冲刺小卷18 相似三角形-【冲刺小卷】备战2022年中考数学基础题型专项突破练习（全国通用）·

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1．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（ ）
A．14B．12.4C．10.5D．9.3
C【解析】∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，
又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴BACD=EBEC，即1.2CD=1.614，解得：CD＝10.5，故选：C．
2.（2021•碑林区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（ ）
A．1.8B．2.2C．2.4D．2.8
C【解析】在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠BAD＝∠B＝90°，∵点E是边BC的中点，∴BE=12BC＝1.5，
∴AE=AB2+BE2=2.5，∵DF⊥AE，∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠FDA＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE∽△DFA，∴DFAB=ADEA，∴DF2=32.5，∴DF＝2.4．故选：C．
3.（2021•无棣县一模）如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4B．6C．5.2D．4.8
D【解析】在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AE：DE＝2：1，∴AE=23AD，∴AE=23AD=23BC∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，∴△AFE∽△CFB，∴AFFC=AEBC=23，∵AC＝12，∴AF=23+2×12＝4.8．故选：D．
4.（2021 •海淀区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A．FHEH=CFADB．EGGH=AGGDC．EABE=EGEFD．ABBE=AGBF
D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∴△CHF∽△BEF，∴FHEH=CFBC，∴FHEH=CFAD，故选项A不合题意；∵AB∥CD，∴△AGE∽△DGH，∴EGGH=AGGD，故选项B不合题意；∵AD∥BC，∴△AEG∽△BEF，∴AEBE=EGEF=AGBF，故选项C不合题意，选项D符合题意，故选：D．
5．（2021•宝应县二模）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10，则DE的值为 8 ．
8【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC，即4AB=DE4，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，
故答案为：8．
6.（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 65 ．
65【解析】∵∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴MCMD=ACBD=23，MNBD=CMCD，∴CMCD=25，∴MN3=25，∴MN=65．故答案为：65．
7.（2021•西湖区二模）如图，已知BD是△ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点，且AE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．
解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD．∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠E．∴∠E＝∠CBD．
∵∠EDA＝∠BDC，∴△ADE～△CDB．
（2）∵AE＝AB，AB＝6，∴AE＝6．∵△ADE～△CDB，∴AEBC=DEBD．∵BD＝4，DE＝5，∴6BC=54．
∴BC=245．
考点2 相似三角形的实际应用
8.（2021•绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（ ）
A．2mB．3mC．32mD．103m
A【解析】∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴ABPO=ACPC，∴AB5=33+4.5，∴AB＝2（m），故选：A．
9.（2021•东城区期末）如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（ ）
A．线段BPB．线段CPC．线段ABD．线段AD
C【解析】如图，连接AB．∵∠DCP＝∠ABP，∠DPC＝∠APB，∴△APB∽△DPC，∴AP：DP＝AB：DC．
∴只需再测量AB线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．故选：C．
10．（2021•阳山县期末）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
A．36mmB．40mmC．72mmD．80mm
A【解析】设矩形的宽EF＝xmm，则长EH＝2xmm，∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，EF∥AD，
∴△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，∴EFAD=BEBA，EHBC=AEAB，∴x45=BEBA，2x60=AEAB，∵BE+AE＝AB，∴x45+2x60=BEAB+AEAB=ABAB=1，
解得：x＝18，∴EF＝18mm，EH＝36mm，故选：A．
11.（2021•河南期末）如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B，使得B，A，P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C，点D，使AC⊥BP，BD⊥BP，由观测可以确定AC与DP的交点C．他们测得AB＝20m，AC＝40m，BD＝50m，从而确定河宽PA为 80 m．
80【解析】∵AC⊥BP，BD⊥BP，∴AC∥BD，∴△PBD∽△PAC，∴BDAC=PBPA，∵AB＝20m，AC＝40m，BD＝50m，
即5040=PA+20PA，解得：PA＝80．故答案为：80．
12.（2021•雁塔区二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，∴△ACE∽△EDF，∴ACFD=CEDE，即3+BC4=CD+55，∴CD=5BC−54，由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，∴△BCG∽△FDG，∴BCFD=CGDG，即BC4=CD+5+1.55+1.5，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×5BC−54+26，∴BC＝14（米），∴这座建筑物的高BC为14米．
考点3 图形的位似
13.（2021•龙湾区二模）如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（ ）
A．14B．13C．49D．23
D【解析】∵△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，∴△A'B'C'和△ABC的位似比＝OA′：OA，
∵OA'＝2AA'，∴OA′：OA＝2：3，即△A'B'C'和△ABC的位似比为2：3．故选：D．
14．（2021•北碚区模拟）如图，在△ABC中，点A的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，将△ABC位似缩小后得到△A′B′C′．若点A′的坐标为（1，2），△A′B′C′的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．9
D【解析】∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A（3，6），A′（1，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比等于：3：1．∴△A′B′C′与△ABC的面积之比为9：1．∵△A′B′C′的面积为1，∴△ABC的面积为9．故选：D．
15.（2021•嘉兴二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为23的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（ ）
A．(−23，23)B．(23，−23)
C．(−23，23)或(23，−23)D．(−23，23)或(−23，−23)
网
C【解析】∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为23的位似图形△A'B'C'，而B的坐标为（﹣1，1），∴B'的坐标为（−23，23）或（23，−23）．故选：C．
16.（2021 •姑苏区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（1，0）．
（1）将△ABC向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的方格纸中画出△A2B2C2；
（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 （6，﹣2） ．
解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，﹣2），
故答案为：（6，﹣2）．
17．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求ACBC的值．
（1）证明：连接OC，
∵PC2＝PA•PB，∴PAPC=PCPB，∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴∠PCA＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，∵OC⊥PC，∴PC=PO2−OC2=2PA，
∵△PAC∽△PCB，∴ACBC=PCPB=2PA4PA=12．