称轴右侧时，ℎ>1，
EQ=2|ℎ−1|=2ℎ−2，
∴ 2ℎ−2+1=−k，即k=−2ℎ+1，
∵ P在抛物线上，
∴ 23ℎ2−43ℎ−2=−2ℎ+1，
解得ℎ1=−1+192，ℎ2=−1−192（舍去），
∴ ℎ=−1+192，k=−2ℎ+1=2−19．
即点P的坐标为−1+192，2−19．
②如图，当点P在对称轴左侧时，ℎ<1，
EQ=2|ℎ−1|=2−2ℎ，
∴ 2−2ℎ−1=−k，即k=2ℎ−1，
∵ P在抛物线上，
∴ 23ℎ2−43ℎ−2=2ℎ−1，
解得ℎ1=5−312，ℎ2=5+312（舍去），
∴ ℎ=5−312，k=2ℎ−1=4−31．
即点P的坐标为5−312，4−31．
∴ 点P的坐标为−1+192，2−19或5−312，4−31．
(3)∵ y=−23x−12−83，23>0．
∴ 当x=1时，y取最小值为−83．
∵ −83<−52，当m≤x≤m+1时，−52≤y≤−76，
∴ m+1<1或m>1．
若m+1<1，即m<0，
则当m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小．
∴ 当x=m时，y=−76．
即23(m−1)2−83=−76，
解得m1=−12，m2=52 （舍去）．
若m>1，则当m≤x≤m+1时，y随x的增大而增大．
∴ 当x=m时，y=−52．
即23(m−1)2−83=−52，
解得m1=32，m2=12（舍去）．
∴ m=−12或m=32．
【考点】
抛物线与x轴的交点
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象上点的坐标特征
相似三角形的性质与判定
二次函数综合题
二次函数在给定区间上的最值
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)∵ 抛物线y=ax2−43x+c经过A(0,−2)，B(3,0)两点，
∴ 9a−4+c=0,c=−2,解得a=23,c=−2,
∴ 抛物线的解析式为y=23x2−43x−2，
当y=0时，23x2−43x−2=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴ 点C的坐标是(−1,0)．
∵ y=23x2+43x−2=23(x−1)2−83，
∴ 点D的坐标是1,−83．
(2)设抛物线的对称轴交x轴于点E．
过点P作PF⊥DE于点F，
设点P的坐标为(ℎ,k)．
则OA=2，OC=1，BE=2，
DE=83，PF=|ℎ−1|，EF=−k．∴ OAOC=2．
易证△QFP∼△BEQ，则FQBE=PFEQ=PQBQ．
∴ 当△BQP∼△COA时，PQBQ=OAOC=2．
∴ FQBE=2，则有FQ=2BE=4．
而FQ∴ △BQP∼△AOC，BQPQ=OAOC=2．
∴ FQBE=PFEQ=12，
即FQ=12BE=1，EQ=2PF=2|ℎ−1|．
①如图，当点P在对称轴右侧时，ℎ>1，
EQ=2|ℎ−1|=2ℎ−2，
∴ 2ℎ−2+1=−k，即k=−2ℎ+1，
∵ P在抛物线上，
∴ 23ℎ2−43ℎ−2=−2ℎ+1，
解得ℎ1=−1+192，ℎ2=−1−192（舍去），
∴ ℎ=−1+192，k=−2ℎ+1=2−19．
即点P的坐标为−1+192，2−19．
②如图，当点P在对称轴左侧时，ℎ<1，
EQ=2|ℎ−1|=2−2ℎ，
∴ 2−2ℎ−1=−k，即k=2ℎ−1，
∵ P在抛物线上，
∴ 23ℎ2−43ℎ−2=2ℎ−1，
解得ℎ1=5−312，ℎ2=5+312（舍去），
∴ ℎ=5−312，k=2ℎ−1=4−31．
即点P的坐标为5−312，4−31．
∴ 点P的坐标为−1+192，2−19或5−312，4−31．
(3)∵ y=−23x−12−83，23>0．
∴ 当x=1时，y取最小值为−83．
∵ −83<−52，当m≤x≤m+1时，−52≤y≤−76，
∴ m+1<1或m>1．
若m+1<1，即m<0，
则当m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小．
∴ 当x=m时，y=−76．
即23(m−1)2−83=−76，
解得m1=−12，m2=52 （舍去）．
若m>1，则当m≤x≤m+1时，y随x的增大而增大．
∴ 当x=m时，y=−52．
即23(m−1)2−83=−52，
解得m1=32，m2=12（舍去）．
∴ m=−12或m=32．部门
平均数
中位数
众数
方差
甲
78.3
77.5
m
33.61
乙
78
n
81
117.5
x
⋯
−4
−3
−2
−1
2
3
6
4
⋯
y
⋯
1.5
2
3
6
6
m
2
1.5
⋯
品名
厂家批发价(元/个)
商场零售价(元/个)
篮球
120
150
排球
100
120
1
2
3
4
1
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)