初中数学湘教版八年级下册第1章 直角三角形综合与测试同步训练题

这是一份初中数学湘教版八年级下册第1章 直角三角形综合与测试同步训练题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则B＝( )
A．48° B．58° C．62° D．68°
2．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，若BE＝3，则DE的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．无法求出
3．如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BC于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，可以直接用“HL”来证明Rt△ABC≌Rt△DEF，这个条件应该是( )
A．AC＝DE B．AB＝DE
C．∠B＝∠E D．∠D＝∠A
4．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )
A．8 cm B．5 eq \r(2) cm
C．5.5 cm D．1 cm
6．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )
A．2 m B．2.5 m C．2.25 m D．3 m
7．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为( )
A.eq \r(3) B．2 C．3 D．2 eq \r(3)
8．如图，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝CD＝7，若点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD边上的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )
A．2a B．2 eq \r(2)a C．3a D.eq \f(4 \r(3),3)a

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2 cm，D为BC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从点A出发，沿着A→B→A的路线运动，设点E的运动时间为t s(0≤t＜6)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为( )
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么其面积为________．
12．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝________．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AB＝6，那么DE的长是________.
14．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
15．如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB的中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝eq \f(3,2)，则BC的长是________．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.
17．在底面直径为2 cm，高为3 cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为__________cm.(结果保留π)
18．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰Rt△A1BO，再以OA1为直角边作等腰Rt△A2A1O，如此下去，则线段OAm的长度为________．
三、解答题(19题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，则△ABC的形状是什么？20．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：
(1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．
20．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：
(1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．
21．如图，在四边形ABCE中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，将△ACE沿AC边所在的直线折叠，点E恰好落在点D处．求证：EC∥AB.
22．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，以D为顶点作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于E，F，且BE2＋CF2＝EF2，求证：△ABC为直角三角形．
23．如图，一根长6 eq \r(3)的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑到点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′.
(1)求OB的长；
(2)当AA′＝1时，求BB′的长．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE.
(1)求证：∠ACB＝2∠E;
(2)若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．

25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是边AC上不与点A，C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．
(1)求证：CM＝EM.
(2)如果BC＝eq \r(3)，△ABD的周长为2 eq \r(3)＋4，求∠ABD的度数．
(3)当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．
答案
一、1.A 2.A
3．B 【点拨】已知一组直角边对应相等，如果添上斜边相等，即可直接用“HL”证明两直角三角形全等，AB，DE分别为Rt△ABC，Rt△DEF的斜边，故选B.
4．D 【点拨】∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，
即a＝b或a2＋b2＝c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
5．A 6.A 7.C
8．A 【点拨】如图，过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC，垂足分别为E，F.在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝10，BF＝eq \f(6×8,10)＝4.8＜5；
在△ACD中，∵AD＝CD，∴AE＝CE＝5，
∴DE＝eq \r(72－52)＝2 eq \r(6)＜5，
则点P在四边形ABCD边上的个数为0.故选A.

9．B 【点拨】因为CD⊥AB，CD＝DE＝a，所以CE＝eq \r(CD2＋DE2)＝eq \r(a2＋a2)＝eq \r(2)a.
在△ABC中，因为点E是AB的中点，∠ACB＝90°，所以CE＝eq \f(1,2)AB，
所以AB＝2CE＝2 eq \r(2)a.
10．D 【点拨】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2 cm，
∴AB＝2BC＝4 cm，
∵BC＝2 cm，D为BC的中点，
∴BD＝eq \f(1,2)BC＝1 cm，
当点E沿A→B运动时，易得EB＝(4－t)cm；当点E沿B→A运动时，易得EB＝(t－4)cm.
若∠DEB＝90°，∵∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝30°，∴BE＝eq \f(1,2)BD＝0.5 cm.
当点E沿A→B运动时，则4－t＝0.5，解得t＝3.5；
当点E沿B→A运动时，则t－4＝0.5，解得t＝4.5.
若∠EDB＝90°，∵∠ABC＝60°，
∴∠BED＝30°，∴BE＝2BD＝2 cm.
当点E沿A→B运动时，则4－t＝2，解得t＝2；
当点E沿B→A运动时，则t－4＝2，解得t＝6(舍去)．
综上可得，t的值为2或3.5或4.5.
二、11.6 12.60° 13.3
14．5或10 15.3 eq \r(2)
16．8 【点拨】如图，延长AD交BC于M，由AB＝AC，AD平分∠BAC可得AM⊥BC，BM＝MC＝eq \f(1,2)BC，延长ED交BC于N，因为∠EBC＝∠E＝60°，
所以△BEN是等边三角形．
所以EN＝BN＝BE＝6 cm，
所以DN＝6－2＝4(cm)．
在Rt△DMN中，易知∠MND＝60°，
所以∠MDN＝30°，
所以MN＝eq \f(1,2)DN＝2 cm.
所以BM＝6－2＝4(cm)，
所以BC＝2BM＝8 cm.
17．3eq \r(π2＋1) 18.(eq \r(2))n
三、19.解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，∴a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，
∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．
【点拨】本题利用配方法，先求出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断．
20．证明：(1)如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°.
在Rt△AEP和Rt△AFP中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝AP，,AE＝AF，))
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，
∴PE＝PF.
(2)由(1)知Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP＝∠FAP，
∴AP是∠BAC的平分线，
故点P在∠BAC的平分线上．
21．证明：∵点D是AB的中点，且∠ACB＝90°，∴CD＝eq \f(1,2)AB＝AD，
∴∠CAD＝∠ACD.
又∵△ACD是由△ACE沿AC边所在的直线折叠而成，∴∠ACD＝∠ECA，
∴∠ECA＝∠CAD，∴EC∥AB.
22．证明：延长FD至M，使DM＝FD，连接MB，ME，如图，
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
又∵DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴△BDM≌△CDF(SAS)，
∴∠C＝∠DBM，BM＝CF.
∵ED⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF.
∵BE2＋CF2＝EF2，
∴BE2＋BM2＝EM2，
即△BEM为直角三角形，且∠EBM＝90°.
由∠C＝∠CBM知BM∥AC，
∴∠BAC＝90°，
即△ABC为直角三角形．
23．解：(1)∵OA⊥OB，∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×6 eq \r(3)＝3 eq \r(3).
(2)在Rt△ABO中，AO＝eq \r(AB2－BO2)＝9，
∴A′O＝AO－AA′＝9－1＝8.
又由题意可知A′B′＝AB＝6 eq \r(3).
∴在Rt△A′OB′中，B′O＝eq \r(A′B′2－A′O2)＝2 eq \r(11)，
∴BB′＝B′O－BO＝2eq \r(11)－3 eq \r(3).
24．(1)证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，
∴BD＝eq \f(1,2)AC＝CD＝AD.
∴∠ACB＝∠DBC，
∵CD＝BE，∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E.
∴∠ACB＝∠DBC＝∠BDE＋∠E＝2∠E.
(2)解：如图，过点F作FM⊥BC于M，作FN⊥AC于N.
∵CG平分∠ABC，∴FM＝FN.
∵BE＝5，∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10.
又∵AB＝6，
在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
∴BC＝8.
∵BD为△ABC的中线，
∵S△BCD＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)AB×BC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×6×8＝12.
又∵S△BCD＝S△BCF＋S△CDF，
∴12＝eq \f(1,2)CD·FN＋eq \f(1,2)BC·FM，
∴eq \f(1,2)×5×FM＋eq \f(1,2)×8×FM＝12，
∴FM＝eq \f(24,13)，
∴S△BCF＝eq \f(1,2)BC·FM＝eq \f(1,2)×8×eq \f(24,13)＝eq \f(96,13).
25．(1)证明：∵在Rt△BCD中，
∠BCD＝90°，M是BD的中点，
∴CM＝eq \f(1,2)BD.同理得EM＝eq \f(1,2)BD，
∴CM＝EM.
(2)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝eq \r(3)，∴AB＝2BC＝2 eq \r(3).
由勾股定理得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝3.
又∵△ABD的周长为2 eq \r(3)＋4，
∴AD＋BD＝4.
设AD＝x，则CD＝3－x，BD＝4－x.
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，
∴BD2＝BC2＋CD2，
∴(4－x)2＝3＋(3－x)2，
解得x＝2.∴AD＝2，则BD＝2＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠ABD＝∠A＝30°.
(3)解：不变．
∵M是Rt△BCD中斜边BD的中点，
∴MB＝MC，∴∠MBC＝∠MCB.
∴∠CMD＝∠MBC＋∠MCB＝2∠MBC.
同理可得∠EMD＝2∠MBE，
∴∠CMD＋∠EMD＝2∠MBC＋2∠MBE＝2(∠MBC＋∠MBE)＝2∠ABC，
即∠CME＝2∠ABC＝120°.
∵MC＝ME，∴∠MCE＝∠MEC＝30°.